New results on the semidiscrete Boltzmann equation for a binary gas mixture

Summary A plane semidiscrete model of the Boltzmann equation for a binary gas mixture with molecular collisions ruled by the hard-spheres interaction potential is described. After establishing a model, a theorem demostrating the global existence of mild solutions of the initial-value problem is given and the propagation of unidimensional shock waves examined.

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Sommario Si propone un modello semidiscreto piano dell'equazione di Boltzmann per una miscela binaria con collisioni molecolari soggette al potenziale di interazione delle sfere rigide. Costruito il modello, si dà un teorema di esistenza globale di soluzioni generalizzate per il problema di Cauchy, e si analizza la propagazione di onde d'urto unidimensionali.

     

First order phase equilibrium for classical bodies

Summary In this note the Author gives a general and unified treatment of first order phase equilibria for classical bodies like those considered by Truesdell and Toupin in[3].The Author reaches a system of partial differential equations (generalized Clapeyron equations) the conditions of whose solution are shown always to be satisfied.In particular, the Author derives the equations governing the polarized phase equilibrium for a fluid.Besides the equations ruling the phase equilibrium for a two phase n-component fluid mixture are given and the equivalence with the statical Gibbs-Duhem relation is shown.

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Sommario In questa nota l'Autore presenta una trattazione generale ed unificata degli equilibri di fase del primo ordine per corpi classici come quelli definiti da Truesdell e Toupin in[3].L'Autore perviene ad un sistema di equazioni alle derivate parziali (equazioni di Clapeyron generalizzate) del quale si dimostra la integrabilità.In particolare, si deducono le equazioni che governano gli equilibri di fase polarizzati.Inoltre si ottengono le equazioni che regolano l'equilibrio di fase per una miscela fluida a n componenti; in questo caso si dimostra l'equivalenza delle equazioni con la relazione statica di Gibbs-Duhem.

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This work was supported by the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica of C.N.R.     

An “ideal equivalent gas method” for the study of shock waves in supersonic real gas flows

Summary A method developed by the author for the systematic study of the thermodynamic and dynamic properties of the gas behind a shock wave is reported.The method is applicable to supersonic flow regimes for which the excitation, dissociation and ionization effects invalidate the usually adopted hypothesis of ideal gas.An Ideal Equivalent Gas, having the ratio of the specific heats _s dependent on Mach number and altitude of flight is postulated.On the basis of the mass, momentum and energy conservation equations, valid through the shock wave, the relations defining the thermodynamic and dynamic state of the gas behind the shock wave are derived. These relations establish an extension of the classic relations valid for the ideal gas and reduce to them identically for _s=.The dependence of the ratio of specific heats _s of the Ideal Equivalent Gas on Mach number and altitude has been established, over a wide range, on the basis of the real gas solutions derived by Huber.

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Sommario Nella presente nota viene esposto un metodo sviluppato dall'autore per lo studio sistematico dello stato termodinamico e dinamico del gas a valle di un'onda d'urto in regime supersonico, allorchè cioè gli effetti dell'eccitazione dei gradi di libertà vibrazionali delle molecole e della loro dissociazione e successiva ionizzazione invalidano l'ipotesi di gas ideale generalmente adottata.Viene definito un gas ideale equivalente avente rapporto dei calori specifici _s funzione del numero di Mach e della quota di volo ed in base alle equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, valide attraverso all'onda d'urto, vengono derivate delle relazioni definenti lo stato termodinamico e dinamico del gas a valle dell'onda d'urto. Tali relazioni costituiscono una estensione delle classiche relazioni dell'urto valide per il gas ideale alle quali si riducono per _s=.La dipendenza del rapporto dei calori specifici _s del gas ideale equivalente, dal numero di Mach e dalla quota è stata stabilita sulla base delle soluzioni ottenute da Huber per il gas reale.

