Sharp Inequalities for the Zeros of Polynomials and Power Series

Let f be a monic polynomial of degree n with zeros z₁,…, z _n. We establish sharp estimates for $$\mathop \sum \limits_{\nu=1}^k \mid z_\nu \mid \quad \quad {\rm and}\quad \quad \mathop \sum \limits_{\nu=1}^k \mid \Im z_\nu \mid \quad \quad (k=1,2,\cdots,n).$$ Results for the zeros of power series are obtained as consequences.     

Обобщение регулярны х в круге функций, близ ких к звездным, на случай многих комп лексных переменных И. И. Баврин

LetD denote a bounded complete bicircular domain (centered at (0, 0)) in the space C of two complex variablesz ₁ andz ₁. Extremal problems are treated in the classP _D which is a generalization, to the two complex variables case, of the class of close-to-starlike functions regular in a disc. Our considerations include estimates of the basic functionals, in particular, those specific for the functions of several complex variables; exactness of estimates is considered, as well. For example, we obtain estimates of the functionals $$A_k (D) = \mathop {\sup }\limits_{(z_1 ,z_2 ) \in D} \mathop \sum \limits_{l = 0}^k |a_{k - l,l} |^2 |z_1 |^{2(k - l)} |z_2 |^{2l} ,B_k (D) = \mathop {\sup }\limits_{(z_1 ,z_2 ) \in D} \left| {\mathop \sum \limits_{l = 0}^k a_{k - l,l} z_1^{k - l} z_2^l } \right|,k = 1,2 \ldots .$$ It is also proved that the Carathéodory class is a subclass of the classP _D.     

Classes of functions subharmonic in ℝm and bounded on certain sets

Let Z_j be the Euclidean space of vectors \((z_{j,1,...,} z_{j_{j \cdot n_j + 1} } ), Z = \mathop \oplus \limits_{j = 1}^P Z_j\) . The function u: Z → ?₊, u ?0, is said to be logarithmically p-subharmonic if log u(z) is upper semicontinuous with respect to the totality of the variables and subharmonic or identically equal to ?∞ with respect to each z_j when the remaining ones are fixed. For such functions, with the growth estimate $$log u(z) \leqslant \delta \mathop \Pi \limits_{j = 1}^P (1 + |z_{j,n_j + 1} |) + N(\mathop {\sum\limits_{\mathop {1 \leqslant j \leqslant p}\limits_{} } {z_{j,k}^2 } }\limits_{1 \leqslant k \leqslant n_j } )^{1/2} + C; \delta ,N \geqslant 0, C \in \mathbb{R}$$ one proves theorems on equivalence of^∞) (L_q)-norms of their restrictions to \(X = \mathop \oplus \limits_{j = 1}^P (Z_{j,1} ,...,z_{j,n_j } )\) and to a relatively dense subset of it, generalizing the known Cartwright and Plancherel-Pólya results.     

Bethe subalgebras of the group algebra of the symmetric group

We introduce families $ \mathcal{B}_n^S\left( {{z_1},\ldots,{z_n}} \right) $ and $ \mathcal{B}_{{n,\hbar}}^S\left( {{z_1},\ldots,{z_n}} \right) $ of maximal commutative subalgebras, called Bethe subalgebras, of the group algebra $ \mathbb{C}\left[ {\mathfrak{S}n} \right] $ of the symmetric group. Bethe subalgebras are deformations of the Gelfand?Zetlin subalgebra of $ \mathbb{C}\left[ {\mathfrak{S}n} \right] $ . We describe various properties of Bethe subalgebras.     

