用判别式法解多元函数最值

求函数的最值是高中数学重要题型,而多元函数的最值问题更是各级各类竞赛的热点之一,把变量看作未知数(确定主元),将原函数整理成关于该未知数的一元二次函数或一元二次方程,利用未知数是实数,可由判别式确定函数的取值范围.判别式法是求多元函数     

一个多元函数的最值问题

一、一个错误的题解不少学生问到《1 998年研究生入学考试数学复习指南》 (陈文灯编著 ) (下称“指南”)第 2 5 8-2 5 9页的题及解答 :“例 1 0 .3 7　在平面 xa yb zc=1与三坐标面所围成的四面体内作一个以该平面为顶面 ,在xoy坐标面上的投影为长方形的六面体中体积之最大者 (其中 a,b,c>0 )解　如右图 ,则六面体体积为V= Dzdxdy = Dc(1 -xa -yb) dxdy=c∫x0 dx∫y0 (1 -xa -yb) dy　　令V′x =c(y -y22 b-xya) =0V′y =c(x -xyb -x22 a) =0解之 ,得驻点 P(2 a3 ,2 b3 ) .　　∵ A =V″x2 | P=-2 bc3 a,B =V″xy| P =-c3 ,　　　　…     

用构造法巧求根式函数最值

根式函数的最值问题具有灵活性强、饵题方法巧、应用知识面广等特点，能考查学生的观察、类比（特别是形式结构的类比）、联想、转化、创新等多种能力．所以一直是高考和竞赛的热点问题．本文介绍构造斜率、向量、线性规划、距离、对偶式求解这类问题的方法，供大家参考．     

求一类多元函数最值的公式

１　问题的提出例１　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．例２　设ｘ、ｙ、ｚ是三个不全为零的实数,求函数ｕ（ｘ,ｙ,ｚ）＝ｘｙ＋２ｙｚ＋２ｘｚｘ２＋ｙ２＋ｚ２的最大值．文［１］利用带参数的均值不等式较为巧妙的求出了函数的最大值;文［２］利用双判别式法给出了这类问题的一种初等解法,拜读后获益匪浅．这类三元二次分式函数的最值问题在一些竞赛中曾以填空题的形式出现;倘若按部就班的以文［１］、［２］中的方法去求解,就显得“小题大作”．对求这类问题是…     

多元二次函数的最值问题

本文用二次型理论给出了多元二次函数有最大 (小 )值的一个充分条件 ,并给出了最值点及其最值的求法 .对于一元二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ　 (ａ≠ 0 ) ,当ａ>0时 ,ｆ(ｘ)有最小值 ,当ａ <0时 ,ｆ(ｘ)有最大值 .且当ｘ =- ｂ2ａ 时 ,取最值4ａｃ -ｂ24ａ .利用实二次型理论 ,将这一结论推广 ,可给出多元二次函数取最值的一个充分条件 ,及其求法 .多元二次函数的一般形式为 :ｆ(ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ)=ａ1 1 ｘ21 2ａ1 2 ｘ1 ｘ2 … 2ａ1ｎｘ1 ｘｎ ｂ1 ｘ1 ａ2 2 ｘ22 … 2ａ2ｎｘ2 ｘｎ ｂ2 ｘ2 … ａｎｎｘ2 ｎ ｂｎｘｎ ｋ ,ｆ…     

多元函数取条件最值的充分条件

根据泰勒公式以及实二次型的正定理论，本文介绍”中利用矩阵判定函数取得条件最值的充分条件，该结论具有一般性。若z＝f（x）与gk（x）船可微，则z＝f（x）在gk（x）＝0时（k＝1，2，…，m且m＜n）于c处取条件最值的必要条件是：存在人一（x，砧，…，此）ER”，使得点风（c，入）是拉格朗回函数。）的稳定点，这里如果在此基础上我们对有关函数的限制加强，则可继续作如下讨论。设P。什，入）是拉氏函数的稳定点，X一八X）与以（X）是二阶连续可徽的，设A是满足约束条件：g。（x）一0的一切点x的集合，则任取c的充分小的0邻域U（c，…     

例谈多元函数最值的求法

多元函数的最值问题一般都含有两个或两个以上的变元,常与不等式、函数方程、线性规划、三角等知识交汇,知识综合性强,求解技巧性高,学生困惑多,教学难度大.高中数学中有许多问题都与多元函数的最值有着密切联系.本文针对这一常见题型,适当侧重于二元函数z=f（x,y）型的最值问题,试对其主要解法作一概述,旨在对同学有所裨益.1.不等式法基本不等式a＋b/2≥ab（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）是一个重要的不等式,     

多元对称函数的一类条件最值

回顾近几年来中国数学奥林匹克冬令营试题,我们发现有一类多元对称函数的最值问题曾经两次出现于试题之中（ＣＭＯ１９９３－２,ＣＭＯ１９９７－１）．本文对这类问题进行了深入研究,给出了统一的求解方法．为了方便起见,我们把ｎ元实函数Ｆ（ｘ１,ｘ２,…,ｘｎ）...     

