综合题新编选登

题 1 33　已知函数 f(x) =a - 3x ,1)求f- 1(x) ;2 )试讨论 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点个数 ,并求出交点坐标 .解　 1)由 y =a - 3x ,得x =- y23 a3.∴ f- 1(x) =- x23 a3(x≥ 0 )。2 )当 y =f(x) 与 y =f- 1(x)的交点在 y =x上时 ,联立y =x ,y =- x23 a3(x≥ 0 ) ,消去 y     

函数图象对称性选择题

1.函数y=f(x)与y=-f~-1(-x)的图象( )。 (A)关于y=x对称 (B)关于y=-x对称 (c)关于x轴对称 (D)关于原点对称 2.设函数y=f(x)与y=-f(x)的图象既关于x轴对称,又关于原点对称,那么y=f(x)图象( )。 (A)关于x轴成轴对称图形 (B)关于y轴成轴对称图形 (C)关于原点成中心对称图形 (D)关于直线y=x成轴对称图形     

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

互为反函数图像的交点问题

<正>我们已经熟知"函数y=f(x)的图像和它的反函数y=f^(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f(-1)(x)的图像关于直线y=x对称"这个重要结论,但是关于函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f(-1)(x)的交点问题,不少同学在认识上存在一定的误区.误区1函数y=f(x)及其反函数y=f^(-1)(x)图像的交点,一定在直线y=x上.我们举两个反例加以阐释.     

反函数函数的一种几何解释

设函数 y=f ( x)的反函数存在 ,且 f′( x)≠ 0 ,则其反函数 x=f- 1( y) (或记 x=φ( y) ,此处φ=f- 1)的导数也存在。在同一坐标系中函数与其反函数的图象是同一条曲线 ,如下图。关于函数 y=f ( x)在点 x处的导数 f′( x) ,其几何意义是曲线 y=f( x)在点 ( x,y)处的切线 l关于 x轴的斜率 ,从而有 dydx= f′( x) =tanα,其中α是切线 l与 x轴正向的夹角 ,同时记切线与 y轴正向夹角为 β。关于函数 x=f- 1( y) ( x=φ( y) ) ,在相应点 y处的导数为 φ′( y) ,其几何意义是曲线 x=f- 1( y) ( x=φ( y) )在点 ( x,y)处的切线 l,关于 y轴正向的…     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

常系数非齐次线性微分方程的一个简捷解法

设二阶常系数非齐次线性微分方程 y″+py′+qy=f( x)对应的齐次方程的特征根为 r1,r2 ,f ( x)连续。由韦达定理 :p=-( r1+r2 ) ,q=r1r2从而 y″+py′+qy=f( x)可化为 y″-( r1+r2 ) y′+r1r2 y=f( x)即 ( y′-r1y)′-r2 ( y′-r1y) =f ( x)令 y′-r1y=y1则 :　 y″+py′+qy =f ( x) y′-r1y =y1y′1-r2 y1=f ( x)即原方程可降阶为一阶线性微分方程。解方程组得 y =er1x∫y1e- r1xdx,y1=er2 x∫f ( x) e- r2 xdx所以 ,原二阶方程的通解为 y =er1x∫e( r2 - r1) x .[∫f ( x) e- r2 xdx]dx由此得到 :定理 1　若 y″+py′+qy=f ( x)对应的齐次…     