Optimal methods for the approximate calculation of functional on classesW r L ∞

Пусть T_n(f)={L₁(f), ..., L_n(f)} — набор линейных функционал ов, заданных на простран стве \(C_{(r - 1)} (\parallel f\parallel _{C_{(r - 1)} } = \mathop {\max }\limits_{0 \leqq i \leqq r - 1} \parallel f^{(i)} \parallel _C );A_{n,r}\) — множество всех так их наборов функцио налов; С_{2n, 2} — множество всех н аборов из 2n функциона лов вида $$T_{2n} (f) = \{ f(x_1 ), \ldots ,f(x_n ),f'(x_1 ), \ldots ,f'(x_n )\}$$ и s: Е_n→Е₁. Доказано, что е слиW _∞ ^r множество всех 2π-периодических функ цийfεW∞0, 2π_r, то приr=1,2,3,... ирε(1, ∞) и $$\begin{gathered} \mathop {\inf }\limits_{T_{2n} \in A_{2n,r} } \parallel \mathop {\inf }\limits_s \mathop {\sup }\limits_{f \in W_\infty ^r } |f( \cdot ) - s(T_{2n} ,f, \cdot )|\parallel _p = \parallel \varphi _{n,r} \parallel _p \hfill \\ \mathop {\inf }\limits_{T_{2n} \in C_{2n,2} } \parallel \mathop {\inf }\limits_s \mathop {\sup }\limits_{f \in W_\infty ^r } |f( \cdot ) - s(T_{2n} ,f, \cdot )|\parallel _p = \parallel \parallel \varphi _{n,r} \parallel _\infty - \varphi _{n,r} \parallel _p , \hfill \\ \end{gathered}$$ где ?_n,r —r-й периодичес кий интеграл, в средне м равный нулю на периоде, от фун кции ?_n, 0t=sign sinnt. При этом указан ы оптимальные методы приближенного вычис ления.     

Another new goldfish model

A new integrable (indeed, solvable) model of goldfish type is identified, and some of its properties are discussed. Its Newtonian equations of motion read as follows: $$\ddot z_n = \frac{{\dot z_n^2 }} {{z_n }} + c_1 \frac{{\dot z_n }} {{z_n }} + c_2 \dot z_n + c_2 c_3 z_n + c_1 c_2 + \sum\limits_{m = 1,m \ne n}^N {\frac{{\left( {\dot z_n + c_3 z_n + c_1 } \right)\left( {\dot z_m + c_3 z_m + c_1 } \right)}} {{z_m }}} \cdot \frac{{z_n + z_m }} {{z_n - z_m }}, n = 1, \ldots N,$$ where c ₁ , c ₂ , and c ₃ are arbitrary constants, z_n ?? z_n(t) are the N dependent variables, N is an arbitrary positive number (N >1), t is the independent variable (??time??) and the dots indicate time-differentiations.     

A conjecture of Erdős and Reddy and the rational approximation of Mittag-Leffler type functions

Пусть \(f(z) = \mathop \sum \limits_{k = 0}^\infty a_k z^k ,a_0 \ne 0, a_k \geqq 0 (k \geqq 0)\) — целая функци я,π _n — класс обыкновен ных алгебраических мног очленов степени не вы ше \(n,a \lambda _n (f) = \mathop {\inf }\limits_{p \in \pi _n } \mathop {\sup }\limits_{x \geqq 0} |1/f(x) - 1/p(x)|\) . П. Эрдеш и А. Редди высказали пр едположение, что еслиf(z) имеет порядок ?ε(0, ∞) и $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f)< 1, TO \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (f) > 0$$ В данной статье показ ано, что для целой функ ции $$E_\omega (z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{z^n }}{{\Gamma (1 + n\omega (n))}}$$ , где выполняется $$\lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{{\omega (n)}}{{e + 1}}} \right\}$$ , т.е. $$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) \leqq \exp \left\{ { - \frac{1}{{\rho (e + 1)}}} \right\}< 1, a \mathop {\lim inf}\limits_{n \to \infty } \lambda _n^{1/n} (E_\omega ) = 0$$ . ФункцияE _ω (z) имеет порядок ?.     

Transcendence Criterion for Values of Certain Functions of Several Variables

Let ${\Phi_0(\boldmath{z})}$ be the function defined by $$\Phi_0({\boldmath z}) = \Phi _{0}(z_1,\ldots, z_m)=\sum_{k\geq 0}\frac{E_k(z_1^{r^k},\ldots,z_m^{r^k})}{F_k(z_1^{r^k},\ldots,z_m^{r^k})},$$ where ${E_k(\boldmath{z})}$ and ${F_k(\boldmath{z})}$ are polynomials in m variables ${\boldmath{z} = (z_1,\ldots, z_m)}$ with coefficients satisfying a weak growth condition and r ≥ 2 a fixed integer. For an algebraic point ${\boldmath{\alpha}}$ satisfying some conditions, we prove that ${\Phi_{0}(\boldmath{\alpha})}$ is algebraic if and only if ${\Phi_{0}(\boldmath{z})}$ is a rational function. This is a generalization of the transcendence criterion of Duverney and Nishioka in one variable case. As applications, we give some examples of transcendental numbers.     