求多元函数最值中值得注意的一个问题

探讨了求多元函数最值中存在的一个问题     

解多元函数最值问题的常用策略

求多元函数最值问题是数学竞赛的热点问题,它涉及的知识面广、难度大,解决这类问题方法灵活多样、技巧性强,要求解题者有较为深厚的数学功底、灵活变更问题的能力．本文通过具体实例介绍多元函数最值问题求解的常用策略．     

不等约束条件下二元函数最值问题的解法

在高中新教材中多次出现不等约束条件下的二元函数最值问题 ,在多种学习资料和各类考试中 ,这类问题也屡见不鲜 .该类问题一般来说难度较大 ,解法灵活 ,是学习上的难点 .本文介绍几种常用的求解方法 ,供参考 .1　利用基本不等式基本不等式是求最值问题的重要工具 ,灵活运用基本不等式 ,能有效地解决一些不等约束条件下的二元函数最值问题 .例 1　已知x ,y∈R+,且满足xy≥x + y + 3,求u =x + y的最小值 .解　∵xy≥x + y + 3,∴xy -x - y - 1≥ 4 ,(x - 1) (y - 1)≥ 4 .∴x + y =(x - 1) + (y - 1) + 2≥ 2 (x - 1) (y - 1) + 2≥ 6 .故当…     

多元对称函数的一类条件最值

给出满足约束条件x1x2…xn=s的n元连续对称函数取得最值的一个充分条件,据此可求某些多元对称函数的最值,并可证明某些多元对称不等式.     

多元函数最值的求解策略

在近几年的高考及各种测试试题中,多元函数的最值及其衍生问题频频出现,因为变量多、解析式复杂、方法技巧性强、题目灵活多变而具有较强的挑战性,成为最值问题中的一个难点,也是考查学生的数学素养和能力的一个热点.根据课程标准的要求,求多元函数的最值,总的策略是转化为一元函数或二元函数最值问题,转化的具体策略多种多样,本文对此进行了归纳和梳理.     

关于多元二次函数的最值问题

给出多元二次函数有最值的充要条件,并且在有最值的情况下,给出最值及全部最值点。     

求实际问题中多元函数最值的几点心得

本文在总结多元函数最值求法的基础上,结合实例,指出求解问题中的几个容易被卡住的地方,并给出解决这些问题的几点心得.     

纠正一种用判别式求参数值的错误认识

“已知函数ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6的最小值为 1 ,求实数ｋ的值”这是高中数学教学中常见的问题 .李素兰在 [1 ]中用判别式作出了它的详细解答 :由ｙ=2ｘ2 -ｋｘ 1 0ｘ2 4ｘ 6 可得(ｙ - 2 )ｘ2 (4ｙ ｋ)ｘ 6ｙ- 1 0 =0 .由题意△ =(4ｙ ｋ) 2 - 4(ｙ- 2 ) (6ｙ- 1 0 )≥ 0 .即 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2 ≤ 0 .因为　ｙ最小值 =1 ,所以　 1是方程 8ｙ2 - (8ｋ 88)ｙ 80 -ｋ2= 0的根 ,代入得ｋ2 8ｋ =0 .所以　ｋ=0或ｋ =- 8.[1 ]并认为 ,这是一种正确的解法 ,拙以为不妥 .纵观解题全过程 ,并不是每一推导过程都是可逆的 (例如…     

解函数复合最值问题的常用策略

在数学竞赛和高考题中,常常会遇到一些在一类最大值中求其最小值或在一类最小值中求其最大值的复合最值问题.它是函数最值中的一种特殊类型,解决这类问题的方法也比较特殊.本文介绍解决此类问题的一些常用策略.     

解函数复合最值问题的常用策略

在数学竞赛和高考题中,常常会遇到一些在一类最大值中求其最小值或在一类最小值中求其最大值的复合最值问题．它是函数最值中的一种特殊类型,解决这类问题的方法也比较特殊．本文介绍解决此类问题的一些常用策略．