非参数回归函数最近邻估计Lp收敛的速度

Let (X,Y) be a R^d×R¹-valued random vector with E(|Y|)<∞,m(x)=E(Y|X=x) be the regression funvion of Y with respect to X.Suppose that (X_i, Y_i),i=1, …,n, are iid samples drawn from (X,Y). It is desired to estimate m(x) based on these samples,everoye discussed in 1981 (see [2]) the pointwise L_p-convergence of the nearest neigthoor estimate m_n(x) (see (5) of the present paper). In this article we further study the rate of this convergence.It is shown that if there exists p≥2 such that E |Y|^p<∞,then E|m_n(x)-m(x)|^p=O(n^-p/(d+2))a.s. for suitabte choice of the weighte C_m (see(4) of the present paper).     

一类弱拟凸域上的Bergman型算子

得到了算子在空间 L^p(Ω_a,dv_λ)(1< p< ∞)上有界的充分必要条件,其中h(ξ)=(1-|z|²)^α-|w|²,K_s,_u,_v)( ξ , ξ'' )为一核函数.作为应用,证明了对所有多重指标α=( α₁,…,α_n)和β=(β₁,…,β_n),f∈L_H^p(Ωα, dv_λ)蕴含1≤ p<∞.     

强不变原理中的最佳速度

设{X_n}为i.i.d.r.v.s.,EX₁=0,EX₁~2=1,S_n=sum from i=1 to n(X_i),H(x)>0 (x≥0)为非降连续函数,对某γ>0和x₀>0,当x≥x₀时,x^-2-γH(x)非降,x^-1logH(x)非增,且x^-1logH(x)→0(x→∞),则有一标准Wiener过程{W(t),t≥0},使得 S_n-W(n)=O(invH(n))a.s.(n→∞)的充分必要条件是:对任何t>0有EH(t|X₁|)<∞.     

B-值随机变量序列叠对数律的收敛速度

设{X,X_n;n≥1}是在可分Banach空间(B,‖·‖)中取值的独立同分布随机变量序列,并且EX=0,Ef²(X)<+∞,f∈B^*,记S_n=X₁+…+X_n,n≥1.本文的目的是在适当的充要条件下研究和的收敛速度.作为本文结果的应用,分别给出了X满足有界叠对数律和紧叠对数律各一个新的充要条件;同时,本文改进了文献[3]和[4]在实空间情形所建立的一些结果.     

Schur函数的一个展式及其在计数几何中的应用

本文给出对称多项式的幂的Schur函数展式(x₁^k+…+x_n^k)^m=sumC_{(λ1,…,λn)}S_{(λ1,…,λn)}(x₁,…,x_n)中系数C_{(λ1,…,λn)}的计算方法,并把它和文献[1]应用于计数几何的若干问题。     

亚纯函数的幅角分布与增长性

设 f(z)为下级μ<+∞的平面内的亚纯函数,argz=θ_k(k=1,2,…,m;1≤m <+∞;0≤θ₁<θ₂<…<θ_m<2π,θ_m+1=θ_1+2π为平面内m条射线,使得对任意的ε>0及X=0,∞有 这里ρ为一任意给定的非负实数.如果f⁽¹⁾(z)(l≥0)具有一个有穷非零亏值 a,则f(z)的级λ≥max(π/ωρ)其中ω=min (θ_k+1-θ_k).     

线性模型误差方差估计的分布的非一致性收敛速度

设是用线性模型的前n个观察值算出的,基于残差平方和的误差方差σ²的估计,并以G_n(x)记的分布函数,Φ(x)记标准正态分布函数。本文在试验误差序列e₁,e₂,…独立同分布的条件下,只需假定E(e₁⁶)<∞,证明了最佳的非一致性收敛速度其中C为一个与n和x都无关的常数。     

