QUALITATIVE INVESTIGATION OF A TORAL DIFFERENTIAL EQUATION HAVING CRITICAL POINTS

关于环面上无奇点的动力体系的研究.自从Н.Poincare的开创性工作以后，较早 的研究工作已见于Coddington与Levinson的书中.近期则有秦元勋的工作，他已研究 了具体的微分方程，但仍保持无奇点的假设.近年来国内外又出现了不少研究一般二维 流形上动力体系的拓扑结构或分类的文章，其中考虑了奇点，但却没有具体的微分方程. 本文类比于平面线性定常系统，研究了环面上的微分方程 \[\frac{{dx}}{{dt}} = A\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x + B\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} y,\frac{{dy}}{{dt}} = C\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x + D\sin {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} y(AD - BC \ne 0)\](1) 的轨线的全局结构. 在§ 1中假设⑴定义在(x,y)平面上的正方形[{S_1}:0 \le x \le 2\pi ,0 \le y \le 2\pi \]内，然后把 S1的两对对边等同起来，从而得到环面上的解析系统.它有两个初等的非鞍点和两个初 等鞍点,经过分析，得到中心-鞍点，结点-鞍点和焦点-鞍点等三种可能拓扑结构，在最后 一种情况有时能出现极限环，但唯一性未能证明.此外，环面上不存在第二类周期轨线. 在§2中假设⑴定义在正方形\[{S_1}:0 \le x \le 2\pi ,0 \le y \le 2\pi \]内，再把S2的两对对边等同 起来，从而得到环面上的C1系统.此系统只有一个指标为零的奇点，但它的轨线拓扑结 构的可能情况要比§1多一些.环面可以被具有相同旋转数的一族闭轨线所充满，也可 以被一族各态历经的轨线所充满.它可能具有唯一的半稳定极限环，或是一个稳定环和 一个不稳定环，一切其它轨线都从正负向趋向它们.环面还可能被分成一个，两个或三个 单连通域，每一域中充满着具有相同旋转数的奇闭轨线.最后，环面上也可能既存在极限 环，又存在为奇闭轨线所充满的区域.此外，我们还固定(1)式右边的三个系数A,B， 而让C从零变到一∞,以观察方程的全局结构和轨线的旋转数的变化.     

Nagumo方程行波系统的定性分析及其有界行波解

本文对Nagumo方程的行波系统进行了定性分析,该系统存在一端连接鞍点的有界异宿轨,进而选择奇点为鞍点的平面线性自治系统,利用该平面自治系统轨线向径的斜率,根据齐次平衡原则,构造出了Nagumo方程行波系统的行波解.其次Nagumo方程的行波系统还存在着对应中心周围闭轨的周期解,因而提出新的CPP解法,求出了对应的周期解.     

闭轨线上模映射的不动点类与拓扑熵下界估计

本文在自治系统dx/dt=f(x),f∈C(DRn,Rn)的闭轨线Γ上定义了模映射,并利用闭轨线Γ与单位圆周S1的同胚关系,给出了模映射的Reidemeister数、Nielsen数,以及模映射的拓扑熵下界估计.     

一类迭代函数方程的Cm解的存在性、唯一性和稳定性

讨论了较为广泛的一类迭代函数方程G(x,f(x) ,… ,fⁿ(x) ) =0 (对任意x∈J) ,在此J为实数轴R的连通闭子集 , G∈C^m(Jⁿ⁺¹> +1,R) ,n≥ 2 .通过采用小挪动映射逼近不动点的办法 ,借助于函数空间中的度量的选择 ,经过对一般空间映射的不动点的唯一性与稳定性之间的关系的讨论 ,对任一整数m≥ 0 ,在较弱的条件下证明了该方程的C^m解的存在性、唯一性和稳定性 ,从多个方面推广了有关文献中的已有结果     

一类具功能反应的食饵—捕食系统模型的定性分析

研究一类具功能反应的食饵—捕食系统:x=xg(x)-yφ(x),y=y(-d+eφ(x))在g(x)=a-bx~m,φ(x)=cx~θ及m=θ=1/n,n>2为正整数情形下,分析了该系统的平衡点性态,并得到了系统在正平衡点外围的极限环的不存在性,存在性与唯一性的相关条件.     