Optimal Cubature Formulas in Weighted Besov Spaces with A ∞ Weights on Multivariate Domains

For the unit ball $\mathit{UB}_{\tau}^{\alpha}(L_{p,w})$ of the weighted Besov space $B_{\tau}^{\alpha}(L_{p,w})$ with an A _∞ weight w on the domain Ω, which denotes either the unit sphere, or the unit ball, or the standard simplex of the Euclidean space ? ^d , the sharp asymptotic order of the quantity $$\mathop{\inf}_{{\lambda}_1, \ldots, {\lambda}_n \in \mathbb{R}\atop{\xi_1,\ldots, \xi_n \in\varOmega }} \sup_{f\in \mathit{UB}_\tau^\alpha(L_{p,w})} \biggl|\int _{\varOmega } f(x) w(x)\, dx-\sum_{j=1}^n{\lambda}_j f(\xi_j) \biggr|$$ is obtained as n→∞. A similar result is also established on unweighted spherical caps.     

О метрическом свойст ве Дарбу

A measurable functionf on [a, b] is called to possess the metric Darboux property if none of the intervalsI?[a, b] can be split into two measurable subsetsI′ andI″, of positive measure, such that $$\mathop {\sup vrai}\limits_{x \in I'} f\left( x \right)< \mathop {\inf vrai}\limits_{x \in I''} f\left( x \right)$$ It is proved that each functionfεL _p [0, 1] for which $$\mathop {\lim \inf }\limits_{\delta \to + 0} \delta ^{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} p}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} p}} \omega _p \left( {f; \delta } \right)< \infty ,$$ can be represented as a sum of a function of boundedp-variation and a function possessing the metric Darboux property. It is proved that the above condition on the modulus of continuity cannot be weakened. Certain problems connected with the lower symmetric densities of measurable sets are also considered.     

Solvability of nonlinear systems including (γ, δ)-comparison pairs

Let $\gamma ,\delta \in \mathbb{R}^n $ with $\gamma _j ,\delta _j \in \{ 0,1\} $ . A comparison pair for a system of equations f_i(u₁,…,u_n)=0 (i=1,…,n) is a pair of vectors $v,w \in \mathbb{R}^n ,v \leqslant w$ , such that $$\begin{array}{*{20}c} {\gamma _i f_i (u_1 , \ldots ,u_{i - 1} ,v_i ,u_i + 1, \ldots ,u_n ) \leqslant 0,} \\ {\delta _i f_i (u_1 , \ldots ,u_{i - 1} ,w_i ,u_i + 1, \ldots ,u_n ) \geqslant 0} \\ \end{array} $$ for $\gamma _j u_j \geqslant v_j ,\delta _j u_j \leqslant w_j (j = 1, \ldots ,n)$ . The presence of comparison pairs enables one to essentially weaken the assumptions of the existence theorem. Bibliography: 1 title.     

Some extremal properties of positive trigonometric polynomials

A class P_n of even positive trigonometric polynomials tn(?)=a₀ + a₁ cos ?+ ... + a_n cos · n?, satisfying the conditions: a_k ≥0 (k = 0,1, ..., n), a₀ < a₁ is considered. The behavior of the sequence of functionals $$v_n = _{t_n \mathop { \in P_n }\limits^{\inf } } \frac{{t_n \left( 0 \right) - a_o }}{{\left( {\sqrt {a_1 } - \sqrt {a_o } } \right)}}$$ , is studied; two-sided estimations are given for V_n and \(V_\infty = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } V_n \) .     

Properties of kagi and renko moments for homogeneous diffusion processes

For a homogeneous diffusion process (X _t ) _t?0, we consider problems related to the distribution of the stopping times $\begin{gathered} \gamma _{\max } = \inf \{ t \geqslant 0:\mathop {\sup }\limits_{s \leqslant t} X_s - X_t \geqslant H\} ,\gamma _{\min } = \inf \{ t \geqslant 0:X_t - \mathop {\inf }\limits_{s \leqslant t} X_s \geqslant H\} , \hfill \\ \kappa _0 = \inf \{ t \geqslant 0:\mathop {\sup }\limits_{s \leqslant t} X_s - \mathop {\inf }\limits_{s \leqslant t} X_s \geqslant H\} . \hfill \\ \end{gathered} $ . The results obtained are used to construct an inductive procedure allowing us to find the distribution of the increments of the process X between two adjacent kagi and renko instants of time.     

An asymmetric inequality for non-homogeneous ternary quadratic forms

LetQ(x,y,z) be an indefinite ternary quadratic form of type (2,1) and determinantD(<0). Let 0≤t≤1/3 and \(f(t) = \frac{4}{{(1 + t)^2 (1 + 5t)}}\) . Then given any real numbersx ₀,y ₀,z ₀ there exist integersx,y,z satisfying $$ - t(f(t)|D|)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}}< Q (x + x_0 ,y + y_0 ,z + z_0 ) \leqslant (f(t)|D|)^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}} $$ All the cases when equality holds are also obtained.     