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Bifurcations and complex instability in a 4-dimensional symplectic mapping

Summary We study the main periodic solutions of a 4-dimensional symplectic mapping composed of two coupled 2-dimensional mappings. Their bifurcations were calculated numerically and also theoretically for small values of the coupling parameter . Most bifurcating families of period 2ⁿ (n0) have complex unstable regions that extend from =0 to the maximum allowed value of for each family. These complex unstable regions do not allow the transmisssion of the stability of the corresponding families to families of higher order. We found only one family with a complex unstable region not extending to the maximum , but in this case also the transmission of the stability is stopped at an inverse bifurcation. Thus although there are infinite sequences of bifurcations (of the Feigenbaum type) in the limiting 2-dimensional case =0, all such sequences are interrupted when the system is 4-dimensional (i.e. for 0). The appearance of complex instability for =0 can be predicted by studying the cases =0 and applying the Krein-Moser theorem.

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Sommario Si svolge uuno studio dettagliato delle soluzioni periodiche principali di due mappe simplettiche bidimensionali accoppiate, calcolandone sia analiticamente che numericamente le biforcazioni per piccoli valori del parametro di accoppiamento . Quasi tutte le famiglie di periodo 2ⁿ (n0) prodotte dalle biforcazioni presentano regioni di instabilità complessa che si estendono da =0 fino al massimo valore di considerato. Queste regioni di instabilità complessa impediscono il trasferimento della stabilità di una famiglia a famiglie di ordine più elevato. In un solo caso si osserva una famiglia la cui regione di instabilità complessa non arriva ad estendersi fino al valore massimo di ; in questo caso però il trasferimento della stabilità viene interrotto da una biforcazione inversa. Se ne conclude che, nonostante I'esistenza di una famiglia di infinite biforcazioni di tipo Feigenbaum nel caso limite bidimensionale (=0), tutte le sequenze si interrompono se il sistema è a quattro dimensioni. Il formarsi di regioni di instabilità complessa per 0 può essere previsto studiando il caso =0 ed appplicando il teorema di Krein-Moser.

     

A matrix theory of elastic-locking structures

Summary The theory developed exhibits the following peculiar features: structures are discretizised in finite elements, the constitutive laws piecewise linearized, the problem is split in a preliminary linear elastic solution and a corrective nonlinear subproblem; concepts and techniques of quadratic and linear programming theory are utilized. The main results are: for the analysis under given loads and dislocations, a pair of extremum theorems for locking stresses, corresponding to dual quadratic programs; for the limit analysis with respect to locking situations two already known theorems, which are here deduced from the solvability conditions of the above quadratic programs and formulated as dual linear programs. The extension of the results to imperfectly locking behavior is carried out. Some examples illustrate the solution techniques based on the theory expounded.

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Sommario Caratteristiche peculiari della teoria sviluppata sono: discretizzazione della struttura in elementi finiti, linearizzazione a tratti delle leggi costitutive, suddivisione del problema in una preliminare soluzione elastica lineare ed in una fase nonlineare correttiva, utilizzazione di concetti e tecniche della teoria delle programmazioni quadratiche e lineari.Si ottengono, per l'analisi di continui a deformabilità limitata soggetti a dati carichi e distorsioni, due teoremi di estremo corrispondenti a programmi quadratici negli sforzi di bloccaggio; per l'analisi limite al bloccaggio del sistema, due teoremi già noti, che qui si deducono dalle condizioni di solubilità dei precedenti programmi quadratici e si presentano in veste di programmi lineari duali. I risultati ottenuti vengono generalizzati ai casi definibili a deformabilità imperfettamente limitata. Alcuni esempi illustrano le tecniche risolutive che sorgono dalla teoria svolta.

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The study presented here forms part of a research program supported by the C.N.R.     

Pressure measuring techniques in I.C.E.

Summary A revue of the possible errors affecting pressure measurements in internal combustion engines is presented. A new instrument based on the principle of the Balanced Pressure Indicator and signal multiplexing was developped. Its characteristics used both to obtain an accurate mean pressure diagram and to calibrate pressure transducers in working engines. The overall ability of obtaining meaningful pressure data was shown, even if it is clear that pressure measurements are more an art than a mere technique, given the complexity of the problems involved.

