有理数集上不存在四连贯的二次多项式

有理数集上不存在四连贯的二次多项式甘志国（湖北省竹溪县龙滩中学４４２３００）杨仕椿同志在本刊文［１］中给出定义若数集Ｋ上的多项式ｆ（Ｘ）与ｆ（ｘ）＋１均在Ｋ上可约（指能表成Ｋ上的两个次数低一些的多项式的积），则称ｆ（Ｘ）为Ｋ上的连贯多项式，若Ｋ上的多...     

《关于whc78，whc79的解决》一文的错误及补充

《关于ｗｈｃ７８，ｗｈｃ７９的解决》一文的错误及补充余熙国（河南新乡市第五职业高中４５３０００）阅读本刊１９９５年第二期杨仕椿老师的《关于ｗｈｃ７８，ｗｈｃ７９的解决）＂＇一文，深受启发．但文中的两个定理都有误．本文旨在指出其错误，并对多连贯多项式作...     

二次分式函数的值域及检验

设二次分式函数ｙ＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２①其中ａ１,ａ２,ｂ１,ｂ２,ｃ１,ｃ２∈Ｒ．如何求函数的值域Ａ？若令ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１,ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２,如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）存在一次或二次公因式或ａ１,...     

关于Lagrange平均插值过程的逼近阶估计

本文以多项式（１＋ｘ）Ｖｎ（ｘ）Ｖｎ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｎ＋１２θｃｏｓθ２，ｘ＝ｃｏｓθ的零点作为插值的节点，构造了一个Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式算子过程Ｃｎ（ｆ，ｘ），给出了其逼近阶估计．同时证明Ｃｎ（ｆ，ｘ）亦满足Ｄｉｔｚｉａｎ－Ｔｏｔｉｋ定理．     

关于Thue方程的解数

设ｍ是正整数，ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ａ０Ｘｎ＋ａ１Ｘ（ｎ－１）Ｙ＋．．．＋ａｎＹｎ∈Ｚ［Ｘ，Ｙ］是Ｑ上不可约化的叫ｎ（ｎ≥３）次齐次多项式。本文证明了：当ｇｃｄ（ｍ，ａ０）＝１，ｎ≥４００且ｍ≥１０（３５）时，方程｜ｆ（ｘ，ｙ）｜＝ｍ，ｘ，ｙ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，至多有６ｎｖ（ｍ）组解（ｘ，ｙ），其中ｖ（ｍ）是同余式Ｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ，１）≡０（ｍｏｄｍ）的解数。特别是当ｇｃｄ（ｍ，ＤＦ）＝１时，该方程至多有６ｎ（ω（ｍ）＋１）组解（ｘ，ｙ），其中ＤＦ是多项式Ｆ的判别式，ω（ｍ）是ｍ的不同素因数的个数．     

Jacobi多项式零点为结点的Lagrange插值多项式之逼近

对于可微函数ｆ∈Ｃｑ［－１，１］，本文研究以Ｊａｃｏｂｉ多项式Ｊ（α，β）ｎ（ｘ）的零点为结点组之Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式对ｆ及其导数的同时逼近，证明不等式Ｌ（ｓ）ｎ（ｆ，α，β，ｘ）－ｆ（ｓ）（ｘ）＝Ｏ（１）Δ－ｓｎ（ｘ）Δｑｎ（ｘ）ω（ｆ（ｑ），Δｎ（ｘ））ｌｏｇｎ｛＋（１－ｘ＋ｎ－１）－α－１２ｎ－ｑω（ｆ（ｑ），ｎ－１）｝，在［０，１］上对于ｓ＝０，１，２，…，ｑ一致成立，其中Δｎ（ｘ）＝ｎ－１１－ｘ２＋ｎ－２     

与反函数有关的几个对称问题

由高中《代数》（上册）互为反函数的性质知：互为反函数的两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．那么函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）与函数ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象是否也关于直线ｙ＝ｘ对称？它们之间到底有何关系？本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题：定理１　若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ－１（ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）（ｃ∈Ｒ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋ｃ）的图象关于直线ｙ＝ｘ＋ｃ对称．证明　设Ｐ（ａ,ｂ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）上任意一点,则　　　　　　ｂ＝ｆ（ａ＋ｃ）①而点Ｐ（ａ…     

一道不等式题的简捷证明

题　已知二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ,当－１≤ｘ≤１时,有－１≤ｆ（ｘ）≤１．求证：当－２≤ｘ≤２时,有　－７≤ｆ（ｘ）≤７．这是文［１］例３,原给出的证明较繁,现简证如下．证明　∵　ｆ（１）＝ａ＋ｂ＋ｃ,ｆ（０）＝ｃ,ｆ（－１）＝ａ－ｂ＋ｃ,∴　２ａ＝ｆ（１）＋ｆ（－１）－２ｆ（０）,∴　｜２ａ｜≤｜ｆ（１）｜＋｜ｆ（－１）｜＋２｜ｆ（０）｜≤１＋１＋２＝４,且　｜ｃ｜＝｜ｆ（０）｜≤１．若ｘ∈［－２,２］,则　ｘ′＝ｘ２∈［－１,１］,于是可得　｜ｆ（ｘ）｜＝｜ｆ（２ｘ′）｜＝｜２ｆ（…     

