Fondamenti della geometria sulle varietà algebriche

Sunto Vengono qui continuaté le ricerche dell'Autore, dal 1909 in poi, intorno alla geometria sopra una varietà algebrica del corpo complesso e si costruisce in particolare una esauriente teoria delle irregolarità della varietà, fondata sia sopra una loro definizione geometrico-topologica, come sopra una loro definizione trascendente, stabilendosi inoltre l'equivalenza delle definizioni. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno. Questa Memoria, preparata in occasione del giubileo scientifico del CollegaGiovanni Sansone, ed a lui dedicata, vuole anzitutto attestare la mia, anzi la nostra gratitudine, verso chi mi è stato efficientissimo Condirettore per tanti anni, fin da quando cioè, per una deplorevole disposizione, restai solo nel Comitato Scientifico degli ? Annali ?, divenendone automaticamente, senza mia volontà, unico Direttore. Il Prof.Sansone fu il primo, in ordine di tempo, che scelsi per associarlo a me nella Direzione dell'antico e celebrato periodico. Con lui, a nostra volta, scegliemmo d'accordo, a mano a mano, per successive cooptazioni, gli altri Colleghi. All'abilità e alla solerzia tecnico-organizzativa di lui, siamo quasi interamente debitori dell'odierno prestigio e dell'attuale diffusione del nostro Periodico, oggi patrimonio prezioso, materiale e morale, della matematica italiana. La Memoria è stata preannunciata da una I Nota riassuntiva, contenente però quasi tutto l'essenziale, pubblicata nei Rendiconti dell'Accademia Nazionale dei Lincei, seduta del 9 maggio 1959, e da una II Nota pubblicata nei Rendiconti della stessa Accademia, seduta del 14 settembre 1959. I fondamenti della parte più moderna della geometria sopra una varietà (dell'ordinario corpo complesso) i cui inizi spettano, come ben si sa, aNoether, furon posti in luce dalle seguenti Memorie dall'A. e da quelle di altri, con esse più o meno immediatamente collegate. Citazioni più circostanziate trovansi nelle Memorie cui alludiamo dell'A., e cioè:Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: I contributo, Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1909. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: II Contributo, Annali di Matematica, 1951. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: III Contributo, Annali di Matematica, 1956. Ivi son richiamate anche le Note preliminari dei Comptes Rendus, 1955, 1956, sulle forme differenziali di 1^a specie. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: IV Contributo. La teoria delle irregolarità delle varietà algebriche, Rend. Acc. Naz. dei Lincei, 1956. —Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: V Contributo. Ancora sulla teoria delle irregolarità, Memorie dall'Accademia Nazionale dei XL, 1957–58. I risultati della presente Memoria potranno essere confrontati con quelli conseguiti daE. Marchionna nell'Appendice ch'egli, aderendo alla mia richiesta, ha aggiunte alla fine del mio Trattato citato nella nota (²) a piè della pag. 3 della presente Memoria (precisamente l'Appendice diMarchionna va da pag. 395 in poi). Il Trattato ha potuto essere completamente stampato, mercè la solerte cooperazione di lui, sia pel coordinamento d'una parte della materia, come per la correzione d'una buona metà delle bozze del volume, ch'egli ha preso in consegna quando il dattiloscritto non era neppure composto tipograficamente per intero. Per tutto ciò rinnovo qui al Prof.Marchionna l'espressione della mia viva gratitudine, alla quale si associeranno di certo quanti troveranno nel volume qualcosa di utile pei progressi della geometria algebrica, sia nel dominio classico, come in quello astratto. A proposito dei risultati contenuti nell'Appendice IV, devo ricordare che la relazione fra la somma dalle due ultime irregolarità diV _d, la deficienza del sistema canonico parziale staccato sopra una ipersuperficieE elementare, dal proprio sistema aggiunto |E' |, nonchè la sovrabbondanza del sistema |E' | viene conseguita pure per via algebrico-geometrica, diversa da quella qui esposta, nella pag. 429 dell'Appendice predetta e precedentemente nel lavoro diMarchionna Sul teorema di Riemann-Roch, ecc. (Nota III), Lincei, 1958, p. 673. Una delle vie indicate daMarchionna, onde pervenire alla relazione cui s'allude, presuppone tuttavia, in un secondo tempo, il teorema (diKodaira) di regolarità dell'aggiunto. Questosecondo modo di deduzione permette di ottenere più rapidamente il risultato, ed ha il vantaggio di conseguirlo più in generale, in relazione ad una generica ipersuperficieA non singolare, tracciata sopra unaV _d, priva di punti multipli; mentre qui (come nella Nota lincea preventiva) c'interessa di conseguire la relazione, di cui al successivo n. 2, con una dimostrazione del tutto autonoma. nel quadro della geometria algebrica classica, in quanto sopra la relazione cui si allude, noi vogliamo dipoi poggiare la deduzione di parecchie altre proprietà, stabilite daKodaira con mezzi di analisi, che si allontanano molto dal quadro predetto. Di ciò diremo più ampiamente nella presente Memoria e nelle Memorie che continueranno la presente.     

