一类复数题的解答与剖析

在许多期刊中,常有如下一类题:1.设|z|=1,z~5 z=1,求复数z;2.设|z|=1,z~2 z=1.求复数z;3.设|z|=1.z~(11) z=1,求复数z。这类题目的一般形式是:设|z|=1,z~n 2=1(n∈N),求复数z。 此时,按所提供的解法一般有如下两种: 解法1 设z=cosθ isinθ,     

巧用一个辐角公式求辐角主值

如果记复数z的辐角为Argz,则Argz=argz 2kπ(k∈Z),其中argz为复数z的辐角主值.利用 zz-=|z|2及Arg(az)=Argz(a∈R ),有公式 这样就有公式 ,(当 巧用这一辐角公式,求解某些辐角主值问题,新颖简洁,妙不可言. 例1 已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1,且z2-z1=-1,求argz1/z2.     

对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

利用|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2解题

关于复数模的有关性质之一有公式|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边平方和,利用它解决一类有关复数模的问题不但有效,而且解题过程简单,方法新颖。例1 已知|z 3 4i|~2 |z-3-4i|~2=80求|z|:并说明z点的轨迹表示的图形。分析若设z=x yi代入已知整理,则会步骤冗长,利用     

■=z■z∈R的应用

如果复数z是实数,则z的共轭复数仍是它本身,反之也对,利用=zz∈R解决一些复数问题常常显得思路清晰,解答迅速准确。例1 名为虚数,且z 4/z为实数,求复数z的轨迹。解 z 4/z为实数:=z 4/z 4/=z 4/zz- 4/z-4/=0(z-)(1-4/)=0(z为虚数z-≠0)1-4/=0=4|z|=2。故满足条件的复数z的轨迹是以原点为圆心,以z为半径的圆(不包括与实轴的交     

等式 z·=|z|~2||~2应用一例

复数运算是复数一章的重点,而共轭复数的性质在解题中起作一定的作用,等式z·z=|z|~2=|z|~2沟通着复数与实数的运算,是这两种运算互相转化的有力工具,下面举一例在求复数上的应用。例设z为复数,且|z|=1,若z~2 2z 1/z是负实数,试求z。解设W=z~2 2_z 1/z,则W=-W 即 z_2 2_z 1/z=z~2 2_z十1/z=z~2 2z 1/z     

解答复数问题的若干技巧

复数问题涉及知识面广 ,运算复杂 ,对能力要求高 .若能总结归纳其变化规律 ,掌握解答复数问题的方法和技巧 ,定会收到事半功倍之效 .笔者在教学过程中总结了 8种技巧 .1　巧用 z =z z∈ R解题例 1　设复数 z满足等式 |z - i|=1,且 z≠ 0 ,z≠ 2 i,又复数 w使得 ww - 2 i.z - 2 iz 为实数 ,问复数w在复平面上所对应的点 Z的集合是什么图形 ,并说明理由 .解　∵　 ww - 2 i.z - 2 iz ∈ R,∴　 ww - 2 i.z - 2 iz =( ww - 2 i.z - 2 iz )=ww 2 i.z 2 iz 　 w( w 2 i)w( w - 2 i) =z( z 2 i)z( z - 2 i) 　 　 w =z.∵　　 |z - i|=1　…     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

复数取模

复数等式两边取模是一种运算 ,它可以把复数问题变为实数问题求解 ,运用复数取模 ,可以达到顺利求解之目的 .例 1(课本Ｐ195第 16题 )已知ｚ1 ,ｚ2 ∈Ｃ ,ｚ1 ·ｚ2 =0 .求证 :ｚ1 ,ｚ2 中至少有一个是 0 .证　由ｚ1 ·ｚ2 =0两边取模有 :|ｚ1 ·ｚ2 |= 0 ,则 |ｚ1 ||ｚ2 |=0 ,∴ |ｚ1 |,|ｚ2 |中至少有一个为 0 ,从而ｚ1 ,ｚ2 中至少有一个是 0 .例 2　试求与自身平方共轭的复数 .解　设所求复数为ｚ ,由题意有 : ｚ =ｚ2 ,两边取模有 :| ｚ|=|ｚ2 |,则 |ｚ|=|ｚ|2 ,∴ |ｚ|=0或 1.由 |ｚ|=0得ｚ =0 ;由 |ｚ|=1, ｚ =1ｚ,方程变为ｚ2 =1ｚ,…     

一类含绝对值方程的几何解法

含绝对值的方程,一般解法是分区间讨论,但计算量较大.如果渗透数形结合的思想,运用复数与解几知识求解,可收到事半功倍之效。例1 求方程|x 5] |x-1|=8的实数解. 解:若把x看成复数,则此方程是以z_0=-2为中心,长半轴a=4,半焦距c=3的椭圆方程.此方程的实数解就是椭圆与实轴交点对应的复数:x=-2±4即-2或-6. 一般地,形如|x-c_1| |x-c_2|=2a(a>0,c_1相似文献   