Regularized sums of half-integer powers of a Sturm-Liouville operator

We investigate the question of the regularized sums of part of the eigenvalues z_n (lying along a direction) of a Sturm-Liouville operator. The first regularized sum is $$\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {(z_n - n - \frac{{c_1 }}{n} + \frac{2}{\pi } \cdot z_n arctg \frac{1}{{z_n }} - \frac{2}{\pi }) = \frac{{B_2 }}{2} - c_1 \cdot \gamma + \int_1^\infty {\left[ {R(z) - \frac{{l_0 }}{{\sqrt z }} - \frac{{l_1 }}{z} - \frac{{l_2 }}{{z\sqrt z }}} \right]} } \sqrt z dz,$$ where the z_n are eigenvalues lying along the positive semi-axis, z _n ² =λ_n, $$l_0 = \frac{\pi }{2}, l_1 = - \frac{1}{2}, l_2 = - \frac{1}{4}\int_0^\pi {q(x) dx,} c_1 = - \frac{2}{\pi }l_2 ,$$ , B₂ is a Bernoulli number, γ is Euler's constant, and \(R(z)\) is the trace of the resolvent of a Sturm-Liouville operator.     

On a strengthened extremal property of the Carathéodory-Fejér functions

Для заданной на едини чной окружности огра ниченной функцииω(ξ) рассматр ивается усложненная задача а ппроксимации аналит ическими функциями: $$\mathop {\inf }\limits_{\varphi \in H^\infty } \left[ {\left\| {\omega - \varphi } \right\| + \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k \left| {\lambda _k } \right|} \right],$$ где ∥·∥ понимается вL ^∞,ε _k ≧0 — заданные чис ла, $$\mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \varepsilon _k< + \infty ,\varphi (z) = \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^\infty \lambda _k z^k .$$ Доказывается, что при всех достаточно малы хε _k экстремальной в этой задаче будет функция обычного наилучшего приближения (та же, что и приε _k =0,k=0, 1, ...). В частности, при $$\omega (\zeta ) = \frac{{\gamma _0 }}{{\zeta ^n }} + \frac{{\gamma _1 }}{{\zeta ^{n - 1} }} + ... + \frac{{\gamma _{n - 1} }}{\zeta }$$ экстремальной оказы вается дробь Каратео дори—Фейера. Переход к двойственн ой задаче позволяет получить т очные оценки для клас са интегралов типа Коши, выделяемого огранич ениями, наложенными на велич ины коэффициентов ря да Тейлора.     

Some extremal properties of positive trigonometric polynomials

For n=8 an upper bound is given for the functional $$V_n = \mathop {\inf }\limits_{t_n } \frac{{\alpha _1 + \alpha _2 + \cdots + \alpha _n }}{{\left( {\sqrt {\alpha _1 } - \sqrt {\alpha _0 } } \right)^2 }}$$ , which is defined on the class of even, nonnegative, trigonometric polynomials \(t_n (\phi ) = \sum\nolimits_{k = 0}^n {\alpha _k } cos k\phi \) , such that α _k ? 0 (k=0, ...,n) α₁>α₀ :V _s ? 34.54461566.     

Über die Mittel stochastisch unabhängiger Funktionen

Для данного числаK, 1≦K≦∞, обозначимΩ(K) клас с последовательносте йφ={φ _k (x)} стохастически незав исимых на (0,1) функций, дл я которых выполнены условия: $$\int\limits_0^1 {\varphi _k (x)dx = 0,} \int\limits_0^1 {\varphi _k^2 (x)dx = 1, |\varphi _k (x)|} \leqq K(x \in (0,1);k = 1,2, \ldots ).$$ Пусть, далее,λ={λ _n } —по следовательность со свойствами $$0< \lambda _1< \ldots< \lambda _n< \ldots ,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \lambda _n = \infty ,$$ иМ (λ;K) — множество числ овых последовательн остейa={a _k } _k=1 ^∞ , для которых по сле-довательности средних $$\frac{1}{{\lambda _n }}\mathop \sum \limits_{k = 1}^n a_k \varphi _k (x)(n = 1,2, \ldots )$$ сходятся к нулю почтя всюду на (0,1) для всех сис темφ∈Ω(K). В статье, в частности, п утем применения одно го метода Б. С. Кашина, доказываетс я, что для каждогоK, 1 <-K<∞, в ыполнено равенствоM(λ; K)=М(λ; 1).     

