Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un groupe de Lie compact commutatif

Résumé Nous montrons dans cet article comment les connaissances acquises sur les espaces fonctionnels de source le classifiant du groupeZ/p ([La2], [DS]) et l’utilisation de MU-résolutions instables permettent d’obtenir des résultats sur les espaces fonctionnels de source le classifiant d’unp-groupe abélien fini ou d’un tore si l’on impose au but d’avoir une cohomologie à coefficientsp-adiques sans torsion. Nous montrons notamment que l’ensemble des classes d’homotopie d’applications du classifiant X d’un tore dans un espace Y simplement connexe dont l’homologie entière est nulle en degré impair et un groupe abélien libre de dimension finie en chaque degré pair, et dont la cohomologie rationnelle est polynomiale, s’identifie à l’ensemble des applications de la K-théorie de Y dans la K-théorie de X qui préservent la structure de λ-anneau. Le premier auteur a bénéficié pendant l’achèvement de ce travail d’une allocation de recherche de l’école Polytechnique.     

L’enseignement des mathématiques dans les pays francophones d’Afrique et de l’Ocean Indien

Le problème de l’enseignement des mathématiques dans les pays francophones d’Afrique et de l’Océan Indien et ses perspectives pour le XXIe siècle, nécessite, au préalable, que l’on procède à un bref tour d’horizon sur les objectifs de l’enseignement de cette discipline à l’époque coloniale et sur les expériences qui ont été conduites depuis les indépendances. C’est à la lumière du diagnostic qui sera réalisé sur ces deux étapes antérieures qu’il sera possible de prèciser, en fonction du développement économique, social, culturel voire politique, les objectifs auxquels doit répondre l’enseignement des mathématiques et de définir les perspectives et les méthodes d’enseignement les plus adaptées au contexte spécifique de cette partie de l’espace francophone     

Existence,unicité et homogénéité de certains immeubles hyperboliques

Résumé. Dans ce travail, nous introduisons une classe d'immeubles hyperboliques de dimension 2 à allure locale prescrite. Nous prouvons l'existence et l'unicité de ces immeubles. Nous montrons que leur groupe d'automorphismes est transitif sur les chambres. Ces résultats permettent d'identifier des immeubles hyperboliques construits par les diverses méthodes utilisées jusqu'ici: “blueprints” de Ronan-Tits et immeubles de Kac-Moody, revêtements ramifiés d'immeubles euclidiens, polygones de groupes etc... Nos méthodes s'appliquent en fait à des complexes polygonaux hyperboliques beaucoup plus généraux que les seuls immeubles. Received: 3 April 2000; in final form: 25 September 2000 / Published online: 23 July 2001     

Feuilletages riemanniens à croissance polynômiale

Conclusion Le problème majeur qui subsiste concernant les feuilletages riemanniens à croissance polyn?miale sur les variétés compactes est celui de leur classification topologique. D’après notre travail, il est essentiellement ramené à la classification des deuilletages de Lie nilpotents à feuilles simplement connexes. Il est raisonnable de penser qu’un tel feuilletage ℱ est conjugué à son classifiant ℱ′ (cf. 3.1). Nous savons démontrer ce résultat si dim ℱ=1 par une méthode suggérée par E. Ghys. Pour le cas général, on est confrontè à un problème non-résolu même en codimension 1. La clef du problème est alors la question suivante laissée ouverte dans [S]: Existe-t-il sur un tore une forme fermée non singulière totalement irrationnelle qui soit non linéarisable?     

Existence d’immeubles triangulaires quasi-périodiques

On s’intéresse à la structure dynamique de l’espace E des immeubles triangulaires et on montre en particulier:

Relèvements dans le fibré transverse d’un feuilletage d’une variété riemannienne

L’espace totalQ du fibre normal d’un feuilletage sur une verietéM possède un feuilletage canonique. SiM est munie d’une mètrique riemannienne, il en est de même deQ. Nous étudions des relations entreQ etM munies de ces métriques. En particulier, le relévement d’un feuilletage de Lie est un feuilletage de Lie.     

Calcul Fonctionnel Holomorphe en Dimension Infinie dans une Algebre de Banach Quotient

L. Waelbroeck a montré dans [10] que le calcul fonctionnel holomorphe de plusieurs variables dans une algèbre de BanachA se généralisait à une algèbre de Banach quotientA|α (i.e:α un idéal de Banach deA tel que l’injectionα→A soit continue) et que c’est dans ce cadre qu’il est naturel et a de nombreuses applications. Dans [13], [1] et [4] les auteurs ont construit des calculs fonctionnels holomorphes en dimension infinie dans une algèbre de Banach. Nous étendons ici leurs calculs au cas d’une algèbre de Banach quotient ainsi que le théorème d’Arens-Calderon.      

