关于正项等差数列一个不等式的加强及应用

笔者在文[1]中建立了如下不等式:命题设{an}为等差数列,且首项a1>0,公差d>0,k∈R 且k≠1,n>1,则1d(1-k)(a1n- 1k-a11-k)<∑ni=11aik0,公差d>0,k∈R ,且k≠1,n>1,则1d(1-k)1akn- 11-a11k-1 21a11k-a1nk 1<∑ni=11aik0),则f′(x)=-xkk 1<0,f″(x)=k(kxk 21)>0,故函数f(x)在(0, ∞)内单调递减且严格下凸.设y=f(x)的图形为曲线C,作直线x=ai和直线x=ai 1,分别与曲线C和x轴正半轴相交于Pi,…     

不等式开放题的探求策略

本文给出有关正项等差数列的两组优美的不等式，并给出它的一些应用．     

有关正项等差数列的不等式

定理若{an}是公差为α(α>1)的正项等差数列,a1=1,α、n为正整数,则(Ⅰ)(ana 1n 11)α>(2α(-2α1)-(1n) n 1)1 1;(Ⅱ)(1 a11)(1 a12)…(1 a1n)≥α(2α-1)n 1.证明(Ⅰ)(数学归纳法)(1)当α=2时,则左端=(22nn 21)2,右端=3n 43n 1,因为(22nn 12)2÷33nn 41=((22nn 21))22((     

正项等差数列的不等式

由正项等差数列构成的不等式 ,叫做正项等差数列的不等式 .本文研究这样的一类不等式 .为了叙述简便 ,本文规定 {ａｎ}是公差为ｄ(ｄ >0 )的正项等差数列 ,Ｓｎ 是它的前ｎ项和 ,ｍ ,ｎ ,ｋ都是正整数 .定理 1　 1+ ｍｄｋａ11+ ｍｄｋａ2 ·…· 1+ ｍｄｋａｎ ≥ａｍ + 1ａｍ + 2 ·…·ａｍ +ｎａ1ａ2 ·…·ａｎ1ｋ.(当且仅当ｋ =1时等号成立 )证　由二项式定理得1+ ｍｄｋａｉｋ=1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ +Ｃ2 ｋｍｄｋａｉ2 +… +Ｃｋｋｍｄｋａｉｋ ≥ 1+Ｃ1ｋｍｄｋａｉ =1+ ｍｄａｉ=ａｉ+ｍｄａｉ=ａｍ +ｉａｉ,(当且仅当ｋ =1时取等号 …     

正项二阶等差数列的不等式

文[1]、[2]研究了正项等差数列方幂的不等式，本文研究由递增正项二阶等差数列若干项构成的不等式，为了简便起见，以下约定{an}是递增正项二阶等差数列，bn=a（n＋1）-an，{bn}的公差为d，其前n项和为Sn，m，k，n，p为正整数．     

一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b>0,且a+b=1.求证:(1/a2-a3)(1/b2-b3)≥(31/8)2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a+b=1,     

一个不等式的简证

文[1]用高等数学的方法证明了如下不等式： 设a，b，c〉0，a＋b＋c=1，则 （1/a-a）（1/b-b）（1/c-c）≥（8/3）^3 ① 很多文献给出了①的初等证法，但都比较难．下面给出一个简单证明．     

一个不等式的简证

题目若a,b,f是满足a＋b＋c=1的正数。     

一个不等式的另一简证

定理 设a1，a2,…，an∈R^＋且a1＋a2＋…＋an=S，k≤0，则有a1^k/S-a1＋a2^k/S-a2＋…an^k/S-an≥Sn^k-1/（n-1）n^k-2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号．     

一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b〉0,且a＋b=1.求证：（1/a2-a3）（1/b2-b3）≥（31/8）2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a＋b=1,     

一个加强不等式的简证

《数学通报》2 0 0 3年第5期《一个不等式的加强》一文将法国MohammedAassila教授提出的不等式1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥31 +abc ( 1 )(其中a ,b ,c为正数)加强为1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc( 1 + 3 abc) ,( 2 )并将加强不等式( 2 )转化为以下形式:a1 a2 +ka3+ a2a3+ka1 + a3a1 +ka2 ≥31 +k( 3)其中a1 ,a2 ,a3,k为正数.然后对( 3)给出了一个“高级”的证明方法.之所以说其证明方法“高级”,是因为其中用到了线性代数的一些知识.本文给出( 3)中一种简单证法.证　由柯西不等式知( x21 y1 + x22y2 + x23y3) (y1 …     

一个不等式的简证与改进

本刊 2 0 0 1年第 9期《综合题选编》中给出了一个参数a的最大值问题 ,刊出后陕西柳锋祥 ,浙江华漫天 ,湖北魏烈斌 ,江苏方小连 ,云南张国坤 ,安徽万家练均来稿给出了正确结果 ,本刊按来稿的先后顺序选登浙江陶文强的文章     

用柯西不等式的一个推论简证一类不等式

拜读了《数学通讯》2009年1、2月（学生刊）王增强老师的“用贝努利不等式的变式证一类不等式题”．颇有收获．但觉得证明的变形技巧要求太高,也比较繁琐,下面用柯西不等式的一个推论给出该文几例的简证,为便于说明问题并再添加几例（例1至例5是原文顺序例题,例6至例9是另选例题）．     

一个加强不等式的简证

2004年亚太地区数学奥林匹克试题5为: 　　证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(bc+ca+ab).……     

等差数列的一个不等式

本文给出最近发现的一个关于正项等差数列的一个不等式 ,并举列说明它在解决一些用数学归纳法证明异常困难的一类问题上的有效性 .定理　设数列 {ａｎ}是等差数列 ,ａｉ>0(ｉ=1 ,2 ,…,ｎ) ,公差为ｄ ,且 0≤ｄ≤ 1 ,则对任意的正整数ｋ ,有 ｎｉ=1ａ1ｋｉ ≥ ｋｋｄ 1 [ａｎａ1ｋｎ -1- (ａ1-ｄ)ａ1ｋ1](1 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .为方便定理证明 ,先证如下两个引理 :引理 1　设 0≤ｄ≤ 1 ,ａ >0 ,则对任意的正整数ｋ ,有(1 1ｋａ) ｋ≥ 1 ｄａ (2 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .证　根据二项式定理 ,有(1 1ｋａ)…     

一个不等式问题的简证及其推广

问题设实数x,y,z,m满足不等式（x＋y＋z）^2≥2（x^2＋y^2＋z^2）＋4m,求证：