关于方程 Z~2=■

解:由z~2=z两边求模,得|z|~2=|z|=|z||z|=1(|z|≠0)。再用Z(≠0)乘方程两边得z~3=z·z=1。这是高中代数复数中的一道习题: 已知z是虚数,解方程z~2=z 此题的解法通常利用复数的代数式化为二元方程组分别求z的实部和虚部,也有化为三角式求z的模及其辐角的。但都不如以下解法简便。 32     

一道复数题的解法及反思

复数问题的求解。首先要掌握好复数的各种表示形式及运算法则.其次对复数模、共轭、幅角的性质及几何意义也要正确把握.综合利用复数的性质及几何意义求解,常常能简捷、巧妙地解答问题.其中,转化的等价性要特别注意,我们从一道复数题的解法及反思来说明它. 问题1 已知复数z,满足|z|=1,且z1997     

利用一题多解培养学生的创新意识

发散思维是培养和训练学生创新意识的较好方式之一 ,一题多解属发散思维的一种形式 ,在教学中 ,若能抓住一些典型题例 ,运用一题多解的教学方式 ,它将有益于学生创新意识的培养 .课例　已知复数 z1=3 i,| z2 | =2 ,z1z22 是虚部为正数的纯虚数 ,求复数 z2 .多数学生选用的是代数形式和三角形式 ,两种方法都是利用方程和不等式混合组求解 ,但解法均较复杂 .我首先启发他们 ,| z2 | =2 ,z1已知 ,z1z22为纯虚数 ,从模的角度入手呢 ?很快学生得出解法 3　∵　 | z1| =| z2 | =2 ,∴　 | z1z22 | =| z1| | z22 | =8,则　 z1z22 =8i,　 z22 =2 …     

花开双曲线 蝶落哪一支

问题源自一道常见的习题:已知P是双曲线x2/36-y2/64=1上的一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．(1)若|PF1|=14,则|PF2|= _____;(2)若|PF1|=3,则|PF2|=______．常见解法如下:     

一个数学问题的再探讨

命题若复数z_1,z_2,z_3满足z_1+z_2+z_3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。文[1]的作者给出了该命题的一种证法。并探讨了该命题的逆命题。若复平面内以模为1的复数z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是正三角形,则z_1+z_2+z_3=0。容易证明此命题也正确(略)。作者还对该命题进行了推广,笔者读后受益非浅。本文将进一步探讨以上两个命题在解题中的应用。下面以例示明。例1 (1986年苏州市数学竞赛题) 已知复数z满足|z|=1,z~(11)+z=1,求z。解∵ |z|=1, ∴|z~(11)|=|z|=|-1|=1 又z~(11)+z+(-1)=0 ∴z~(11),z,-1所对应的三点构成一个正三角形。故z=(-1)(cos120°±sin120°)=(1/2)±3~(1/2)/2i 例2 (1987年第二届全国高中数学冬令营赛题)     

画图解题

题 1.设|z-3~(1/2) i|=1,求|z|的最值。 2.复数z的一个四次方根是2 i,求z的另外三个四次方根。     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

关于单位圆上有理函数的最佳逼近

<正> 大家知道,在实轴上用三角多项式逼近周期为2π的连续函数的 Jackson 定理的复数形式为:设函数,f(z)在|z|=1上连续且具有直到 P 级微商,则存在 z 和 z~(-1)的多项式 P_N(z)     

巧妙变化耳目一新--利用共轭复数的性质解复数方程

复数方程是复数学习中的一个重要内容 ,我在教学中发现 ,不少学生总是迫不及待地将方程中的变量设为代数形式或三角形式 ,将方程转化为实数方程解决 ,然而这种方法有时是非常费时费力的 .当遇到这种情况时 ,我们需要引导学生在解决问题的同时 ,再探求更加简单的方法 .共轭复数的概念在复数学习中占有极其重要的地位 ,若能在解复数方程中灵活运用 ,则可以大量减少运算量 ,起到事半功倍的效果 .共轭复数的性质有很多 ,在此列举几条供大家参考 :( 1 ) z∈ R　 　 z=z;( 2 ) z是纯虚数 ( z≠ 0 )　 　 z z =0或 z2 =- | z| 2 ;( 3) | z| 2 …     

一个复数设置问题的探究

问题　应用复数知识求函数 ｙ =ｘ2 + 9+ｘ2 - 2ｘ + 5的最小值 .在一次课堂练习中 ,笔者提出以上问题 ,第一步同学们都能将此函数式化为ｙ =ｘ2 + 9+ (ｘ - 1) 2 + 4 ,转化为利用复数的模的性质来求解 .但在第二步设复数具体解的时候 ,所设复数可以说五花八门 ,而所得结果不外乎两种 ,简录四种如下 :(以下ｘ均为实数 )1)设复数ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =ｘ - 1+ 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1| + |ｚ2 |≥ |ｚ1-ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .2 )设ｚ1=ｘ + 3ｉ,ｚ2 =1-ｘ - 2ｉ,则原函数可化为 ｙ =|ｚ1+ |ｚ2 |≥ |ｚ1+ｚ2 | =| 1+ｉ| =2 .3)设ｚ1=ｘ + 3ｉ…