Principe d’Incertitude et Positivité des Opérateurs à Trace; Applications aux Opérateurs Densité

We discuss a necessary (but generally not sufficient) condition for a self-adjoint trace-class operator to be positive. This allows us to state a relation between density operators and the notion of symplectic quantum cell introduced in a previous work. We also apply Hardy’s uncertainty principle to Gaussian estimates for the Wigner distribution. This allows us to recover in a very simple way the fact that the Wigner transform of a square integrable function cannot have compact support.

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Résumé. Nous discutons une condition nécessaire (mais non suffisante en général) pour qu’un opérateur à trace auto-adjoint soit positif. Ceci nous permet d’énoncer une relation entre l’opérateur de densité et la notion de cellule quantique symplectique introduite dans un travail précédent. Nous appliquons également le principe d’incertitude de Hardy à l’étude des majorations de la distribution de Wigner par des gaussiennes; ceci nous permet de retrouver très simplement le fait que la transformée de Wigner d’une fonction de carré intégrable ne peut être à support compact.

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Les auteurs de cet article ont été financés par le projet Eucetifa MEXT-CT-2004-517154 de l’Union Européenne.

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Submitted: February 19, 2007. Accepted: October 3, 2007.     

Etude de certaines classes d’equivalence dans les demi-groupes

Résumé Nous étudions ici deux équivalences régulières à droite, définies dans les demigroupes à partir d’un conplexe quelconque. Nous comparons ces équivalences à l’équivalence principale à droiteRh et nous établissons des conditions nécessaires et suffisantes pour que l’une et l’autre coincident avec l’équivalence universelle. Nous terminons par l’étude de ces équivalences dans les demi-treillis. Entrata in Redazione il 18 settembre 1970.     

Groupe de Brauer non ramifié d’espaces homogènes à stabilisateurs finis

On s’intéresse au groupe de Brauer d’une compactification lisse d’un espace homogène d’un groupe semi-simple simplement connexe à stabilisateurs finis, sur un corps de nombres. On montre une formule décrivant ce groupe de Brauer et on calcule explicitement celui-ci pour certaines familles d’exemples. On établit des liens entre l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation faible sur cet espace homogène et la cohomologie galoisienne du stabilisateur.     

Les axiomes de la mecauique du point materiel

Résumé L'examen préalable des concepts mathématiques indispensables aux énoncés des Axiomes de la Mécanique fait partie integrante de ces énoncés. Le concepts qui interviennent ce sont d'abord ceux concernant certains espaces ponctuels ou vectoriels euclidiens et les produits cartésiens qui en sont constitués, en suite ceux rélatifs aux formes linéaires ou bilinéaires attachées à ces espaces. Après avoir définit la série d'espaces et de formes qui sont nécessaires pour constituer la Mécanique inertiale du point, nous devons passer à la Mécanique du point dans un champ. Pour y parvenir nous devons dotér d'abord l'espace R de la metrique qui s'impose et en constituer ainsi l'univers deEinstein-Minkowski. Avec R comme base, nous formons un espace fibré qui est le siège du champ de vecteurs deMaxwell et ensuite un second espace, fibré par un espace de tenseurs, qui nous donne les champs non holonomes des mésons et d'autres champs dont l'interprétation reste encore à être donnée. A M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Dimension de Krull,Nullstellensätze et évaluation dynamique

Résumé. Nous démontrons un Nullstellensatz qui établit une équivalence entre l'existence d'une identité algébrique d'un certain type, d'une part, et l'impossibilité de trouver une suite croissante de variétés irréductibles répondant à certaines contraintes d'autre part. De ce point de vue le Nullstellensatz usuel correspond au cas des variétés réduites à un point. Nous établissons aussi un Nullstellensatz formel du même type, en relation avec les suites croissantes d'idéaux premiers. Un cas particulier important est donné par la notion de suite pseudo régulière, plus générale que la notion de suite régulière. Nous obtenons de cette manière une nouvelle caractérisation de la dimension de Krull d'un anneau : un anneau a une dimension de Krull si et seulement si il existe une suite pseudo régulière de longueur dans l'anneau. Dans les cas où ces résultats peuvent avoir une signification constructive précise, nos preuves y aboutissent constructivement. Nous pensons avoir donné ainsi quelques éléments en vue d'une interprétation constructive de la théorie de la dimension de Krull des anneaux commutatifs. Notre méthode utilise la notion de structure algébrique dynamique introduite dans des articles précédents. Received: 4 October 1999; in final form: 11 October 2000 / Published online: 25 June 2001     

Classes polaires associées aux distributions holomorphes de sous-espaces tangents*

Résumé. Nous définissons des classes polaires associées à une distribution holomorphe singulière de sous-espaces tangents d’une variété projective lisse. Nous prouvons que ces classes polaires peuvent être calculées en fonction des classes de Chern-Mather du faisceau tangent de la distribution et réciproquement. Nous utilisons leurs degrés pour borner les degrés de certaines classes polaires associés à une variété invariante. *Ce travail a été soutenu par l’Accord de Coopération France-Brésil (CNRS/CNPq) et par la Fondation CAPES-Brésil.     

