一元二次方程的根系关系

一、启发提问一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式的推导过程中知道实数根的个数是由方程的系数ａ、ｂ、ｃ（△＝ｂ２－４ａｃ）决定时,当△≥０,方程有两个实数根：ｘ１＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ,ｘ２＝－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ,比较ｘ１和ｘ２式中的结构,你发现了什么？１．分母相同,为２ａ２．分子－ｂ－ｂ２＋４ａｃ与－ｂ＋ｂ２－４ａｃ是互为共轭根式,３．计算：ｘ１＋ｘ２＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ＋－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ＝,ｘ１·ｘ２＝－ｂ＋ｂ２－４ａｃ２ａ·－ｂ－ｂ２－４ａｃ２ａ＝．二、读书自学…     

十二省市(辽宁、云南、湖南、乌鲁木齐、昆明、哈尔滨、山西、广西、西宁、河南、嘉兴等、甘肃)选择题集萃

数与式１．若ａ≠０,则下列运算正确的是（　）．（Ａ）ａ４·ａ２＝ａ８　　（Ｂ）ａ２＋ａ２＝ａ４（Ｃ）（－３ａ４）２＝９ａ６（Ｄ）（－ａ）４÷（－ａ）２＝ａ２２．下列各式中计算错误的是（　）．（Ａ）ａｂ＝ａｃｂｃ（ｃ≠０）（Ｂ）ａ＋ｂａｂ＝ａ２＋ａｂａ２ｂ（Ｃ）０．５ａ＋ｂ０．２ａ－０．３ｂ＝５ａ＋１０ｂ２ａ－３ｂ（Ｄ）ｘ－ｙｘ＋ｙ＝ｙ－ｘｙ＋ｘ３．化简１２－３的结果是（　）．　　（Ａ）－２＋３　　（Ｂ）－２－３（Ｃ）２＋３（Ｄ）２－３４．２ｘ２·３ｘ３等于（　）．（Ａ）６ｘ５　（Ｂ）６ｘ６　（Ｃ…     

一条件恒等式证明之我见

一条件恒等式证明之我见徐鸿迟（江苏省泰州中学２２５３００）考察这样的问题：已知ａ＋ｂ＋ｃ＝ａｂｃ，求证ａ（１－ｂ２）（１－ｃ２）＋ｂ（１－ｃ２）（１－ａ２）＋ｃ（１－ａ２）（１－ｂ２）＝４ａｂｃ．徐南昌在［１］中用数学审美的目光发现了下面的“证法”：...     

用方程“asinx bcosx=c”有解的条件解题

三角方程ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的充要条件是ａ２＋ｂ２≥ｃ２．事实上,原方程可化成ｓｉｎｘａａ２＋ｂ２＋ｃｏｓｘｂａ２＋ｂ２＝ｃａ２＋ｂ２,即　ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｃａ２＋ｂ２（其中ｔｇθ＝ｂａ）．由于｜ｓｉｎ（ｘ＋θ）｜≤１　知ｃａ２＋ｂ２≤１,即得ａ２＋ｂ２≥ｃ２．显见其逆亦真．利用此结论有时可简捷地解答一些类型的问题．例１　若关于ｘ的方程３＋２ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ１＋２ｓｉｎｘ＋３ｃｏｓｘ＝ｋ恒有实数解,求实数ｋ的取值范围．解　原方程可整理成（３ｋ－１）ｃｏｓｘ＋（２ｋ－２）ｓｉｎｘ＝３…     

一类无理函数值域问题的统一解法

不少文献研究了无理函数ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａｋ≠０）（）的值域问题（设ｂ２－４ａｃ≠０）．本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法．原函数式配方,得ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａ（ｘ＋ｂ２ａ）２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．作替换ｚ＝ｘ＋ｂ２ａ,则ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．若ａ＜０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋ－ａ　·ｂ２－４ａｃ４ａ２－ｚ２．若ａ＞０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａ　·ｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ２．因此,函数式的根号内可化为ｒ２－ｚ２…     

两类产生增根的分式方程的判定

判定（一）（ｉ）命题：若ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，且ａ≠０，ｂ≠－１分式方程：ｃｘ－ａ＋ｂ＝ｂ－ｘｘ－ａ当ｂ＝ａ＋ｃ时，必有ｘ＝ａ为分式方程的增根。（ｉ）例举：（１）１ｘ－１＋２＝２－ｘｘ－１，（ｂ＝ａ＋ｃ即２＝１＋１），ｘ＝１是方程的增根。（２）３ｘ＋２＋１...     