On the limit superior of sequences of sets

qVЕРхНИИ пРЕДЕл пОслЕД ОВАтЕльНОстИ МНОжЕс тВA _n ОпРЕДЕльЕтсь сООтНО шЕНИЕМ \(\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } A_n = \mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty \mathop \cup \limits_{n = k}^\infty A_n . B\) стАтьЕ РАссМАтРИВА Етсь слЕДУУЩИИ ВОпРО с: ЧтО МОжНО скАжАть О ВЕРхНИх пРЕДЕлАх \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) , еслИ ИжВЕстНО, ЧтО пРЕсЕЧЕНИь \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) «МАлы» Дль кАж-ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) ? ДОкАжыВАЕтсь, Ч тО

1. ЕслИ \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — кОНЕЧНОЕ МНО жЕстВО Дль кАжДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , тО НАИДЕтсь тАкАь пОДпО слЕДОВАтЕльНОсть, Дл ь кОтОРОИ МНОжЕстВО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) сЧЕтНО;
2. ЕслИ \(2^{\aleph _0 } = \aleph _1\) , тО сУЩЕстВУЕ т тАкАь пОслЕДОВАтЕл ьНОсть (A_n), ЧтО \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО Дль лУБОИ п ОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , НО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) ИМЕЕт МОЩ-НОсть кОНтИНУУМА;
3. ЕслИA _n — БОРЕлЕ ВскИЕ МНОжЕстВА В НЕкОтОРО М пОлНОМ сЕпАРАБЕльНО М МЕтРИЧЕскОМ пРОстРАНстВЕ, И \(\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }\) — сЧЕт НОЕ МНОжЕстВО Дль кАж ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ \((A_{n_k } )\) , тО сУЩЕстВУЕт тАкАь п ОДпОслЕДОВАтЕльНОсть, ЧтО \(\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }\) — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО. кРОМЕ тОгО, ДОкАжАНО, Ч тО В слУЧАьх А) И В) В пОслЕДОВАтЕльНОстИ (A _n ) сУЩЕстВУЕт схОДьЩА ьсь пОДпОслЕДОВАтЕльНО сть.

кРОМЕ тОгО, ДОкАжАНО, Ч тО В слУЧАьх А) И В) В пОслЕДОВАтЕльНОстИ (А _n ) сУЩЕстВУЕт схОДьЩ Аьсь пОДпОслЕДОВАтЕльНО сть.     

The general iterative methods for nonexpansive semigroups in Banach spaces

Let E be a real reflexive strictly convex Banach space which has uniformly Gâteaux differentiable norm. Let ${\mathcal{S} = \{T(s): 0 \leq s < \infty\}}$ be a nonexpansive semigroup on E such that ${Fix(\mathcal{S}) := \cap_{t\geq 0}Fix( T(t) ) \not= \emptyset}$ , and f is a contraction on E with coefficient 0 <  α <  1. Let F be δ-strongly accretive and λ-strictly pseudo-contractive with δ + λ >  1 and ${0 < \gamma < \min\left\{\frac{\delta}{\alpha}, \frac{1-\sqrt{ \frac{1-\delta}{\lambda} }}{\alpha} \right\} }$ . When the sequences of real numbers {α _n } and {t _n } satisfy some appropriate conditions, the three iterative processes given as follows : $${\left.\begin{array}{ll}{x_{n+1} = \alpha_n \gamma f(x_n) + (I - \alpha_n F)T(t_n)x_n,\quad n\geq 0,}\\ {y_{n+1} = \alpha_n \gamma f(T(t_n)y_n) + (I - \alpha_n F)T(t_n)y_n,\quad n\geq 0,}\end{array}\right.}$$ and $$ z_{n+1} = T(t_n)( \alpha_n \gamma f(z_n) + (I - \alpha_n F)z_n),\quad n\geq 0 $$ converge strongly to ${\tilde{x}}$ , where ${\tilde{x}}$ is the unique solution in ${Fix(\mathcal{S})}$ of the variational inequality $${ \langle (F - \gamma f)\tilde {x}, j(x - \tilde{x}) \rangle \geq 0,\quad x\in Fix(\mathcal{S}).}$$ Our results extend and improve corresponding ones of Li et al. (Nonlinear Anal 70:3065–3071, 2009) and Chen and He (Appl Math Lett 20:751–757, 2007) and many others.