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Sommario L'articolo presenta un'analisi dei possibili errori che possono distorcere la misurazione delle pressioni nella camera di combustione dei motori a combustione interna. Un nuovo strumento, basato sul principio dell'indicatore di pressione a bilanciamento di pressioni e del multiplex a modi di impulsi, è qui anche presentato ed utilizzato sia per ottenere un diagramma medio di pressioni di notevole accuratezza, che per calibrare trasduttori di pressione in condizioni di lavoro, cioè mentre il motore è in funzione. Ne risulta che è possibile ottenere diagrammi di pressione veramente rappresentativi delle condizioni di lavoro del motore, anche se è chiaro che, data la complessità dei problemi relativi a detta misurazione, misurare la pressione nei motori è più un'arte che pura tecnica.

     

On linear versus nonlinear flow rules in strain localization analysis

Summary This note contains some remarks on the analysis of bifurcation phenomena, specifically strain localization (onset of a strain rate discontinuity), in small-deformation elastoplasticity. Nonassociative flow rules are allowed for to cover constitutive models frequently adopted for frictional (and softening) materials such as concrete. The conventional derivation of the localization criterion resting on an incrementally linear comparison material is critically reviewed and compared to the criterion resulting from actual nonlinear plastic flow laws.

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Sommario Si svolgono alcune considerazioni sui fenomeni di biforcazione in solidi elastoplastici in regime di piccole deformazioni (di linearità geometrica) e precisamente sul manifestarsi di localizzazioni intese come discontinuità nel campo delle deformazioni incrementali. Si considerano leggi nonassociate. Vengono così inclusi nella trattazione modelli costitutivi frequentemente adottati per descrivere il comportamento di materiali ad attrito interno e soggetti a danneggiamento (nel senso di degrado di rigidezze elastiche in seguito a deformazioni anelastiche), oltre che soggetti a manifestazioni di instabilità per incrudimento negativo (softening). Si esamina criticamente il criterio, frequentemente adottato in letteratura, di localizzazione fondato su materiale di confronto incrementalmente lineare e si fornisce, corredato da osservazioni comparative, il criterio che risulta dall'assunzione del modello di materiale incrementale non lineare

     

New trends in the analysis of masonry structures

The modern theory of masonry structures has been set up on the hypothesis of no-tension behaviour, with the aim of offering a reference model, independent of materials and building techniques employed. This hypothesis gives rise to inequalities which have to be satisfied by the stress tensor components and, as a dual aspect, to the kinematic behaviour characteristics of media which can be classified as lying between solids and fluids: the structure of the masonry material consists of particles reacting elastically only when in contact. An examination of the plane-stress problem leads us to define, within the prescribed domain under admissible loads, three different subdomains with null, regular, or non-regular principal stress tensors, respectively. As the boundaries of such subdomains are not known a priori, the problem can be classified as a free boundary value problem. The analysis concerns mainly the subdomains where the stress tensor is non-regular; and a non-regularity condition det =0 is added to the equilibrium equations. This condition makes the stress problem isostatic and leads to a violation of Saint-Venant's compliance conditions on strains. Hence there is a need to introduce a strain tensor, not related to the stress tensor, which can be decomposed into an extensional component and a shearing component; we prove that such strains, of the class ^c, are similar to those of the theory of plastic flow. From the point of view of computational analysis the anelastic strains are considered as given distortions; they are computed by means of the Haar-Kármán principle, modified for computational purposes by an idea of Prager and Hodge.

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Sommario La moderna teoria delle strutture murarie, fondata sulla rigorosa non reagenza a trazione del materiale, ha lo scopo di fornire un modello di riferimento indipendente sia dalle caratteristiche del materiale sia dalle techniche costruttive impiegate. L'ipotesi di non reagenza a trazione si traduce in disuguaglianze che le componenti del tensore di stress devono verificare; dualmente il comportamento caratteristico cinematico può esser classificato di confine, come del resto la stessa statica, tra solidi e fluidi: la struttura ipotizzata del materiale muratura consiste di particelle che reagiscono solo se sono in contatto. L'esame del problema piano porta a definire all'interno del dominio di definizione tre differenti tipi di sub-regioni in cui lo stress è nullo, canonico, o singolare. Poiché le frontiere di queste sub-regioni non sono note a priori il problema può anche essere classificato di frontiera libera. L'analisi concerne fondamentalmente la sub-regione in cui il tensore è non regolare, perché deve verificare anche la condizione det =0. Ciò rende isostatico il problema e conduce anche alla violazione della condizione di integrabilità delle deformazioni. Questo passaggio può essere superato introducendo un tensore di deformazioni a tensioni nulle che si può decomporre in una componente estensionale ed in una componente di scorrimento; si dimostra che queste deformazioni sono equivalenti a quelle che intervengono nella Teoria del flusso plastico. Dal punto di vista computazionale le deformazioni anelastiche sono considerate come distorsioni impresse determinate attraverso il principio di Haar-Kármán modificato, per le techniche computazionali, su idee di Prager e Hodge.