Algebre Booleane e loro struttura interna analitica (funzionale e matriciale) e geometrica (metrica e topologica)

Sunto In un'algebra booleana finita si presenta il fatto nuovo che molte delle strutture in essa costruibili a partire dai suoi elementi, sono intimamente connesse, si da essere aspetti diversi della stessa cosa. Si rileva che funzioni intere (cioè quelle che si ottengono operando su una variabile booleana con le operazioni booleane) matrici, ideali, filtri (e le formazioni più ampie che sono gli intervalli) e classi di equivalenza, mostrano appunto questo allacciamento. Inoltre, ognuna di queste formazioni dà in sostanza origine ad altre algebre booleane o a queste isomorfe, o di queste qiù ampie. Quindi, in un certo senso, il campo booleano è completo, riproducendosi in sè per quasi tutte le strutture in esso fattibili. Ma vi è di piu. Se nella formulazione del concetto di misura si abbandona l'idea del numero, quale ? misura di estensione ?, riesce possibile stabilire un concetto di ? di stanza booleana ? di due elementi booleani, la quale soddisfi alla fondamentale relazione triangolare e alla condizione di annullarsi quando e solo quando gli elementi coincidono. Potremo perciò parlare di una metrica intrinseca di un'algebra diBoole; e attraverso opportune definizioni si può estendere questa metrica anche ad aggruppamenti di tre o quattro o più elementi. Ma definita che sia questa metrica ? interna ? viene anche definita, oltre la struttura algebrica, e quella di geometria metrica, una struttura topologica interna. Ed è appunto quanto esprimiamo im questo lavoro, ricollegandoci ad altri precedenti (*) A Enrico Bompiani in occasione del suo Giubileo scientifico     

Sul massimo numero di nodi di una superficie di dato ordine dello spazio ordinario o di una forma di un iperspazio

Sunto L'A. si occupa d'un problema considerato da un secolo a questa parte da molti geometri, senza che tuttavia si fosse pervenuti finora alla soluzione, all'infuori dei particolari valori m=2, 3, 4 dell' ordine. Si tratta del massimo numeŕo di punti doppi conici che può acquistare una superficie d'ordine m dello spazio ordinario, senza acquistare una linea doppia. Occorrono per la ricerca i mezzi più elevati della geometria algebrica e la preparazione di molte interessanti proprietà accessorie delle varietà, per le quali poi si dà un cenno d'estensione del teorema trovato. Entrata in redazione il 12 giugno 1946.     

Applicazione del metodo numerico alla ricerca delle frequenze di vibrazione libera di strutture lineari

Sunto. La frequenza di vibrazione libera di un sistema elastico, come il valore del carico critico, può definirsi mediante un rapporto, ω², da rendere minimo mediante l'opportuna determinazione di una funzione η (configurazione). I metodi approssimati per la soluzione di questo problema variazionale — metodo di Ritz e delle successive approssimazioni — possono essere applicati, anche in questo caso, rappresentando le funzioni η numericamente, con poche differenze rispetto al caso già visto dell' instabilità. Si tratta di definire un appropriato termine correttivo, per eliminare l'errore dovuto alla discontinuità della rappresentazione numerica, e di giungere, attraverso un particolare procedimento, a determinare anche i valori delle prime armoniche dopo la frequenza fondamentale.     

Soluzioni analitiche quasi periodiche delle equazioni alle derivate parziali a coefficienti costanti

Ringrazio le colleghe Daniela Mari e Luisa Zanghirati per avermi invitato a tenere una conferenza a questo convegno. A loro la mia gratitudine perché questa occasione mi consente di dedicare a Lamberto Cattabriga questo lavoro. Con ciò voglio manifestare stima profonda e vivo apprezzamento per i contributi di Cattabriga alla Teoria delle PDE ed alla analiticità, ma desidero anche lasciare un segno della amicizia sincera e della identità di idee che ci unirono in diverse importanti circostanze della nostra vita accademica.     

Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche: Terza Memoria

Sunto è un ulteriore contributo alle proprietà generali di geometria sulle varietà algebriche (dopo quelli apportati dall'Autore con le Memorie del 1909 e del 1951). Qui si tratta delle proprietà delle forme differenziali esterne di1 ^a e di2 ^a specie appartenenti ad una varietà algebrica e si applicano le forme differenziali di1 ^a specie alla ricerca d'una nozione generale, che estenda alle varietà la nozione d'irregolarità d'una superficie. L'A. sbocca così in r −1 irregolarità d'una varietà ∞^r, le quali sono altrettanti invarianti assoluti per trasformazioni birazionali ed hanno stretti legami con le sottovarietà contenute nella data.     

Funzionali analitici ipergeometrici

Sunto In questa Memoria l'A. introduce il concetto difunzionale analitico ipergeometrico confluente e completo e ne studia le proprietà essenziali. Il lavoro è diviso in tre parti. Nella prima parte dà le definizioni fondamentali di questi operatori e studia un funzionale ipergeometrico che chiama diGauss. Nella seconda parte pone in relazione questi funzionali ipergeometrici con alcune classiche trasformazioni della Analisi Funzionale: operatore diLaplace, integrazione, derivazione, logaritmo funzionale diPincherle, ecc. Nella terza parte dà delle relazioni caratteristiche di questi funzionali e li applica in fine alla rappresentazione di un integrale regolare nell'intorno della origine della equazione differenziale diLamé.     

Covarianti birazionali di sistemi lineari di curve sopra una superficie algebrica

Sunto Si determina l'equivalenza funzionale di una certa curva proiettivamente legata al sistema delle sezioni iperpiane di una superficie algebrica dello S_r. Vengono poi studiate talune estensioni a varietà superiori ed alcune applicazioni alla geometria sopra una superficie algebrica.     

Nuovo teorema dei 2n momenti e sua espressione sintetica

Sunto La determinazione degli sforzi in una travatura reticolare iperstatica con aste mutuamente incastrate agli estremi, viene di solito affrontata ricorrendo al? teorema dei quattro momenti ? : il quale, com'è ben noto, collega fra loro imomenti di estremità di due asie consecutive e glispostamenti dei nodi di quelle aste. Momenti e spostamenti non interessano in egual misura, poichè soltanto i primi intervengono nella verifica di stabilità della travatura. Atteso dunque che gli spostamenti figurano nel problema come incognite ausiliarie, ci siam proposti di eliminarli addirittura nello studio della travatura, soslituendo al teorema dei quattro momenti, una nuova relazione la quale interessii soli momenti di estremità. Di questa nuova relazione abbiamo dato una facile interpretazione geometrica, atta a semplificarne l'uso. Al testo fa seguito un esempio di applicazione ad un problema concreto. La presente ricerca fu presentata nella mia tesi di laurea alla R. Scuola d'ingegneria di Roma, nel Novembre 1931.     

Applications of polarity

Sunto Nella prima parte di questo lavoro si sviluppa la geometria differenziale del triedro mobile per il gruppo SL(n). La polarità nella sfera unità trasforma una matrice di Frenet C in — C^T per varie geometrie lineari e proiettive. Nella seconda parte si deriva una serie di disuguaglianze integrali basate sulla trasformazione per polarità. Nella terza parte si calcola la trasformazione della matrice Hessiana e della curvatura di Gauss in polarità e ne fa applicazione ai teoremi di rigidità di Liebmann-Hilbert e J?rgens-Calabi-Pogorelov.

---

---

ToBeniamino Segre on his 70-th birthday

---

Entrata in Redazione il 18 settembre 1974.

---

Research partially supported by NSF Grant GP-27960. AMS (MOS) classification: 26 A 84, 28 A 86, 35 A 30, 35 K 99, 53 A 15, 53 A 20.     

Un metodo numerico per la determinazione del carico critico nelle strutture lineari

Sunto L'impostazione energetica del problema dell'instabilità dell'equilibrio porta ad un problema variazionale: di determinare cicè una funzione η (configurazione) che renda minimo un rapportoK (carico critico). Tale problema conduce a sua volta ad un'equazione differenziale del 2^o ordine difficilmente risolubile nei casi pratici. Oppure si può ricorrere a due metodi approssimati: il metodo diRitz e il metodo delle successive approssimazioni. Questi metodi, che pure comportano notevoli difficoltà se condotti per via analitica, trovano un'efficace applicazione se le configurazioni η vengono rappresentate numericamente, nel modo illustrato nel testo. L'errore inerente alla rappresentazione numerica, per sua natura discontinua (divisione della struttura in intervalli finiti) viene pressochè eliminato con l'introduzione di un termine correttivo. Nel corso della Nota viene anche illustrata la seconda espressione del carico critico nel caso di aste compresse in sommità, e viene dimostrato perchè tale espressione porti a risultati più approssimati.     