关于稳定性的Ляпунов定理的推广

本文用方程(1)的全导数(dV)/(dt)|_(?)与定号函数 V(x)在曲面列 V(x)=r_n(r_n>0,(?)r_n=0)上反号,代替稳定性定理中在包含平衡点(?)的某邻域 U 上(除(?)外)反号的条件,从而推广了稳定性的定理.     

含有奇异位势和临界指数的拟线性椭圆方程的G-对称解

本文讨论一类奇异拟线性椭圆型方程
-div(|x|^-ap|▽u|^p-2▽u)=μ+h(x)/|x|^(a+1)p|u|^p-2u+k(x)|u|^p-2u/|x|^bq,x∈R^N,
其中1 < p < N, 0 ≤ a < N-p/p, a ≤ b < a + 1, 0 ≤ μ < μ = (N-p/p-a)^p, q=p^*(a, b) = Np/N-(1+a-b)p,h 和k 是R^N上的连续有界函数, 且关于O(N) 的闭子群G满足某些对称性条件. 应用变分方法和Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式, 在h与k满足适当条件下, 证得了一些G-对称解的存在性和多重性结果.     

广群C~*-代数的子模

给定一个r^- 离散的、主的和顺从的广群G ,确立了C*(G)的闭C₀ (G⁰ )-双模全体和G的开子集全体之间的双射 ,进而它们是有刚性的 .     

非线性方程极限环的存在惟一性及惟二性

考虑非线性方程 x=(y) - h(y) F(x) ,y=- g(x)的极限环问题 .通过考察方程轨线的走向及比较沿闭轨线的发散量积分 ,给出了极限环的存在惟一性及惟二性的若干组充分条件 ,推广了已有文献的相应结果     

关于一个平面二次系统极限环的唯一性

<正> 我们这里研究平面二次系统容易知道方程（1）当δ=0时不存在闭轨与奇闭轨线，事实上只要引进变数变换d而且1+by=0是无切直线,因此当δ=0时(1)无闭轨与奇闭轨.因为(1)对于参数δ构成旋转向量场,因而我们知道(1)当δa(b+2l)≤0时在原点附近不存在极限环,而当δa(b+2l)>0且|δ|《1时在原点附近存在极限环,本文证明了(1)的极限环是唯一的.     

三维Minkowski空间中类空轴旋转曲面的分类

研究了三维Minkowski空间中满足ΔG=φ(G+C)条件的类空轴旋转曲面,并给出了该类曲面的分类.主要结论为上述条件中当C为零向量时该曲面拥有常值平均曲率;当C为非零向量时,该曲面或是一类圆锥面、或是二类圆锥面.     

一类稀疏效应下食饵-捕食系统的极限环的存在唯一性

研究如下一类具稀疏效应的食饵-捕食模型dxdt=x2(e-bx)-dxy,dydt=-cy+(βx2-ry)y.应用常微分方程定性理论,对该系统的平衡点进行分析,得到了极限环存在唯一性及不存在的参数范围.     

关于总极值问题的最优性条件

1.引言 设G是m维欧氏空间R~m中的有界闭区域,f(x)是G上的连续函数,∈G,我们来讨论是f(x)在G上的总极小点的条件。 对于无约束局部极值来说,可以用f()=0(∈nit G)来给出,但这时可能是极小点(不一定是总极小点),也可能是极大点,或者是鞍点。通常只有在凸性的     

西北工业大学·高等数学(B卷)

一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 4分 ,满分 2 0分 )1 .设 z =e- ( yx xy) ,则 dz| ( 1,2 ) =2 .由曲面 z =4-12 (x2 y2 )与平面 z =2所围成的立体的体积等于3.设Σ是平面 x y z =6被圆柱 x2 y2 =1所载下的部分取上侧 ,则 Σzdxdy =4.设 f (x)是以 2π为周期的周期函数 ,在区间 (-π,π]上有 f (x) =1 -x,　 -π 相似文献   

一类微分方程零解全局弱吸引和全局吸引到充要条件

考虑二阶微分方程 x =φ(y)-F(x),y=- g(x)q(y) 零解的全局弱吸引和全局吸引性, 说明了Filippov条件(A₂) 不能排除最大椭圆扇形S^* 的存在性, 也不能排除∂S^* 作为其外侧邻域轨线正向极限集的可能. 全面回答了文献[8]末提出的问题;得到了方程(E)满足或不满足Filippov 条件时零解全局弱吸引和全局吸引的一系列充分必要条件, 同时也得到了零解全局渐近稳定的一些新条件.     