     

Mass transfer effects on flow past a vertical oscillating plate with variable temperature

An exact solution to the flow of a viscous incompressible fluid past an infinite vertical oscillating plate, in the presence of a foreign mass has been derived by the Laplace-transform technique when the plate temperature is linearly varying as time. The velocity profiles are shown on graphs and the numerical values of the skin-friction are listed in a table. It is observed that the skin-friction increases with increasingSc, t orGr but decreases with increasingGm ort, whereSc (the Schmidt number), (frequency),t (time),Gr (the Grashof number) andGm is (the modified Grashof number) andt.

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Einfluß von Stoffübergang auf die Strömung entlang einer senkrechten oszillierenden Platte veränderlicher Temperaturen

Zusammenfassung Mit Hilfe der Laplace-Transformation wird eine exakte Lösung für die Strömung einer zähen, inkompressiblen Flüssigkeit entlang einer unendlich ausgedehnten, senkrechten, oszillierenden Platte gewonnen, wobei die Einwirkung eines Feststoffs Berücksichtigung findet und die Plattentemperatur linear mit der Zeit veränderlich sein soll. Die Geschwindigkeitsprofile sind in Diagrammen dargestellt und die numerischen Werte der Reibungsschubspannung in einer Tabelle. Letztere wächst mit der Schmidt-ZahlSc, der Grashof-ZahlGr und dem Produkt aus Frequenz und Zeitt; sie nimmt ab, wennGm (die modifizierte Grashof-Zahl) undt zunehmen.

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Nomenclature C species concentration in the fluid near the plate - C ^– species concentration in the fluid away from the plate - C _W species concentration at the plate - C _p specific heat at constant pressure - D chemical molecular diffusivity - Gm modified Grashof number - Gr Grashof number - g acceleration due to gravity - K thermal conductivity - P Prandtl number - Sc Schmidt number - T Temperature of the fluid near the plate - T _W temperature of the plate - T temperature of the fluid far away from the plate - t time - u velocity of the fluid in the upward direction - U ₀ amplitude of oscillation - x coordinate axis along the plate in the vertically upward direction - y coordinate axis normal to the plate Greek symbols skin-friction - viscosity - coefficient of volume expansion - ^* coefficient of species expansion - density - frequency     

On the relativistic extension of the equations of the classical gravitational potential

Summary The meaning of the vector V which characterizes the difference between the two tensor potentials of the Riemann and of the Weyl tensor is here studied. In the context of general relativity, the equations satisfied by such a vector and by the scalar potential characterizing its irrotational part, are connected to the equation proposed by Cattaneo as a relativistic extension of the Gauss-Poisson classical one. The link between the vector potential V and the standard gravitational field is thus obtained, for static universes.

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Sommario Si studia il significato del vettore V che caratterizza il divario fra i tensori potenziali dei tensori di Riemann e di Weyl. Le equazioni cui soddisfano, in relatività generale, detto vettore ed il potenziale scalare che ne individua la parte irrotazionale, vengono collegate con l'equazione relativistica proposta da Cattaneo quale estensione di quella classica di Gauss-Poisson. Si perviene così, nel caso statico, a stabilire un legame fra il potenziale vettore V ed il campo gravitazionale standard.

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This work was done in the sphere of activity of the C.N.R. Groups for mathematical research.     