伪微分算子的Lp连续性

本文证明了由L.Hrmander引进的S^m类伪微分算子的L^p连续性.对于S^m类算子的符号p(x,ξ)既没有要求对于ξ的齐次性,也没有要求对x在无穷远处的稳定性,所有这些结论建立在Bessel位势产生的广义函数空间上,作为一个推论,给出了L.Hrmander提出的一个问题的部分肯定解答:设p(x,ξ)∈S^m,1<q≤r<∞,m≤-n(1/q　-1/r),则|p(x,D)u|_L^r≤C|u|_L^q,其中C是一个常数。     

关于Hayman方向

本文获得如下定理:设f(z)为开平面上λ(0<λ<+∞)级亚纯函数,则至少存在一条由原点引出的半直线(B):arg z=θ_?(0≤θ₀<2π),使得对于任意正数ε,任意正整数k及任意两个开平面上级小于λ的亚纯函数a(z)及b(z),只要b(z)—a^(k)(z)?0就有 lim log{n(r,θ₀,ε,f=a(z))+n(r,θ₀,ε,f^(k)=b(z))}/logr=λ。     

有限总体U-统计量的Berry-Esseen界限

设AN为标有实数指标的N个球的一个总体,从中无放回地随机抽取n个球,其指标分别记为x₁,…,x_n.设φN(x,y)为关于x,y对称的二元Borel可测函数,记θ_N=E_φN(x₁,x₂),g(x₁)=E(φN(x₁,x₂)|x₁),σ_g²=Var(g(x₁)).本文证明了:若存在固定常数λ₁,λ₂,使0<λ₁≤n/NP_N≤λ_2<1,则存在仅与λ₁,λ₂有关的绝对常数C,使其中Φ(x)标准正态分布函数。     

关于有界函数的Fourier部分和

本文研究了正整数那样的序列{n_j},对之,存在f∈L^∞(T),使得|s_ⁿj,(0,f)|→∞(此时说{n_j}属于类P);或者对之,我们有(1/m sum from j=1 to m|S_nj(0,f)|^p)^1/p≤C||f||∞,其中C不依赖于m∈z⁺与f∈L^∞(T)(1≤P<固定)(此时说{n_j}属于类p-SF)。对凸序列,我们证明了{n_j}∈p—SFlog n_j≤cj^min(1/2,1/p),其中C只依赖于{n_j}与P。     

关于F2n中的和集

设F₂为两个元素组成的有限域, F₂ⁿ 为F₂上的n维向量空间. 对于集合A, B ⊆ F₂ⁿ , 它们的和集定义为所有两两互异的和a+b所组成的集合, 其中a∈A, b∈B. Green 和Tao 证明了: 设K > 1,如果A, B ? F₂ⁿ 且|A + B|≤K|A|^1/2|B|^1/2, 则存在一个子空间H?F₂ⁿ 满足
|H|>>exp(-O(√KlogK))|A|
以及x,y∈F₂ⁿ, 使得
|A∩(x+H)|^1/2|B∩(y+H)|^1/2≥1/2K|H|.
本文我们将使用Green 和Tao 的方法并作一些修改, 证明如果|H|>>exp(-O(√K))|A|,
则以上的结论仍然成立.     

密度函数的相合随机窗宽核估计

设X₁,X₂,…,X_n是来自具有密度f的总体的R^d(d≥1)中iid。样本,定义基于样本X₁,X₂,…,X_n的f(x)的核估计为:其中窗宽h_n不仅依赖于样本X₁,X₂,…,X_n,也同x有关,我们在关于核及h_n的很弱条件下,得到了f_n(x)的强一致相合性,而且应用这个一般结果于一个重要特例——最近邻估计,施加于数串{k_n}的限制较文献[4]大为减弱,我们的工作,使在“核具有有界支撑”这一限制下,随机窗宽核估计的强相合问题达到接近彻底解决的程度。     

l p值Gauss过程的增量有多大

设{Y(t),t≥0}={X_k(t),t≥0}^∞_k=1是独立的Gauss过程序列,σ²_k(h)=E(X_k(t+h)-X_k(t))².记σ(p,h)=(sum from k=1 to ∞ σ^p_k(h))^1/p,P≥1.考察σ(P,h)有界时Y(·)的大增量.作为一个例子,给出了无穷维分数Ornstein-Uhlenbeck过程在l^p空间中的大增量.所建立的方法适用于某些其它类型的平稳增量过程.     

