数学问题解答

20 0 2年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 76　若实数ａ、ｂ、ｘ、ｙ满足ａｘ+ｂｙ =3 ,ａｘ2 +ｂｙ2 =7,ａｘ3+ｂｙ3=1 6,ａｘ4 +ｂｙ4 =42求ａｘ5+ｂｙ5的值出自于郭要红、戴普庆编著的《中学数学研究》 ,安徽大学出版社 ,1 998年 1 1月Ｐ96第 1 7题解　因为ａｘ3+ｂｙ3=1 6所以　 (ａｘ3+ｂｙ3) (ｘ +ｙ) =1 6(ｘ+ｙ)所以　 (ａｘ4 +ｂｙ4 ) +ｘｙ(ａｘ2 +ｂｙ2 ) =1 6(ｘ+ｙ)即　 42 +7ｘｙ=1 6(ｘ +ｙ) ①因为　ａｘ2 +ｂｙ2 =7所以　 (ａｘ2 +ｂｙ2 ) (ｘ +ｙ) =7(ｘ+ｙ)所以　 (ａｘ3+ｂｙ3) +ｘｙ(ａｘ+ｂｙ) =7(ｘ +ｙ)…     

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20 0 0年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 56　求 77 7　 (n个 7,n≥ 3)的末四位数 .解　∵ 74≡ 1 (mod1 0 0 )∴　 74 x ≡ 1 ((mod1 0 0 ) ,x∈ N又　 7≡ - 1 (mod4) ,故 77≡ (- 1 ) 7≡- 1 (mod4) .因而 77 7　 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 )≡- 1 (mod4) .所以可设77 7　 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 ) =4x 3,x∈N∴　 77 7≡ 74 x 3≡ 73≡ 43(mod1 0 0 )于是可设 77 7　 (n个 7,n≥ 3) =710 0 m 4 3,m∈ N (1 )而　 74 ≡ 2 4 0 1 (mod1 0 0 0 0 )∴　 78≡ 480 1 (mod1 0 0 0 0 )716≡ 960 1 (mod1 0 0 0 0 )732 ≡ 92 0 1 (mod1…     

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2004年3月号问题解答 (解答由问题提供人给出)1481 四边形ABCD中,G1,G2,G3,G4,分别为△BCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,求证:SG1G2G34=(1/9)SABCD. (天津市赤土中学 贯福春 300300) 证明 取BC的中点M,连接AM,DM,则     

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20 0 4年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 486　求函数f(x) =x( 1 -x)(x+ 1 ) (x+ 2 ) ( 2x + 1 ) ,x∈( 0 ,1 ]的最大值解　记f(x) =y ,令x=1 -t1 +t( 0 ≤t<1 ) ( 1 )代入f(x) ,可得y=t( 1 -t2 )9-t2 ( 2 )引入待定正常数α,得y=αt( 1 -t2 )α( 9-t2 ) ≤(α2 +t2 ) ( 1 -t2 )2α( 9-t2 )=α2 + ( 1 -α2 )t2 -t42α( 9-t2 )=- 12α( 9-t2 ) + 8( 9+α2 )9-t2 + 1 7+α22α≤- 12α·2 8( 9+α2 ) + 1 7+α22α=1 7+α2 - 42 ( 9+α2 )2α(定值) ( 2′)以上y取最大值的条件是:t=α9-t2 =8( 9+α2 )9-t2　(α>0 ,t∈[0 ,1 ) ) .解出…     

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20 0 2年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 86　试证明 :有两边及一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等 .(湖北宜昌市十一中学　是海松　443 0 0 3 )证明　设△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′的三边分别记为ａ、ｂ、ｃ和ａ′、ｂ′、ｃ′,三条角平分线分别记为ｔａ、ｔｂ、ｔｃ和ｔａ′、ｔｂ′、ｔｃ′,半周长分别记为ｐ和ｐ′.当有两边及它们的夹角的平分线对应相等时 ,不妨设ｂ=ｂ′,ｃ =ｃ′,ｔａ =ｔａ′.由ｔａ =2ｂ+ｃ ｂｃｐ(ｐ -ａ) ,ｔａ′ =2ｂ′+ｃ′ ｂ′ｃ′ｐ′(ｐ′ -ａ′)得 :2ｂ+ｃ ｂｃｐ(ｐ -ａ) =2ｂ+ｃ ｂｃｐ…     