一类与多项式相关的组合恒等式

一类与多项式相关的组合恒等式王良成（四川省达县师专６３５０００）本文给出一类与多项式相关的组合恒等式，由此可以产生许多有用的组合恒等式．定理设是１＋１次多项式，则证明１°当ｎ－１，即ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ０时，则即（１）式成立．２°假设ｎ＝ｋ，即...     

1997年高考24题的深刻背景

文［１］介绍了１９９７年高考（理科）２４题的命题思想，其最初形式为给定二次多项式ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，ａ＞０，设０＜ｘ１＜ｘ２＜１ａ，满足ｆ（ｘｉ）＝ｘｉ，ｉ＝１，２，证明：当０＜ｘ＜ｘ１时，（１）ｘ＜ｆ（ｘ）＜ｘ１；（２）存在０＜ｑ＜１，使得...     

一个二维整数瓶颈问题及其算法

本文讨论了数学模型：ｍａｘ｛ｆ（ｘ）│ｆ（ｘ）＝ｍｉｎ（１≤ｊ≤ｎ）〔ｃ１ｊｘ１ｊ＋ｃ２ｊｘ２ｊ〕，ｘ∈Ｄ｝，其中Ｄ＝｛ｘ│ｘ＝｛ｘｉｊ｝，ｎΣ（ｊ＝１）ｘｉｊ＝ａ，ｉ＝１，２，ｘｉｊ≥０且为整数｝，并给出了一个拟多项式算法。     

1999年全国高中联赛第三题的简解

题目　已知当ｘ∈［０,１］时,不等式ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０恒成立,试求θ的取值范围．这是１９９９年全国高中数学联合竞赛试题第三题,下面给出一种有别于“标准答案”的简单解法．解　若对一切ｘ∈［０,１］,恒有ｆ（ｘ）＝ｘ２ｃｏｓθ－ｘ（１－ｘ）＋（１－ｘ）２ｓｉｎθ＞０,则　ｓｉｎθ＝ｆ（０）＞０,ｃｏｓθ＝ｆ（１）＞０,∴　２ｋπ＜θ＜２ｋπ＋π２,ｋ∈Ｚ．（１）又　ｆ（ｘ）＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）ｘ２－（１＋２ｓｉｎθ）ｘ＋ｓｉｎθ＝（１＋ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）［…     

关于广义Thue－Mahler方程的解数

设ａ，ｂ是非零整数，ｐ１，…，ｐｒ是不同的素数，Ｐ＝｛±｜ｍ１，…，ｍｒ是非负整数｝．设Ｋ是ｎ（ｎ≥３）次代数数域，α１，…，αｍ∈ｋ（１＜ｍ＜ｎ），△（α１，…，αｍ）是α１，…，αｍ的判别式，ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝αＮｋ／Ｑ（α１ｘ１＋…＋αｍｘｍ）∈ｚ［ｘ１，…，ｘｍ］．本文证明了：当ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）非退化且Ｐｉ△（α１，…，αｍ）（ｉ＝１，…，ｒ）时，方程ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝ｂｙ，ｘ１，…，ｘｍ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，ｙ∈Ｐ至多有（４Ｓｄ２）（Ｓｄ）组解（ｘ１，…，ｘｍ，ｙ），其中ｄ＝ｎ！，Ｓ＝ｒ＋ω是ｂ的不同素因数的个数，ｈＡ是Ｋ的类数．     

巧用函数单调性解赛题

函数ｆ（ｘ）在区间［ａ,ｂ］上单调增加（或单调减少）,又ｃ、ｄ∈［ａ,ｂ］上,若ｆ（ｃ）＝ｆ（ａ）,则有ｃ＝ｄ．１　求代数式的值例１　已知ｘ、ｙ∈［－π４,π４］,ａ∈Ｒ,且　ｘ３＋ｓｉｎｘ－２ａ＝０４ｙ３＋ｓｉｎｙｃｏｓｙ＋ａ＝０则ｃｏｓ（ｘ＋２ｙ）＝　　．（１９９４年全国高中数学竞赛题）解　由已知条件,可得　　ｘ３＋ｓｉｎｘ＝２ａ（－２ｙ）３＋ｓｉｎ（－２ｙ）＝２ａ故可设函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,则有ｆ（ｘ）＝ｆ（－２ｙ）＝２ａ．由于函数ｆ（ｔ）＝ｔ３＋ｓｉｎｔ,在［－π２,π２］上是单…     

关于多项式因式分解的两个定理

关于多项式因式分解的两个定理彭明海（湖南吉首大学４１６０００）我在《高等代数》教学中，发现下面两个定理，今介绍出来，供同行参考．定理１设ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋ａｎ－ａｎ－１ｎ＋…＋（Ｚ［ｘ］表示整系数多项式集合）如果有一个素数ｐ满足条件且则ｆ（ｘ）在有...     