Sull'informazione associata alle esperienze incomplete

Sunto Nell'ambito della teoria dell'informazione senza probabilità, si propone una definizione assiomatica dell'informazione associata ad esperienze incomplete. Si discutono in particolare le proprietà del guadagno di informazione e dell'informazione condizionale, giungendo a caratterizzare con un sistema di equazioni funzionali la classe delle misure di informazione che soddisfano agli assiomi adottati; come caso particolare si ottiene la classica misura di Shannon-Rényi. Lavoro eseguito per la realizzazione del programma del gruppo di ricerca n. 7 del C. N. R.     

Correnti positive: Uno strumento per l’analisi globale su varietà complesse

Lo scopo di questo testo è di presentare i temi principali riguardanti le correnti positive su varietà complesse. L’importanza di questo strumento, per coloro che studiano geometria complessa, è evidente; tuttavia non è semplice tenere le fila di una grande quantità di contributi sull’argomento, alcuni dei quali sono ormai pietre miliari su questa via. Vorremmo quindi delineare una “mappa” dei contributi che ci sono sembrati particolarmente significativi; per ovvie ragioni, rimandiamo ai test originali non appena si voglia entrare nel merito dei singoli argomenti. Lo scritto è composto di due parti (oltre a una appendice dedicata al lettore che affronta per la prima volta il tema delle correnti positive): nella prima si trattano principalmente i temi in riferimento alle correnti positive e chiuse, storicamente la classe più importante di correnti per le varietà complesse, in quanto generalizzazione naturale delle sottovarietà. Nella seconda si espongono risultati su correntiT positive pluriarmoniche o plurisubarmoniche, cioè caratterizzate da una condizione imposta alla corrente $i\partial \bar \partial T$ , e naturali generalizzazioni delle funzioni plurisubarmoniche, nonché delle correnti chiuse. Questa scelta è motivata nel primo capitolo della seconda parte, partendo dall’ormai classico teorema di R. Harvey e J.R. Lawson che caratterizza tramite correnti positive e pluriarmoniche l’esistenza di metriche kähleriane su varietà compatte.     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

La formalizzazione della nozione di prova e una nuova definizione dell'indipendenza. II

Riassunto La prima parte di questo lavoro è stata pubblicata sul Vol. XVII, N. 9 di questa rivista. In essa si è compiuta un'analisi delle trattazioni dell'indipendenza nella teoria delle probabilità, analisi che ha consentito di individuare tre approcci fondamentali al problema della definizione dell'indipendenza. Ciascuno dei suddetti approcci è stato ampiamente analizzato sia nelle sue trattazioni intuitive sia, quando ciò si verifichi, nelle sue trattazioni formalizzate. Questo articolo consta della seconda, terza e quarta parte del lavoro. Nella seconda parte si espongono intuitivamente le idee di fondo relative alla nozione di ?prova? che si intende introdurre tra i concetti primitivi della teoria delle probabilità. La terza parte è dedicata all'analisi, operata sempre a livello intuitivo, di una nuova definizione d'indipendenza non coinvolgente la nozione di ?probabilità?, definizione che diviene formulabile grazie alla nozione di ?prova?. La quarta parte è infine dedicata alla formalizzazione degli argomenti trattati nella seconda e nella terza parte.

---

Summary The first part of this work has been published on Vol. XVII, N. 9 of this review. In the first part we have analysed the well-know developments of indipendence in the theory of probability and we have pointed out the existence of three principal points of view. Each of these points of view has been extensively analysed in its intuitive development and in its formalised development, when there exists one. This paper includes the second, third and fourth part of the work. In the second part we analyse intuitively the main ideas about the concept of ?trial? that we intend to introduce among the primitive concepts of the theory of probability. In the third part we analyse intuitively a new definition of indipendence not involving the notion of ?probability? based on the concept of ?trial?. Finally the fourth part is devoted to the formalization of matters treated in the second and in the third part.

---

---

Lavoro eseguito con contributo del CNR, nell'ambito del gruppo nazionale per le strutture algebriche e geometriche e le loro applicazioni (sezione VII).     