Gauss-Markov条件下最小二乘估计的强相合性

设Y_i=x＇_iβ+e_i,1≤i≤n为线性模型,β_n=(β_n1,…,β_np)＇为β=(β₁,…,β_p)＇的最小二乘估计,以u_n记(sum from i=1 to n(x_ix＇_i))的(1,1)元,v_n=u_n^-1.证明了在Ee_i=O且{e_i}满足Gauss-Markov条件时,v_i→∞及sum from i=2 to ∞(v_i^-2(v_i-v_i-1)log~2i<∞)为β_n1强相合的充分条件,且对任何ε_n→0,v_i→∞及sum from i=2 to ∞(ε_iv_i^-2(v_i-v_i-1)log²i<∞)已不再充分.提出了β_n1强相合的一个充要条件,它把β_n1强相合归结为正交随机变量级数的收敛问题.     

Hilbert空间子空间的维数和半Fredholm算子的指标

对Hilbert空间H中的任意子空间,引入了一种广义维数并使其全序化.发现了可列个无限维数:∞~*<∞ⁿ<∞^m,其中n,m为整数且n>m.由此定义了半Fredholm算子SF(H)的广义指标.证明任意纯半Fredholm算子A∈SF₊(H)(SF_-(H))有Ind_gA=∞^*(-∞^*).这里的广义维数和指标是几何与拓扑的概念,像有限维数和Fredholm指标一样具有某些分析演算功能.作为例,证明了:对任意等距算子V₁,V₂,它们在H上左可逆算子B_i^x(H)中道路连通当且仅当Ind_gV₁=Ind_gV₂.从而推出,(?) A,B∈SF₊(H)(SF_-(H)),它们为道路连通的充要条件为Ind_gA=Ind_gB.其余有关SF(H)的结果,如指标经紧和小扰动的稳定性,Ind_g:SF(H)→ZU{-∞^*,∞^*}连续皆成立.     

亚纯函数的级

本文主要证明了定理1.设f(x)在开平面|z|<+∞上亚纯,具有一个非零有穷亏值,再设△(θ_k)(k=1,2,…,q,0≤θ₁<θ₂<…<θ_q<θ₁+2π=θ_q+1)是q(1≤q<+∞)条半直线,并且对任意给定的数ε,0<ε<π/2,有如果f(z)的下级μ<+∞,则f(z)的级λ≤π/ω<+∞,其中...     

从属过程的样本轨道的填充测度函数

设随机过程x(t)(t∈[0,∞))是一个从属过程,X[0,1]=|x∈R:t∈[0,1],X(t)=x}.通过对x(t)的指标函数g(u)(u≥0)的细致分析得到了关于X[0,1]填充测度函数的判别准则.事实上,若φ(s)(s∈(0,1))为任一测度函数,记h(s)=φ(s)/g(1/s),则有:h-p(x|0,1|= 相应于∫¹₀φ²(s)/s ds{<+∞ =+∞     

映射z→λexp(z)(λ>e-1)的结构不稳定性

已知当λ>e^-1时映射z→λexp(z)的Julia集合是全平面。本文证明了:对于任意给定的λ>e^-1,存在一个复数序列λ_i^*∈C,使得λ_i^*→λ(l→∞)且映射z→λ_i^*exp(z)的Julia集合不是全平面。由此推出映射z→λexp(z)(λ>e^-1的结构不稳定性。     

停止一致渐近鞅的期望与Mil和GFT的收敛性

本文证明了:设(x_n,F_n)是一致渐近鞅,若sup E||x_n||=∞,则存在停时τ使有E||x_τ||I_τ<∞=∞。若E有RNP,则每一个向量值(C)类Mil(GFT)a. s.(in pr.)强收敛。