两类二阶变系数线性微分方程的求解

本文介绍作者在文 [1 ]中给出的两类二阶变系数线性微分方程 ,并用不同于 [1 ]中的方法证明其通解公式 ,同时指出常系数线性方程y″+by′+cy =0 ( 1 )和 Euler方程x2 y″+a1xy′+a2 y =0 ( 2 )都是其特例 ,它们的解式也是所给解式的特例。定理 1　设 G( x)在某区间 I上具有一阶连续导数 ,且 G( x)≠ 0 ,b和 c为实常数 ,则二阶变系数齐次线性方程y″+[b G( x) -G′( x)G( x) ]y′+c G2 ( x) y =0 ( 3 )的通解为( 1 ) b2 -4c<0时 ,y =[C1cos(ω∫Gdx) +C2 sin(ω∫Gdx) ]e- b2 ∫Gdx ( 4)　　 ( 2 ) b2 -4c=0时 ,y =( C1+C2∫Gdx) e- b…     

广义Liénard系统的同宿轨族与闭轨族

1引言 众所周知,关于广义Liénard系统 (·x)=h(y)-F(x), (y)=-g(x) (1) 的同宿轨与闭轨族的研究非常少.受[1,2]的启发,本文考虑(1)不具有条件F(-x)=F(x),g(-x)=-g(x)时这方面解的一些定性性质,得到了同宿轨族、闭轨族、双曲扇形和椭圆扇形的存在性与不存在性的充分或充要条件.     

论复自治微分系统的奇点量

本文讨论一类复三次微分系统及其“能量”扰动系统的若干实定性问题在复域中的同一性,主要结果如下: ⅰ)具有两个对称轴的实平面三次全微分系统可通过一个复三次系统作统一研究,不同实系统的轨线是同一复系统的积分曲面簇与不同坐标平面的截线。 ⅱ)上述能量扰动系统的细焦点、具有细鞍点的分界线环以及通过积分曲面与临界型奇点(实的或复的)相联的极限环,它们的稳定性同样地依赖于相应的区域奇点量,它们的重次同样地由相应临界型奇点的阶数确定,而它们可能分枝出极限环的最大个数除了同样地取决于上述阶数外,还取决于通过该奇点的积分曲面与坐标平面的截线的闭分枝的分布情况。 ⅲ)对上述系统不与有限远奇点相联的极限环,引入了“多重环量”,得到了内外稳定性及分枝问题的判据。     

有首次积分的K型单调系统

本文考察Smith[7]意义上的K型单调系统=F(χ)的渐近性质.在假定系统无闭轨且F有一个具有一定单调性质的首次积分的条件下,我们证明了,这类系统在一定区域内的解或者收敛于某一平衡点,或者对于充分大的(?)离开该区域的任一紧子集.     

空间几何体求解平面投影的分类与总结

求空间曲线的平面投影和空间立体的平面投影是空间解析几何中常常遇到的问题。对于这类问题 ,高等数学课程给出了常用的解法。本文把这类问题根据不同的情况作了进一步分类 ,给出了总结。( a)空间曲线在平面上投影的求法通常先将空间曲面方程联立 ,消去 x,y,z中的一个变元得到一个二元方程。再附上此投影面的解析式 ,最后得到一个含有两个方程的方程组。例如“两个空间曲面方程分别为 F( x,y,z) =0和G( x,y,z) =0 ,设 FG( x,y)是两个方程联立消去 z后的解析式 ,则该空间曲线在 xoy平面上的投影就为 FG( x,y) =0z =0 。这类问题的解法较为…