On the Temperature of a Rarefied Gas in Non‐Equilibrium

This paper addresses the problem of the proper definition of temperature of a gas in nonequilibrium. It shows that the mean kinetic energy of the atoms of a rarefied gas is not a good measure for thethermodynamic temperature, because in general it jumps at a wall, and because it is nonmonotone in a onedimensional process of stationary heat conduction. The jump of the kinetic temperature is calculated and found to be about 5K in a rarefied gas. The basis for the calculations is provided by the arguments of extended thermodynamics of 14 moments. An essential tool is the minimax principle of entropy production recently postulated by Struchtrup Weiss [1], because it furnishes one important boundary condition.Sommario. Il lavoro riguarda la corretta definizione della temperatura di un gas in condizioni di nonequilibrio. Si mostra come lenergia cinetica media degli atomi di un gas rarefatto non sia una buona misura della temperatura termodinamica poiché in generale, essa risulta discontinua su una parete e nonmonotona in un processo unidimensionale di conduzione stazionaria del calore. Viene calcolato il salto della temperatura cinetica che risulta pari a circa 5K in un gas rarefatto. La base per il calcolo è fornita dal contesto della termodinamica estesa di 14 momenti. Uno strumento essenziale è rappresentato dal principio di minimax di produzione di entropia recentemente postulato da Struchtrup and Weiss [1], che fornisce unimportante condizione alcontorno.     

Worst time histories of transient dynamic actions on linear structures

Summary Some important time history sets of transient dynamic actions are examined. The results of previous studies, aimed at characterizing the worst time histories (understood as the ones that maximize certain measures of the structural response) in the sets, are generalized. The uses of the worst time histories, in the field of the linear analysis of structures, are discussed.

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Sommario Vengono presi in esame alcuni significative insiemi di time histories di azioni dinamiche transitorie. I risultati di precedenti studi, rivolti ad individuare negli insiemi le time histories estremanti·, intese come quelle che massimizzano certe misure della risposta strutturale, sono generalizzati. Le utilizzazioni delle time histories estremanti nel campo dell'analisi lineare delle strutture sono discusse.

     

On elastic-plastic structures with associated stress-strain relations allowing for work softening

Summary For the elementary (finite or infinitesimal) constituents of the structure are assumed generalized stress-strain relations which satisfy the condition of normality but which may exhibit work-softening, concavity of yield surfaces, variation of elastic coefficients with stress and/or plastic strain.The usual phenomena of geometric instability are excluded. Sufficient conditions are formulated for overall stability in spite of the presence of unstable elements, and for uniqueness of the incremental boundary-values problem. Conditions are discussed with a view to applications and expressed in terms of positive definiteness of appropriate quadratic forms.Finally, yield surfaces and flow laws for the structure are examined, and among other things their necessary association is shown.

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Sommario Per i costituenti elementari (finiti o infinitesimi) della struttura si assumono legami incrementali tra sforzi e deformazioni generalizzati che soddisfano alla condizione di normalità ma che per il resto sono generici, cioè tali da presentare eventualmente incrudimento negativo, concavità del campo elastico, variazione dei coefficienti elastici con gli sforzi e/o con le deformazioni plastiche.Esclusi per il sistema i fenomeni usuali di instabilità geometrica si formulano condizioni sufficienti per la stabilità del complesso nonostante la presenza di parti a funzionamento instabile, e per l'unicità del problema incrementale al contorno. Le condizioni sono discusse in vista delle applicazioni ed espresse in termini di definizione positiva di forme quadratiche opportune.Si esaminano infine le superfici di snervamento e le leggi di scorrimento per l'intera struttura e, tra l'altro, se ne dimostra la necessaria associazione.

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First published in Italian in Rendiconti dell'Istituto Lombardo Classe Scienze e Lettere, A 100, 1966.The present investigation has been promoted and financed by the Consiglio Nazionale delle Ricerche (C.N.R.) at the Istituto di Scienza delle Costruzioni of the Facoltà di Architettura, Politecnico of Milano. Part of it was carried out at Brown University (Providence R. I. - U.S.A.). The author acknowledges with tanks the NATO Fellowship assigned by the C.N.R. in 1964, the encouragement and kind hospitality he received from Professor D.C. Drucker, and the interesting discussions he had with Professor Drucker and Dr. A. C. Palmer.     

