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顶角为 3 6°的等腰三角形称黄金三角形 ,它以其优美的图形和奇特的性质出现于初中几何教材 :黄金三角形的底与腰之比等于黄金数ω(ω=5 -12 ) .以黄金三角形的底为腰所作的黄金三角形与原三形的相似比等于ω;以黄金三角形的腰为底所作的黄金三角形与原三角形的相似比等于 1ω( 1ω=5 12 ) .笔者在数列、数学归纳法单元教学中 ,借助于黄金三角形的上述性质 ,引导学生运用观察、归纳、猜想、论证的思维操作方法 ,构建两个著名数列—— Fibonacci数列和 Lucas数列 ,完成了一次对数学知识的探索、发现过程 .设黄金三角形 ABC的腰 AB=1,则底… 相似文献
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有这样的一种椭圆,它的长半轴、短半轴、半焦距分别是如图1所示的直角三角形ABC的斜边BC及直角边CA、BA的长a、b、C,且BA边在斜边BC上的射影BH的长恰等于CA边的长b,即是说,D是线段BC的黄金分割点.这时,由CA~2=DC·BC得定义如果椭圆的短半轴和长半轴的长之比等于,那么就称这种椭圆为黄金分割椭圆.由以上定义,焦点在X轴上,中心在原点的黄金分割椭圆的标准方程可写成:注:为书写方便,①式中的h代表无理数(下文同).下面,我们不妨以椭圆①为例,介绍黄金分割椭圆的一些特征:(1)椭圆①的半焦距是其长半轴和短半岛… 相似文献
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直角三角形中的一些数量关系 总被引:3,自引:2,他引:1
明确直角三角形中的一系列有趣的数量关系,掌握直角三角形的特征性质,可以加深我们对这类特殊图形的认识.这样既可以使我们能灵活运用这些特征性质去解决有关问题,又可以使我们以这些特征性质为背景材料构作新的数学问题.本文从两个方面介绍直角三角形中的一些有趣的数量关系.1几个充分必要条件命题1(勾股定理及逆定理)一个三角形为直角三角形的充分必要条件是:两条边长的平方和等于第三条边长的平方.命题2一个三角形为直角三角形的充分必要条件是:一边上的中线长等于该边长的一半.命题3△ABC为直角三角形,且C为直角顶点的充… 相似文献
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本文由一道高考题出发,从不同角度探究三边长成等比例的三角形的相关性质,发现了与黄金分割数有关的几个结论,进而考察产生黄金分割数的本质原因:该三角形的临界情况恰是黄金直角三角形. 相似文献
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文 [1]介绍了三角形中一些重要定理在四面体中的类比 .读后深受启发 ,但文 [1]还缺一些三角形性质的类比 ,作为该文的补充 ,笔者也介绍 3条类比性质 .1 中位线定理三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .定理 1′ 在四面体S ABC中 ,D ,E ,F分别是SA ,SB ,SC的中点 ,则平面DEF∥平面ABC ,并且△DEF的周长等于△ABC周长的一半 ,△DEF的面积等于△ABC面积的四分之一 .2 射影定理直角三角形一直角边的平方 ,等于它在斜边上的射影与斜边的乘积 .定理 2′ 如图 1,在四面体S ABC中 ,SA ,SB ,SC两两垂直 ,S在平面… 相似文献
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同学们在学习了勾股定理的知识后,已经知道勾股定理是描述直角三角形三边之间数量关系的一个重要定理,体现了数与形的和谐统一,是数形结合思想的典范.课本上已经进行了生动的验证,下面再列举几种通俗易懂的验证方法,供同学们参考.
方法一:旋转法
用两个全等的直角三角形纸板拼成如图1(a),使两条直角边a、b在同一直线上.将△ABC绕着A点旋转到△AFG的位置,△BDE绕着E点旋转到△FHE的位置,由图1(b)中不难看出:由以b为边长的正方形与以a为边长的正方形面积之和等于以c为边长的正方形面积,从而得出a2+b2=c2. 相似文献
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在直角三角形中,我偶然发现竟有这样一有趣的性质,即下面的一个等量关系式: p ·(p-c)=(P-a)·(p-b)=S_△ABC 式中a、b、c表示Rt△ABC三边的长,其中c为斜边,p=(1/2)(a+b+c),S_△ABC表示Rt△ABC的面积证明很简单: 相似文献
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设P是△ABC所在平面内任意一点,AP,BP,CP交直线BC,CA,AB分别于D,E,F,则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形.本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式.即定理设P是△ABC所在平面内的一点,△DEF是P关联△ABC的内接三角形,若有向线段的比,则有Ceva定理知2lA人一1.先证P在凸ABC内的情形.如图1,由于次证P在凸ABC外的情形.如图2,因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线,六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1.2,…,15).这些区域可归结为四类:UI-U3为… 相似文献
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是锐角ABC的三条高线,我们称DEF为ABC的垂足三角形.用SABC、R分别表示ABC的面积和外接园半径,SDEF、LDEF分别表示DEF的面积和周长,则垂足三角形有如下有趣的性质.性质1性质n证明同理故R(sin2A+sin2B+sin2C)4RsinAsinBslnC.下面以一些国内外竞赛题为例,说明会足三角形两个性质的应用.例1凸DEF是锐角上ABC的垂足三角形,凸ABC和bDEF的外接团半径分别是R、r.求证:R—Zr.(1981年太原市竞赛题)证明如④2,例2锐角凸**C三边上的高分别是AD、*E、CF,凸ABC外接国半径为R.求证:凸ABC的面积等于西D… 相似文献
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1走义设P是否ABC所在平面内的一点,若a·PA=b·PB=c·PC.则称P是ABC的等积内.2等积点的性质性质1三角形的等积点在各边上射影所成三角形是等边三角形.证设P是ABC的等积点,作PH上BC、PE上CA、PF上AB,D、E、Fg重定,如图1.A、F、P、E四点并圆,目PA是直径,田正弦定理,同理可后田等积点的定义得性质2三角形的节税点对自边的张角号段边所对角的差相等,目差为6O”.证设P是否ABC形内的等积点,如图1.由四点并圆可得注(1)当等积不P在西ABC内的,田性质28MAPB—60”+fAM180o,上AM120“,老等.即有max{A… 相似文献
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本文先讨论在直角三角形中与边长成等比数列等价的一系列几何性质,这是与“黄金分割”有关的。在此基础上,可再给出一个三角形是边长成等比数列的直角三角形的一系列充分条件。 相似文献
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等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是边BC上任意一点, 相似文献
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一条线段上的一点将其分为长短不等的两部分,若长线段为全线段和短线段的比例中项,那么这样的分割就叫黄金分割,这个点就叫黄金分割点.不难算出长线段是全线段的倍,即约0.618倍,这个数称为黄金数. 相似文献
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问题 求斜边长为1的直角三角形的内切圆半径的最大值.
解法1 借助直角三角形的特殊性,即直角三角形两条直角边的长减斜边长等于三角形内切圆半径的2倍, 相似文献
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近日,笔者在“睿智大讲坛”全国中小学学科名师教学观摩会上,聆听了一堂“探索三角形分割的条件”课,本节课教学内容选自课外,没有现成的教材.学生原有的基础是学习了直角三角形斜边上的中线把原直角三角形分割成两个等腰三角形以及黄金三角形(底角为72°的等腰三角形)的底角的角平分线可以把原三角形分割成两个等腰三角形.上课教师就是利用散落在教科书各处且平时不被关注的教学内容进行有效、深层次的整合.听课之后,引发了笔者的几点思考. 相似文献