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在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和 相似文献
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二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这二次曲线的直径。关于二次曲线直径方程有传统的推导方法。这种方法是将动弦的参数方程代入二次曲线的方程,得到关于x的二次方程,由根与系数的关系,消去参数,得到二次曲线直径的方程。本文介绍一种新的推导方法,此方法比传统方法有更多的优越性。先从一个简单的例子谈起。求椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的斜率为k的弦的中点轨迹。设椭圆斜率为k的弦的中点为P(x,y),端点为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),于是有方程组 相似文献
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《数学通报》82年第2期与第8期,相继发表了两篇论述二次曲线弦的中点及其应用的文章。二次曲线弦的中点的一个主要问题,是弦的斜率如何用它的中点坐标表示。本文应用微分中值定理给出一般二次曲线弦的斜率公式。一、微分中值定理的一个特例我们知道,二元函数的微分中值定理是:设函数f(x,y)在闭区域D上有定义且连续,而且在区域D内部有连续偏导数f′_x,f′_y。那末,对于定义域中两点M(x,y)、M_1(x+△x,y+△y),有公式△f(x,y)=f′x(x+θ△x,y+θ△y)△x+f′y(x+θ△x,y+θ△y)△y其中θ∈(0.1)区间。一般地说,我们很难定θ具体的数值。仅在少数的情况下,可以确定它。下面证明当f(x,y)是二元二次函数时,微分中值定理中的θ是1/2。 相似文献
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贵刊85年第3期载文“中点弦所在的直线方程”(以下简称[1]文),给出了一个求二次曲线“中点弦”所在的直线方程的定理及其证明,提供了解决这一问题的一种相当简便的方法。但我觉得[1]文还可作如下补充。首先[1]文写道: “若Bx_o+2Cy_o+E≠0,则过M(x_o,y_o)的直线方程为…,即G’_((x 0,y 0))(x,y)=G(x_0,y_0)_((x 0,y 0))证毕。” (见上述刊物P32) 其实,这时是不能算证毕的。因为还有当Bx_0+2Cy_0+E=0时,能否推导出定理中的结论,[1]文并没有交待。事实上,当By_0+2Cy_0(?)E=0时,仍可导出定理中的结论,本文将后面论述。其次,[1]文在运用定理时,一再指出或审 相似文献
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关于直线参数方程x=x_0+tcosα y=y_0+tsinα,一般都把点(x_0,y_0)作为定点,但在研究某些二次曲线按给定条件的弦的中点轨迹时,若能辩证地把定点(x_0,y_0)、作为变化着的中点,仍然利用直线的这种参数方程,也能顺利地找到x_0和y_0的关系式,从而得到点(x_0,y_0)的轨迹方程。 相似文献
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二次曲线的定点弦 总被引:6,自引:2,他引:4
文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1 椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明 以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-… 相似文献
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二次曲线定点弦的一个优美性质 总被引:5,自引:0,他引:5
文 [1 ]给出了二次曲线定点弦的一个耐人寻味的性质 ,本文将给出二次曲线定点弦的另一个优美性质 .定理 1 椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b >0 )的过定点M (m ,n) (m≠ 0且m≠±a)的动弦AB(不平行于焦点轴 )的两端点的切线交点N的轨迹是直线 :mxa2 + nyb2 =1 .证 设A (x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,N (x ,y) ,则切线AN :x1xa2 + y1yb2 =1 .切线BN :x2 xa2 + y2 yb2 =1 .图 1 定理 1图联立两方程可解得 :x =a2 ( y2 - y1)x1y2 -x2 y1( 1 )y =b2 (x1-x2 )x1y2 -x2 y1( 2 )设kAB=k (k≠ 0 ) ,则直线AB :y -n =k(x -m) ,y2 - y1=k(x2 -x1) ( 3)x1y2 … 相似文献
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文 ( 1 )给出了直线方程 x0 x y0 y =r2的几何意义 ,文 ( 2 )又给出了直线方程 x0 xa2 y0 yb2 =1的几何意义 ,两文的讨论仅涉及到圆和椭圆这两种最简单的标准方程 ,本文将把这种讨论推广到一般的常态二次曲线 .设常态二次曲线 L的方程为 f( x,y) =0 ,M( x0 ,y0 )为坐标平面内任一点 ,本文讨论下列方程 ( * )的几何意义 .f ( 2 x0 - x,2 y0 - y) - f( x,y) =0 ( * )定理 1 设 M( x0 ,y0 )为常态二次曲线L :f ( x,y) =0内部一点 ,那么方程 ( * )的几何意义表示以点 M为中点的中点弦所在的直线 .证明 在曲线 L :f ( x,y) =0上任取一… 相似文献
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已知平面上一点M(x_0,y_0)以及二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)简记为G(x,y)=0。又方程Ax_o+B(y_0+x_0y)/2+Cy_0+D(x+x_0)/2+E(y+y_0)/2+F=0简记为 G'_(x_0,y_0)(x,y)=0 (2)显然有① G'_(x_0,y_0)(x,y)=G'_(x,y)(x_0,y_0) ② G'_(x_0,y_0)(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)我们有如下众所周知的结论1)当M(x_0,y_0)在曲线(1)上时,方程(2)表 相似文献
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例1(出自多个资料)抛物线y2=2px的一条弦所在直线方程是y=2x+5,且弦的中点的横坐标为-2,求此抛物线的方程. 相似文献
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直线与二次曲线相交所得弦的中点的有关问题,是解析几何中的重要内容,也是历年高考命题的热点之一,其解法丰富多采,千姿百态.本文仅不常用的代点相减法作一些探讨.1关于代点相减法及其解题模式所谓代点相减法,就是将二次曲线弦的端点坐标代入二次曲线方程,然后借助代数运算实现解题目标.其一般模式是:(1)令弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),将其坐标代入二次曲线的方程f(x,y)=0,得f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0.(2)将(1)中所得的两式相减,并通过因式分解将其整理为只含有x1+x2,y1+y2,x1-x2和y1-y2的式子.… 相似文献
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A 题组新编1 .( 1 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 1 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 2 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 3)动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =2 | xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 4 )动点 M( x,y)满足2 ( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 .2 .( 1 )过点 P( 1 ,2 )的直线与 x、y轴的正半轴分别交于点 A、B,试求 S△ AOB 的最小… 相似文献
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文[1]探讨了方程x0x+y0y=r2表示的轨迹,如果圆心不在原点时,它的切线、切点弦所在直线的方程是什么?改为椭圆和有心二次曲线结论又如何?笔者就此作了进一步探究. 相似文献
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文 [1 ]给出了圆锥曲线动弦的一条性质 ,我们把它记为命题 1 设P为一圆锥曲线上的一个定点 ,α1,α2 分别是曲线的任两条动弦PA ,PB的倾斜角 ,若条件( 1 )tanα1·tanα2 =定值 ,( 2 )tanα1+tanα2 =定值 ,( 3)α1+α2 =定值中有一个成立 ,则直线AB过定点或定向 .本文将这一命题引申到P(x0 ,y0 )为不在圆锥曲线上的情形 ,再给出一个统一的证明 ,为此 ,我们先证明 :命题 2 设P为一定点 ,过P引直线交圆锥曲线Γ于M ,N两点 ,则曲线Γ的动弦MN的中点轨迹是一条过P点的圆锥曲线 (或者是曲线的一部分 ) ,它与原曲线Γ具有相同的离心率 ,… 相似文献