Optical co-ordinates in general relativity 2 — the problem of distance

Summary Let denote the congruence of null geodesics associated with a given optical observer inV ₄. We prove that determines a unique collection of vector fieldsM₍₎ ( =1, 2, 3) and ₍₀₎ overV ₄, satisfying a weak version of Killing's conditions.This allows a natural interpretation of these fields as the infinitesimal generators of spatial rotations and temporal translation relative to the given observer. We prove also that the definition of the fieldsM₍₎ and ₍₀₎ is mathematically equivalent to the choice of a distinguished affine parameter f along the curves of, playing the role of a retarded distance from the observer.The relation between f and other possible definitions of distance is discussed.

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Sommario Sia la congruenza di geodetiche nulle associata ad un osservatore ottico assegnato nello spazio-tempoV ₄. Dimostriamo che determina un'unica collezione di campi vettorialiM₍₎ ( =1, 2, 3) e ₍₀₎ inV ₄ che soddisfano una versione in forma debole delle equazioni di Killing. Ciò suggerisce una naturale interpretazione di questi campi come generatori infinitesimi di rotazioni spaziali e traslazioni temporali relative all'osservatore assegnato. Dimostriamo anche che la definizione dei campiM₍₎, ₍₀₎ è matematicamente equivalente alla scelta di un parametro affine privilegiato f lungo le curve di, che gioca il ruolo di distanza ritardata dall'osservatore. Successivamente si esaminano i legami tra f ed altre possibili definizioni di distanza in grande.

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Work performed in the sphere of activity of: Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del CNR.     

Significance of the deborah number in steady flows

Summary A brief discussion of the constant stretch history concept introduced by Noll, and of the perpetual rheological history concept introduced by Oldroyd, shows that these are essentially equivalent. The physical meaning which is generally attached to the Deborah number implies that its value is zero for constant stretch history flows. These are a more restricted class than all steady flows, and thus a definition of the Deborah number is given, to be used in the analysis of steady flows, which fulfills the requirement of yielding a zero value when applied to a constant stretch history flow pattern.

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Sommario Una succinta discussione dei concetti di storia costante di deformazione e di storia reologica perpetua, introdotti rispettivamente da Noll e da Oldroyd, mostra che essi sono essenzialmente equivalenti. Il significato fisico generalmente attribuito al numero di Deborah implica che il suo valore è zero per flussi a storia reologica perpetua. Questi formano una classe più ristretta che non i flussi stazionari, e quindi viene proposta una definizione del numero di Deborah, da usarsi nell'analisi di flussi stazionari, la quale soddisfa il criterio di fornire un valore nullo nel caso di flussi a storia reologica perpetua.

     

A Strongly Degenerate Quasilinear Equation: the Parabolic Case

We prove the existence and uniqueness of entropy solutions of the Neumann problem for the quasilinear parabolic equation u_t=÷ a(u, Du), where a(z,)=f(z,), and f is a convex function of with linear growth as ||||, satisfying other additional assumptions. In particular, this class includes the case where f(z,)=(z)(), >0, and is a convex function with linear growth as ||||.     

Über die Übertragungseinheiten und ein „Vierfelderdiagramm” zur Berechnung von Wärmeübertragern

Zusammenfassung Es wird dargelegt, wie man nach Einführung des bekannten Begriffes Übertragungseinheit und mit Hilfe eines Vierfelderdiagramms zu einer relativ einfachen und durchsichtigen Berechnung von Gleich- und Gegenstrom-Wärmeübertragern gelangt.

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On transfer units and a four-quadrant-diagram for the calculation of heat exchangers

It is shown that the introduction of the known concept of a transfer unit and the use of a four-quadrant diagram leads to a relatively simple and clear computation method for co-current and counter-current heat exchangers.

     