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2007年11月号问题解答(解答由问题提供人给出)(浙江省义乌市群星中学闵飞322000)证明(1)设直线AI1交BD于P,交BC于G,直线AI2交CD于Q.由AI1平分∠BAD知AADB=DBPP,由AI2平分∠CAD知AADC=DCQQ,又AB=AC,所以DBDP=DCQQ.所以PQ∥BC,所以∠BGP=∠GPQ过I1,I2作PQ的垂线,垂足为X、Y.记⊙I     

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20 0 3年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )145 6　如图 ,在⊙O中 ,两弦AC、BD垂直于P .过A、B、C、D分别作⊙O的切线 ,相交于E、F、G、H ,求证 :AEAH =PBPD =CFCG,或 BEBF =APPC =DHDG证明　分三步证 :Ⅰ )过H引FG的平行线与AC交于X ,则∠GCA =∠HXA又因∠GCA =∠HAC所以∠HXA=∠HAC　即得HA=HX同样地 ,过H引EF的平行线与BD交于Y ,则有HD =HY又因HA =HD　所以HX =HY　　①设AC与HF交于P1 ,则有 HP1 P1 F =HXFC　　②又设BD与HF交于P2 ,则有 HP2P2 F =HYFB　　③又因在FB =FC　④结合…     

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20 0 3年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 466　设M =5 2 0 0 1 + 72 0 0 2 + 92 0 0 3+ 1 1 2 0 0 4 ,求证 :M能被 8整除 .证明　令An =5 2n- 1 ,Bn =72n,Cn =92n- 1 ,Dn =1 1 2n(n∈Z+)( 1 )当n=1时 ,有A1 =5 ,B1 =49,C1 =9,D1 =1 2 1 ,所以A1 除以 8余 5 ;B1 除以 8余 1 ;C1 除以 8余 1 ;D1 除以 8余 1 .( 2 )假定n=k(k∈Z+)时 ,有Ak 除以 8余 5 ,即Ak =5 2k- 1 =8S1 + 5 (S1 ∈Z+) ;Bk=72k除以 8余 1 ,即Bk=72k=8S2 + 1 (S2∈Z+) ;Ck =92k- 1 除以 8余 1 ,即Ck =92k- 1 =8S3+1 (S3∈Z+) ;Dk =1 1 2k 除以 8余 1 …     

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2011年5月号问题解答(解答由问题提供人给出)2001若实数a,b,x,y满足ax+by=3,ax2+by2=7,ax3+by3=16,ax4+by4=42,求ax5+bx5的值.     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

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20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96　⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆 .Ｄ、Ｅ、Ｆ是ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点 ,ＤＤ′、ＥＥ′、ＦＦ′都是⊙Ｏ的直径 .求证 :直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点 .(安徽省怀宁江镇中学　黄金福　2 461 42 )证明　设直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′.过Ｄ′作⊙Ｏ切线交ＡＢ、ＡＣ于Ｍ、Ｎ显然ＭＮ ∥ＢＣ △ＡＭＤ′∽△ＡＢＡ′,△ＡＤ′Ｎ ∽△ＡＡ′Ｃ . ＭＤ′ＢＡ′ =ＡＤ′ＡＡ′ =Ｄ′ＮＡ′Ｃ ＢＡ′Ａ′Ｃ =ＭＤ′Ｄ′Ｎ①连结ＯＭ、ＯＮ .记⊙Ｏ半径…     