Diviseurs Des Nombres Ellipséphiques

Les propriétés multiplicatives des nombres ellipséphiques peuvent être obtenues à l’aide des moments de la série génératrice de cette suite. Nous donnons des estimations précises pour les grands moments par deux méthodes distinctes: l’une combinatoire fournit un résultat précis dans le cas réputé le plus difficile des nombres n’utilisant que les 0 et les 1; la seconde purement analytique fournit un résultat sans condition sur les chiffres.

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Sur une classe d'espaces d'Einstein

Résumé Soit un espace pseudoriemannien M muni d'une 1-forme ω. Dans [11], chaque fibré F en droites sur M est considéré, de manière naturelle, comme un espace pseudoriemannien F(M, ω, ɛ) avec ɛ=± 1 et on étudie le cas où celui-ci est un espace d'Einstein. Dans la Section 1 nous déduisons quelques propriétés générales de ces espaces d'Einstein et nous indiquons une méthode de construction pour les 1-formes ω correspondantes. Dans la Section 2 nous déterminons tous les espaces d'Einstein F(M, ω, ɛ) pour lesquels M est une forme spatiale sphérique. Nous étudions aussi le cas dual où M est une certaine forme spatiale hyperbolique. Dans la Section 3 nous acceptons, comme conséquence de cette dualité, l'existence en relativité générale de l'ainsi nommée ? comatière ?, dans laquelle la vitesse de la lumière admet une limite inférieure non nulle. Nous proposons un modèle de coexistence matière-comatière, avec une frontière de séparation correspondant aux singularités du champ gravitationnel. Nous étudions la possibilité de communication entre ces deux zones opposées à l'aide de la lumière. A la mémoire du ProfesseurBruno Finzi Entrata in Redazione il 20 gennaio 1975.     

Classes de semigroupes immersibles dans des groupes

Résumé Dans un article récemment publié dans Semigroup Forum “A class of semigroups embeddable in groups” P. G. Trotter montre que la démonstration de Doss donnée dans [2] peut être généralisée à une classe plus étendue que les semigroupes quasiréversibles. Dans les deux premières parties de cet article nous montrerons que la méthode de Trotter peut elle-même être généralisée et s'appliquer ainsi à une suite infinie croissante de classe de semi-groupes. A cette occasion est donné un tableau des conditions suffisantes d'immersibilité actuellement connues. Dans la troisième partie nous montrerons par un exemple que la plus grande des classes obtenues est strictement contenee dans la classe des semi-groupes immersibles dans des groupes, c'est-à-dire que la condition correspondante quoique suffisante ne constitue pas une condition nécessaire d'immersibilité.     

Sulle pseudo-probabilita’ associate all’informazione

Sommario Si definiscono pseudo-probabilità quelle funzioni di evento associate alla funzione di informazione quando si postula per l’informazione della unione di due eventi una legge di carattere universale. Si studiano le principali proprietà delle pseudo-probabilità e si dimostra che esse sono caratterizzate da una classe particolare di soluzioni di una equazione funzionale.

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Résumé On définit pseudo-probabilité les fonctions d’événement associées à la fonction d’information quand on postule que l’information de deux événements suit une loi à caractère universel. On étudie les principales propriétés des pseudo-probabilités et l’on démontre qu’elles sont caractérisées par une classe particulière de solutions d’une équation fonctionelle.

     

Connexions affines et projectives sur les surfaces complexes compactes

Soit (S, ∇) une surface complexe compacte connexe munie d’une connexion affine holomorphe sans torsion. Nous démontrons que ∇ est localement modelée sur une connexion affine invariante par translations sur C ² (en particulier, ∇ est localement homogène), sauf si S est un fibré elliptique principal au-dessus d’une surface de genre g ≥ 2, de premier nombre de Betti impair et ∇ est une connexion affine holomorphe sans torsion générique sur S, auquel cas l’algèbre de Lie des champs de Killing locaux est de dimension un, engendrée par le champ fondamental de la fibration principale. Nous en déduisons que toute connexion projective holomorphe normale sur une surface complexe compacte est plate.     

Continuous and random Vapnik-Chervonenkis classes

Nous démontrons que si T est une théorie dépendante, sa randomisée de keisler T ^R l’est aussi. Pour faire cela nous généralisons la notion d’une classe de Vapnik-Chervonenkis à des familles de fonctions à valeurs dans [0, 1] (dyune classe de Vapnik-Chervonenkis continue), et nous caractérisons les familles de fonctions ayant cette propriété par la vitesse de croissance de la largeur moyenne d’une famille de compacts convexes associés.