Nonlinear rheological behavior of a concentrated spherical silica suspension

Linear and nonlinear viscoelastic properties were examined for a 50 wt% suspension of spherical silica particles (with radius of 40 nm) in a viscous medium, 2.27/1 (wt/wt) ethylene glycol/glycerol mixture. The effective volume fraction of the particles evaluated from zero-shear viscosities of the suspension and medium was 0.53. At a quiescent state the particles had a liquid-like, isotropic spatial distribution in the medium. Dynamic moduli G^* obtained for small oscillatory strain (in the linear viscoelastic regime) exhibited a relaxation process that reflected the equilibrium Brownian motion of those particles. In the stress relaxation experiments, the linear relaxation modulus G(t) was obtained for small step strain (0.2) while the nonlinear relaxation modulus G(t, ) characterizing strong stress damping behavior was obtained for large (>0.2). G(t, ) obeyed the time-strain separability at long time scales, and the damping function h() (–G(t, )/G(t)) was determined. Steady flow measurements revealed shear-thinning of the steady state viscosity () for small shear rates (< ^–1; = linear viscoelastic relaxation time) and shear-thickening for larger (>^–1). Corresponding changes were observed also for the viscosity growth and decay functions on start up and cessation of flow, + (t, ) and _– (t, ). In the shear-thinning regime, the and dependence of ₊(t,) and _–(t,) as well as the dependence of () were well described by a BKZ-type constitutive equation using the G(t) and h() data. On the other hand, this equation completely failed in describing the behavior in the shear-thickening regime. These applicabilities of the BKZ equation were utilized to discuss the shearthinning and shear-thickening mechanisms in relation to shear effects on the structure (spatial distribution) and motion of the suspended particles.Dedicated to the memory of Prof. Dale S. Parson     

Historical deformation analysis of elastoplastic structures as a parametric linear complementarity problem

Summary Discrete models of elastoplastic beams and frames are considered. The plastic deformability laws (bending moments versus plastic rotations) are piecewise linearized. Plastic deformations are sought as they develop along a proportional loading process. The historical analysis in this sense, is shown to be ameneable to the solution of a parametric linear complementarity problem. Recent mathematical results on this problem, due to R. W. Cottle, are used to obtain numerical solutions. Extensions are pointed out to stepwise proportional loading paths, allowing for the irreversible nature of plastic deformations.

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Sommario Si studiano modelli discreti di telai elastoplastici. I legami tra momento flettente e rotazione plastica sono lineari a tratti. Si determina l'intera evoluzione delle deformazioni plastiche al crescere proporzionale e monotono dei carichi, formulando e risolvendo un problema parametrico lineare di complementarietà. La tecnica numerica alquanto efficiente adottata, è fornita da recenti risultati di R. W. Cottle. Il metodo è esteso a processi di caricamento proporzionali a stadi, tenendo conto, tra stadio e stadio, della irreversibilità della deformazione plastica.

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All other symbols are defined when used for the first time.     

On the closure problem for Darcy's law

In a previous derivation of Darcy's law, the closure problem was presented in terms of an integro-differential equation for a second-order tensor. In this paper, we show that the closure problem can be transformed to a set of Stokes-like equations and we compare solutions of these equations with experimental data. The computational advantages of the transformed closure problem are considerable.Roman Letters A interfacial area of the- interface contained within the macroscopic system, m² - A _e area of entrances and exits for the-phase contained within the macroscopic system, m² - A interfacial area of the- interface contained within the averaging volume, m² - A _e area of entrances and exits for the-phase contained within the averaging volume, m² - B second-order tensor used to respresent the velocity deviation - b vector used to represent the pressure deviation, m^–1 - C second-order tensor related to the permeability tensor, m^–2 - D second-order tensor used to represent the velocity deviation, m² - d vector used to represent the pressure deviation, m - g gravity vector, m/s² - I unit tensor - K C ^–1,–D, Darcy's law permeability tensor, m² - L characteristic length scale for volume averaged quantities, m - characteristic length scale for the-phase, m - l _i i=1, 2, 3, lattice vectors, m - n unit normal vector pointing from the-phase toward the-phase - n _e outwardly directed unit normal vector at the entrances and exits of the-phase - p pressure in the-phase, N/m ² - p intrinsic phase average pressure, N/m² - p –p , spatial deviation of the pressure in the-phase, N/m² - r position vector locating points in the-phase, m - r ₀ radius of the averaging volume, m - t time, s - v velocity vector in the-phase, m/s - v intrinsic phase average velocity in the-phase, m/s - v phase average or Darcy velocity in the \-phase, m/s - v –v , spatial deviation of the velocity in the-phase m/s - V averaging volume, m³ - V volume of the-phase contained in the averaging volume, m³ Greek Letters V /V volume fraction of the-phase - mass density of the-phase, kg/m³ - viscosity of the-phase, Nt/m²