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20 0 2年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 1　邮局发行一套四种不同面值的邮票各 1张(面值为正整数 ) ,如果每封信允许贴邮票张数不超过 3 ,存在正整数Ｒ ,使得用不超过三枚邮票 ,其和可以形成连续整数 1 ,2 ,3 ,… ,Ｒ ,找出这四种面值数 ,使得Ｒ值最大 ,并把结果推广 .(山东省青岛市四方区鞍山五路 2 7号楼二单元 70 2　王大鹏　 2 6 6 0 0 0 )解　从四种邮票中选取不超过三张的取法 :共有 =Ｃ1 4 +Ｃ24 +Ｃ34=4+6 +4=1 4(种 )那么　Ｒ≤ 1 4.设四种邮票的面值分别是ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ .(∈Ｎ) .且　ａ<ｂ<ｃ <ｄ .所以　ａ =1 …     

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20 0 2年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 91　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足不等式｜ｂ-ｃ｜≥3｜ａ｜,｜ｃ-ａ｜≥ 3｜ｂ｜ ,｜ａ-ｂ｜≥ 3｜ｃ｜ ,求证 :ａ+ｂ+ｃ=0 .(南昌大学附中　宋庆　 3 3 0 0 2 9)证明　因为ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,｜ｂ-ｃ｜≥ 3｜ａ｜,所以 (ｂ-ｃ) 2 ≥ 3ａ2 ,所以 3ａ2 -ｂ2 -ｃ2 +2ｂｃ≤ 0 ,同理得 3ｂ2 -ｃ2 -ａ2 +2ｃａ≤ 0 ,3ｃ2 -ａ2 -ｂ2 +2ａｂ≤ 0 ,以上三式相加 ,便得ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +2ｂｃ+2ｃａ+2ａｂ≤ 0 ,所以 (ａ+ｂ +ｃ) 2 ≤ 0 ,所以ａ+ｂ+ｃ =0 .1 3 92　数列 {ａｎ}中 ,ａｎ =ｎ3·Π99ｉ=1(ｎ2…     

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20 0 4年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 76　设锐角△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R ,r.求证垂心到三顶点的距离之和为 2 (R +r) .(山东单县二中　齐行超　 2 7430 0 )证明　如图 ,设△ABC的垂心为H ,则 AHsinABH=ABsinAHB即AHsin ( π2 -A)=ABsin (π -C)因为　 AHcosA=ABsinC=2R ,　　同理 BHcosB=2R ,CHcosC=2R ,所以　AH +BH +CH=2R (cosA +cosB +cosC)=2R ( 1 + 4sinA2 sin B2 sin C2 )=2 (R +R·rR)=2 (R +r)1 4 77　试证明 :具有公共焦点的椭圆和双曲线 ,若它们的离心率互为倒数时 ,则以它…     

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1452 圆形纸片的半径为10cm,圆心为O,点F是圆内一定点,OF=6cm,设点M为圆上的任一点。把纸片折叠,使点M与F重合,折线为CD且与OM交于点P。(CD为圆的弦)。 (1)求点P的轨迹方程; (2)求证:线段CD所在直线为点P轨迹的切线。 (山东兖州曲阜师范兖州校区 丁勇     

圆锥曲线的一个重要性质及应用

众所周知,圆锥曲线的离心率ｅ是用来刻画圆锥曲线形状的一个重要特征量,不同的圆锥曲线有着不同的离心率;椭圆型圆锥曲线　０＜ｅ＜１抛物线型圆锥曲线　ｅ＝１双曲线型圆锥曲线　ｅ＞１笔者通过研究发现,圆锥曲线还存在着一个与离心率ｅ相类似的重要性质;为了叙述方便,首先给出一个定义;定义１：过圆锥曲线内接三角形的三个顶点的三条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的切线三角形;定理：圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比记为△,则（Ⅰ）椭圆型圆锥曲线　０＜△＜２（Ⅱ）抛物线型圆锥曲线　△＝２（Ⅲ）双曲线…     

关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质

平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的：椭圆的焦距与长轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做椭圆的离心率．双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用ｅ表示,按抛...