从几何的角度看微分中值定理

从平面几何中曲线之间的相切关系不依赖于坐标轴的选取这一基本事实去看数学分析中Rolle中值定理、Lagrange中值定理以及Cauchy中值定理.     

微分中值定理的另类证明与推广

通常教科书中,微分中值定理的证明建立在罗尔(Rolle)定理之上.本文以实数连续性中的重要定理———区间套定理为依据,给出了拉格朗日微分中值定理的另类证明.此外,还给出了中值定理的若干推广形式.     

应用微分中值定理证题时的确定区间法

应用 Rolle中值定理、L agrange中值定理、Cauchy中值定理证题时的一般步骤是 :(1 )设出辅助函数 ;(2 )确定区间 ;(3 )验证定理条件 ;(4)应用定理结论 .介绍构造辅助函数的文章较多 ,确定区间的文章少见 ,本文重点介绍确定区间 .一、Rolle中值定理例 1　设 f (x)在 [0 ,1 ]上可导 ,且满足关系式 f (1 ) -2∫120xf (x) dx =0 .证明 :在 (0 ,1 )内至少存在一点 ξ,使得 f′ (ξ) =-f (ξ)ξ .分析　从结论 f′(ξ) =-f (ξ)ξ f (ξ) ξf′(ξ) =0 ,易猜出辅助函数为 F(x) =xf (x) ,即是被积函数 .余下的问题是在什么区间上应用 Rolle中…     

罗尔定理的一个证明

本文利用连续函数的极值原理、介值定理以及极限的两边夹定理,给出了罗尔(Rolle)中值定理一个简洁证明。由于该方法迴避了运用(未被编入工科高等数学教程中的)区间套原理,从而比《美国数学月刊1979(86)》发表的Hans Samelson[1]和Alexander Abian[2]的两个新证明,在我国理工科数学有关的教学实践中更为通用。特别地,本文的方法还避免了使用文[1]所引用的P.Lévy平行弦定理[3]。     

无穷区间上的中值定理

本文将微积分学中的几个中值定理(Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理、积分中值定理和推广积分中值定理)全部扩展到无穷区间上去,得到若干个无穷区间上的中值定理,其中值点均在无穷开区间内存在,从而使微积分学的中值定理理论更完善、应用更广泛。     

有关中值定理的探究性教学

通过对中值定理教学思路的设计,给出探究性教学方法的一个实例,即通过导数概念的物理意义导出Lagrange中值定理,经特殊化后推出Rolle定理,再经化归思想给出Lagrange定理的证明,最后推广得到Cauchy中值定理,并借助类比或化归思想分别给出Cauchy定理的证明．     

关于三个微分中值定理的证明

<正> 在我们所见到的书中,三个微分中值定理的证明顺序依次为Rolle定理,Lagrange定Cauchy定理。本文按与上述完全相反的顺序给出证明,使整个证明显得十分简捷。     

利用Rolle定理证明时求原函数的若干方法

证明“ ζ∈ ( a,b)使 f (ζ) =0”是微分中值定理应用中的重要题型 ,常常可以用 Rolle定理来证明 ,即将问题转化为求 f( x)的原函数 F( x) ,对 F( x)利用 Rolle定理来证明 F′( x) (即 f( x) )在 ( a,b)内存在零点。所以 ,寻找原函数 F( x)是利用这一方法解决问题的关键。对于命题“ ζ∈ ( a,b)使f′( ζ) =0 (或 f″( ζ) =0 )”的证明也常常采用上面的方法。这一方法是学生普遍感到困难的地方 ,是教学的难点。本文针对这一问题进行了探讨 ,总结了原函数 F( x)的四种求法 ,并举例说明了在利用Rolle定理证明上述这类命题时的应用。　…     

对一道数学分析题证明方法的改进

某文献在处理一道关于高阶导数的应用问题时,反复利用Rolle定理来证明高阶导数为零．考虑到这种做法过于繁琐,遂通过对其证明方法的改进,综合使用Lagrange中值定理和Taylor公式,使该问题的解决获得简化．     

Rolle定理的推广和Rota问题

本文将经典的Rolle定理推广到一类微分算子，并对哑演算中Rota提出的至今尚未解决的广义Taylor展开式的余项估计问题所派生的问题作了研究．     

罗尔定理证明一类存在性问题

提出罗尔定理证明一类存在性问题的方法,采用拉格朗日中值定理或柯西中值定理来证明这类问题往往需要构造精巧的辅助函数,我们还指出了这种方法的一般性.     

罗尔定理应用中的辅助函数构造法

给出在利用罗尔定理证明等式时所需辅助函数的一种构造方法，并借助实例加以说明．     

微分中值定理的应用及推广

介绍应用微分中值定理时,构造所需辅助函数的两种有效方法：观察法和解微分方程法。并通过变量代换法化无限为有限,将罗尔定理的应用推广到无限区间上。     

完全覆盖和加标分割在分析中的应用

通过对数学分析中众多定理的证法的分析,说明利用文中的两个引理可使一些定理的证法既直接又易于接受,使黎曼可积的一个充要条件的证明简捷,文章最后给出了罗尔中值定理的一种简单的新证法.     

An analog of the rolle theorem for differential operators andL-spline interpolation

An analog of the Rolle theorem is established for linear differential operators with continuous periodic coefficients. By using this result, exact values of the deviations of interpolationalL-splines are obtained on certain classes of functions given by a linear differential operator.Translated from Ukrainskii Matematicheskii Zhurnal, Vol. 45, No. 8, pp. 1122–1128, August, 1993.     

Role of mass intensity on the stability of elastic systems

Summary A theorem on the role of mass intensity on the stability of undamped, linearly elastic systems subjected to stationary loads (conservative or nonconservative) is derived.

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Zusammenfassung Es wird ein Satz über die Rolle der Massenverteilung bei der Stabilität ungedämpfter linearelastischer Systeme unter stationärer Belastung (konservative oder nichtkonservative) hergeleitet.

     

Radius of Convergence of p-adic Connections and the p-adic Rolle Theorem

We apply the theory of the radius of convergence of a p-adic connection [2] to the special case of the direct image of the constant connection via a finite morphism of compact p-adic curves, smooth in the sense of rigid geometry. We detail in sections 1 and 2, how to obtain convergence estimates for the radii of convergence of analytic sections of such a finite morphism. In the case of an étale covering of curves with good reduction, we get a lower bound for that radius, corollary 3.3, and obtain, via corollary 3.7, a new geometric proof of a variant of the p-adic Rolle theorem of Robert and Berkovich, theorem 0.2. We take this opportunity to clarify the relation between the notion of radius of convergence used in [2] and the more intrinsic one used by Kedlaya [16, Def. 9.4.7.].     

罗尔中值定理的一些新证法

给出了罗尔微分中值定理的三种新的证明方法,其中第二种很简便的方法仅依赖于大家熟知的Heine-Borel有限覆盖定理.由此可见罗尔微分中值定理可以是实数的完备性的直接推论.     

关于罗尔定理的进一步讨论

对罗尔定理进行深入系统的探讨和研究.给出在更弱条件下的各种区间类型(包括有限区间和无限区间)的罗尔定理的推广形式.