A New Class of Generalized Landau Linear Positive Operator Sequence and Its Properties of Approximation

§１．　ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＩｎ１９０８，Ｅ．Ｌａｎｄａｕｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇｗｅｌｌｋｎｏｗｎｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｏｐｅｒａｔｏｒｓ［１］Ｌｎ［ｆ（ｔ）；ｘ］＝Ｋｎ∫１－１ｆ（ｔ）［１－（ｔ－ｘ）２］ｎｄｔ，　　　　（１．１）ｗｈｅｒｅ　　　　　Ｋｎ＝［∫１｛－１（１－ｔ２）ｎｄｔ］－１～ｎπ　　（ｎ→∞）．（１．１）ｗａｓｕｓｅｄｉｎｔｈｅｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅＷｅｉｅｒｓｔｒａｓｓＴｈｅｏｒｅｍ．Ｓｉｎｃｅｔｈｅｎ，ｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｐｒｏｐ－ｅｒｔ…     

巧构函数解一类三角问题

定理设ｆ（ｘ）＝ａ１ｓｉｎ（ｘ＋α１）＋ａ２ｓｉｎ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｓｉｎ（ｘ＋αｎ）（或ｆ（ｘ）＝ａ１ｃｏｓ（ｘ＋α１）＋ａ２ｃｏｓ（ｘ＋α２）＋…＋ａｎｃｏｓ（ｘ＋αｎ））（ａｉ,αｉ是常量,ｉ＝１,２,…,ｎ）．如果对ｘ１,ｘ２（ｘ１－ｘ２...     

相依样本下密度函数及其导函数的相合随机窗宽核估计

设（Ｘｎ）是Ｒ＾１中的平稳，强混合序列，具有公共的密度ｆ（ｘ），则可定义ｆ（ｘ）及其导函数ｆ＾（ｒ）（ｘ）的核估计与最近邻估计ｆ＾（ｒ）ｎ（ｘ）＝（ｎｈ＾ｒ＋１ｎ（ｘ））＾－１ｎ∑ｉ＝１Ｋ＾（ｒ）（Ｘｉ－Ｘ／ｈｎ（ｘ）），ｆｎ（ｘ）＝（ｎａｎ（ｘ））＾－１ｎ∑ｉ＝１Ｋ（Ｘｉ－ｘ／ａｎ（ｘ））其中核函数Ｋ（Ｘ）为取定的概率密度函数，且具有ｒ（ｒ≥０）阶导数，窗宽ｈｎ（ｘ）＝ｈｎ（ｘ；Ｘ１，．．．，Ｘ     

关于广义Thue－Mahler方程的解数

设ａ，ｂ是非零整数，ｐ１，…，ｐｒ是不同的素数，Ｐ＝｛±｜ｍ１，…，ｍｒ是非负整数｝．设Ｋ是ｎ（ｎ≥３）次代数数域，α１，…，αｍ∈ｋ（１＜ｍ＜ｎ），△（α１，…，αｍ）是α１，…，αｍ的判别式，ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝αＮｋ／Ｑ（α１ｘ１＋…＋αｍｘｍ）∈ｚ［ｘ１，…，ｘｍ］．本文证明了：当ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）非退化且Ｐｉ△（α１，…，αｍ）（ｉ＝１，…，ｒ）时，方程ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝ｂｙ，ｘ１，…，ｘｍ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，ｙ∈Ｐ至多有（４Ｓｄ２）（Ｓｄ）组解（ｘ１，…，ｘｍ，ｙ），其中ｄ＝ｎ！，Ｓ＝ｒ＋ω是ｂ的不同素因数的个数，ｈＡ是Ｋ的类数．     

复合函数中外函数的确定

问题很多书刊资料上都有这样一道题：例１已知函数ｆ（ｘ２－３）＝ｌｇｘ２ｘ２－６，求ｆ（ｘ）并判断ｆ（ｘ）的奇偶性．而其答案却有两种：答案一：ｆ（ｘ）＝ｌｇｘ＋３ｘ－３（ｘ＞３），它没有奇偶性．〔１〕答案二：ｆ（ｘ）＝ｌｇｘ＋３ｘ－３，它是奇函数．为什...