Approssimazioni quadratiche nei dominiP-adici

Sunto Si studiano le condizioni sotto le quali un intero P-adico β può essere indefinitamente approssimato (secondo la metrica introdotta dalla valutazione P-adica) con la forma quadratica x²-αy² (dove α è un intero P-adico prefissato) al variare di x, y interi ordinari. Lo studio conduce alla determinazione delle condizioni necessarie e sufficienti per tale approssimabilità e in particolare alla caratterizzazione dei numeri α per i quali l’insieme dei valori assunti dalla forma risulta ovunque denso sul dominio P-adico considerato.     

Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III. An hyperbolic model of elastodynamics

This is the third part of a series devoted to the existence, uniqueness, monotonicity, and asymptotic properties of the traveling wave solutions of diffusive-dispersive conservation law. In this part, we focus attention on a nonconvex hyperbolic model of two conservation laws arising in nonlinear elastodynamics and including nonlinear viscosity and capillarity terms. On one hand, using the techniques developed earlier, we study the properties of the corresponding classical and nonclassical shock waves and their corresponding kinetic relation. Several new features are found for this (hyperbolic) model: First of all, we distinguish here between a kinetic function and an inverse kinetic function; the latter is always globally defined but may fail to be globally invertible. Second, we show that shock waves with sufficiently small amplitude are always classical, for a fixed ratio of diffusion and dispersion. Third, we determine here the asymptotic behavior of the kinetic function for both shocks with large and small amplitudes.

---

Sunto  Questa è la terza parte di una serie di lavori dedicati all'esistenza, unicità, monotonia e proprietà asintotiche delle soluzioni d'onda di propagazione per leggi di conservazione diffusive-dispersive. In questa parte, l'attenzione è focalizzata su un modello iperbolico non convesso di due leggi di conservazione che sorgono in elastodinamica non lineare, che tengono conto della viscosità non lineare e dei termini di capillarità. Da una parte, utilizzando le tecniche precedentemente sviluppate, studiamo le proprietà delle corrispondenti onde d'urto classiche e non classiche e le loro corrispondenti relazioni cinetiche. Diverse nuove proprietà sono state trovate per questo modello (iperbolico). Innanzitutto, qui distinguiamo tra una funzione cinetica ed una funzione cinetica inversa, quest'ultima essendo sempre definita globalmente ma possibilimente non sempre globalmente iinvertibile. In secondo luogo, mostriamo che onde d'urto con ampiezza sufficientemente piccola sono sempre classiche, per un valore fissato del rapporto tra diffusione e dispersione. In ultimo, determiniamo il comportamento asintotico della funzione cinetica per onde d'urto aventi sia ampiezza grande sia piccola.

     

Condizioni di integrabilità nel campo gravitazionale einsteiniano e moto di una particella di prova

Sunto Si completa una ricerca diInfeld eSchild, nella quale la legge di moto di una particella di prova, rappresentata da una singolarità, viene dedotta dalle equazioni della teoria gravitazionale einsteiniana di puro campo, e risulta una geodetica dello spazio-tempo riemanniano incurvato da altri corpi. Si dimostra precisamente che la legge della geodetica costituisce una condizione di integrabilità non soltanto necessaria, come consegue dalla ricerca precedente, ma anche sufficiente affinchè le equazioni (non tensoriali) che caratterizzano il comportamento di una particella di prova in un riferimento solidale con la particella stessa, siano integrabili in ogni istante, in un intorno della posizione istantanea della particella.     

Sostituzioni legate ad una curva di diramazione che possa degenerare in parti doppie

Sunto Si determinano alcuni vincoli per le sostituzioni operanti sulle determinazioni di un piano multiplo avente una data curva di diramazione, vincoli che per ampie classi di piani multipli li determinano univocamente in funzione della curva di diramazione. Si intende cosi portare un contributo al problema dell'identità birazionale dei piani multipli con data curva di diramazione. Si considerano dapprima curve di diramazione ϕ che, variando in un sistema continuo, possano degenerare in una forma limite composta da parti doppie, con comportamento ben determinato per i limiti delle singolarità della curva variabile (tali ipotesi sono effettivamente verificate per un'ampia classe di curve di diramazione). Il risultato viene poi esteso al caso di una curva di diramazione variabileφ (soddisfacente ad ipotesi simili alle precedenti) che sia spezzata in due parti con una di queste corrispondente, non a semplici scambi, ma a sostituzioni su più di due determinazioni Nella ricerca vengono utilizzate proprietà delle trecce algebriche.