与匹多不等式有关的一个等式

与匹多不等式有关的一个等式方明（四川平昌二中６３５４００）约定ａ，ｂ，ｃ，△和ａ′，ｂ′，ｃ′，△′分别表示△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的边长和面积，Ｈ＝ａ′２（ｂ２＋ｃ２－ａ２）＋ｂ′２（ｃ２＋ａ２－ｂ２）＋ｃ′２（ａ２＋ｂ２－ｃ２）．著名的匹多不等式...     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...     

目标测试参考答案

目标测试参考答案（一）一元二次方程一、填空：１、ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，ａ≠０，ｘ＝－ｂ±ｂ２－４ａｃ２ａ（ｂ２－４ａｃ≥０）；２、ｂ－ａ，０，ｘ１＝０，ｘ２＝ａ－ｂ；３、ｐ＝－１，ｘ２＝－２；４、（１）ｘ１＝ｘ２＝０，（２）ｘ１＝１＋２，ｘ２＝１－２...     

分式目标检测题(A)

一、判断题（每小题２分,共１０分）１．含有分母的代数式是分式．（　）２．整式和分式统称有理式．（　）３．ａ２－ｂ２ａ＋ｂ＝ａ２－ｂ２÷ａ＋ｂ．（　）４．－ａｂ＝ａ－ｂ＝－ａｂ．（　）５．当ａ≠０时,方程ａｘ－ｂ＝０的解是ｘ＝ｂａ．（　）二、填空题（每小题２分,共２０分）１．有理式－ａ２,１ｘ,－２ｘ３,ｎ－１３ｍ,１ｘ－２ｙ中,属于分式的有个．２．当ｘ＝时,分式ｘ－３２ｘ＋１的值为零,当ｘ时,分式ｘ２ｘ－３有意义．３．（１）ｙｘ＝（　　）ｘ２,（２）ｃ２ａｂ＝ｃ２（　　）（ｃ≠０）４．使分式２３…     

巧证定理:a~3 b~3 c~3≥3abc(a,b,c∈R~ )

介绍一种定理证明的较简单的方法：∵ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋∴（ａ３＋ｂ３）＋（ｃ３＋ａｂｃ）≥２ａ３ｂ３＋２ａｂｃ４≥２·２ａ３ｂ３·ａｂｃ４＝４ａｂｃ∴ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ并且仅当ａ３＝ｂ３，ｃ３＝ａｂｃ，且ａ３ｂ３＝ａｂｃ４ａ＝ｂ＝ｃ时，上式才取等...     

数学问题解答

数学问题解答１９９８年１月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１１１已知实数ａ，ｂ，ｃ，ｄ满足ａ＜ｃ，ｂ＞ｄ，证明：（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ２）＜（ｃ－ｄ）（ｃ２＋ｄ２）．证明∵ａ＜ｃ，ｂ＞ｄ∴ａ－ｂ＜ｃ－ｄ又∵幂函数ｙ＝ｘ３在Ｒ上是增函数∴ａ３＜ｃ３，...     

因式分解教与学

第１课　提公因式法（一）一、启发提问我们学习了整式乘法：（１）ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ（２）（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２把（１）（２）式反过来写,就是（３）ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ（ａ＋ｂ＋ｃ）（４）ａ２－ｂ２＝（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）在等式（１）（２）中,由两因式的积变成多项式叫做整式乘法,在等式（３）（４）中,由多项式变成几个整式的积叫什么？怎样进行？二、读书自学（Ｐ２～Ｐ５）１把一个化成几个的积的形式,叫做把这个多项式．２一个多项式中各项都有的因式,叫做这个多项式的,多项式ｍａ＋…     

十二省市(辽宁、云南、湖南、乌鲁木齐、昆明、哈尔滨、山西、广西、西宁、河南、嘉兴等、甘肃)填空题集萃

数与式１．计算９３ｘ－７１２ｘ＋２６·３８ｘ＝．２．－１３的倒数是．３．（－６）２＝．４．２０００用科学记数法表示为．５．ａ的３倍与ｂ的一半的和用代数式表示为．６．分解因式ａ２－２ａｂ＋ｂ２－ｃ２＝．７．配上适当的数,使等式ｘ２－ｘ＋１＝（ｘ－）２＋成立．８．３５的相反数是,｜－６｜＝．９．用科学记数法表示：５７００００＝．１０．分解因式：ａ－ａｂ２＝．１１．已知线段ａ＝４ｃｍ,ｂ＝９ｃｍ,则线段ａ、ｂ的比例中项ｃ＝ｃｍ．１２．化简：ａ（ａ－１）２－（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）＝．１３．计算：（ａ…     

用比较法证明一类不等式

近年来,中学数学刊物和数学竞赛题中经常出现大量新颖的三元对称分式不等式．其证明方法也较独特巧妙,如利用均值不等式、柯西不等式、排序原理等．它们一般不易被中学生想到或接受．为此,笔者在教学中向学生介绍了证明不等式的原始方法——作差比较法,结合恒等变形,构造完全平方式,学生反应此方法简单易行．下面列举数例,供同行教学时参考．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋．求证：ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．证明　左边－右边＝２ａ－ｂ－ｃ２（ｂ＋ｃ）＋２ｂ－ｃ－ａ２（ｃ＋ａ）＋２ｃ－ａ－ｂ２（ａ＋ｂ）＝ａ－ｂ＋ａ－ｃ…     

构造二项平方和函数证不等式

对于某些不等式证明题,我们若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数：ｆ（ｘ）＝（ａ１ｘ－ｂ１）２＋（ａ２ｘ－ｂ２）２＋…＋（ａｎｘ－ｂｎ）２,由ｆ（ｘ）≥０,得Δ≤０,就可以使一些用一般方法处理较繁的问题,获得简捷、明快的证明．例１　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥ａ＋ｂ＋ｃ２．（第二届“友谊杯”国际数学邀请赛题）证　构造函数ｆ（ｘ）＝（ａｂ＋ｃｘ－ｂ＋ｃ）２＋（ｂｃ＋ａｘ－ｃ＋ａ）２＋（ｃａ＋ｂｘ－ａ＋ｂ）２＝（ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋…     

用αsinx＋bcosx＝c有解的条件探求高考试题

用aｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ有解的条件探求高考试题杜楚琼，陈建军（湖南邵东八中）高中《代数》上册第２３６页中指出：形如ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ的三角方程（ａ、ｂ不同时为零）有解的条件是我们不妨把△＝ａ２＋ｂ２－ｃ２称为上述三角方程的判别式．那么ａ２?..     

二次分式函数的值域及检验

设二次分式函数ｙ＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２①其中ａ１,ａ２,ｂ１,ｂ２,ｃ１,ｃ２∈Ｒ．如何求函数的值域Ａ？若令ｆ（ｘ）＝ａ１ｘ２＋ｂ１ｘ＋ｃ１,ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ２＋ｂ２ｘ＋ｃ２,如果ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）存在一次或二次公因式或ａ１,...     

代数初步知识目标检测

一、判断题（１６分）１．ｃ不是代数式．（　）２．２ａ－３＝４－ａ不是方程．（　）３．３４不是方程（ｘ－１２）３＝１６４的解．（　）４．ｂ表示任意整数,ｂ的倒数就是１ｂ．（　）５．ｙ的平方与３ｘ的平方差是ｙ２－３ｘ２．（　）６．代数式９ｘ２的值一定大于零．（　）７．十位上的数是ａ,个位上的数是ｂ的两位数可用代数式记作ａｂ．（　）８．方程ｘ－２＝７的解是ｘ＝５．（　）二、填空（２４分）１．正方体的棱长是ａｃｍ,它的表面积是,它的体积是．２．梯形上底ａ＝５ｃｍ,下底ｂ＝１０ｃｍ,它的面积Ｓ＝６０ｃｍ２…     

创造性思维教学一例

例　设ａ１、ｂ１、ｃ１、ａ２、ｂ２、ｃ２∈Ｒ＋∪｛０｝,且ａ１＋ｂ２＝ｂ１＋ｃ２＝ｃ１＋ａ２＝１,求证ａ１ａ２＋ｂ１ｂ２＋ｃ１ｃ２≤１略证　原问题可化为求函数ｆ（ａ１,ｂ１,ｃ１）＝ａ１（１－ｃ１）＋ｂ１（１－ａ１）＋ｃ１（１－ｂ１）在正方体区域Ｄ〔０,１〕×〔０,１〕×〔０,１〕上的最大值;求偏导数得唯一驻点１２,１２,１２,且ｆ１２,１２,１２＝３４;再考虑边界,显然ｆ（１,０,０）＝１＞３４,因此,ｆ（ａ１,ｂ１,ｃ１）的最大值必在区域的边界上取得;经分析比较,易知ｆｍａｘ（ａ１,ｂ１,ｃ…