考点5 反函数

1.(江苏卷,2)函数y=21-x+3(x∈R)的反函数的解析表达式为().(A)y=log2x-23(B)y=log2x-23(C)y=log23-2x(D)y=log23-2x2.(山东卷,2)函数y=1-x x(x≠0)的反函数的图像大致是().(A)(B)(C)(D)3.(全国卷,3)函数y=3x2-1(x≤0)的反函数是().(A)y=(x+1)3(x≥-1)(B)y=-(x+1)3(x≥-1)(C)y=(x+1)3(x≥0)(D)y=-(x+1)3(x≥0)4.(辽宁卷,5)函数y=ln(x+x2+1)的反函数是().(A)y=ex+2e-x(B)y=-ex+2e-x(C)y=ex-2e-x(D)y=-ex-2e-x5.(天津卷,9)设f-1(x)是函数f(x)=12(ax-a-x)(a>1)的反函数,则使f-1(x)>1成立的x的取值范围为().(A)(a22-a1,+∞)(B)(-∞,a22-…     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课　题　整式与分式的求值适用年级　初中二年级学期　 2 0 0 3— 2 0 0 4学年度第一学期训练目的典型范例　　已知x + y=1,x2 + y2 =2 ,求x7+ y7的值 .分析与解答　所求式与已知式关系甚远 ,考虑添设辅助式 (中间元素 )x3+ y3与x4 + y4 ,沟通它们之间的联系 ,缩短它们之间的距离 .分析与解　∵　x +y =1,　x2 +y2 =2 ,∴　xy =12 [(x + y) 2 -(x2 + y2 ) ]=12 (12 -2 ) =-12 ,x3+y3=(x +y) (x2 -xy + y2 )=1× (2 + 12 ) =52 ,x4 + y4 =(x2 + y2 ) 2 -2x2 y2=2 2 -2 (-12 ) 2 =72 .故　x7+ y7=(x3+ y3) (x4 + y4 ) -(x4 y3+x3y4 )=(x3+ y3)…     

关于赋范线性空间中的三类泛函方程

在赋范线性空间中考察下列几类泛函方程( ) f(x) g(y) =h(x+y) ,　 ( ) f(x+y) =f(x) f(y) ,　 ( ) f(x+y) =f(x) +f(y) +ag(x) g(y)的性质与解以及彼此之间的关系 .     

全微分方程的不定积分解法及其证明

0　引言一个一阶微分方程写成P( x,y) dx +Q( x,y) dy =0 ( 1 )形式后 ,如果它的左端恰好是某一个函数 u=u( x,y)的全微分 :du( x,y) =P( x,y) dx +Q( x,y) dy那么方程 ( 1 )就叫做全微分方程。这里 u x=P( x,y) ,　　 u y=Q( x,y)方程 ( 1 )就是 du( x,y) =0 ,其通解为 :u( x,y) =C　 ( C为常数 )可见 ,解全微分方程的关键在于求原函数 u( x,y)。因此 ,本文将提供一种求原函数 u( x,y)的简捷方法 ,并给出证明。1　引入记号为了表述方便 ,先引入记号如下 :设 M( x,y)为一个含有变量 x,y项的二元函数 ,定义 :( 1 )“M( x,y)”表示 M(…     

谈函数图象的变换

如果己知函数y=f(x)的图象,我们可以通过有关的变换而得到一系列函数的图象。下面用具体例子加以说明。一、简单变化 1.y=-f(x) 因为-f(x)与f(x)互为相反数,所以函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称。故只要把y=f(x)的图象关于x轴反射,就可以得到y=-f(x)的图象。     

Fuzzy蕴涵代数与有界BCK—代数等价

在[1]中作者给出了下面的定义. 定义1 一个(2,0)型代数(X,→,0)称为FI代数,如果(?) x,y,z∈X,有 (I_1) x→(y→z)=y→(x→z), (I_2) (x→y)→[(y→z)→(x→2)]=1, (I_3) (x→z)=1, (I_4) 若x→y=y→x=1,则x=y, (I_5) 0→x=1,其中 1=0→0. 在[2]中Iseki K引入了BCK-代数,参见[3,4]. 定义2 一个(2,0)型代数(X;*,0)称为BCK-代数,如果(?) x,y,z∈X,有 (Ⅰ) ((x*y)*(x*z))*(z*y)=0, (Ⅱ) (x*(x*y))*y=0, (Ⅲ) x*x=0.     

条件"x+y=1"下1/xn+λ/yn的最小值

1　问题的提出我们经常遇到下列问题 :(1)已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x 4y 的最小值 ;(2 )已知 x,y∈ R ,且 x y =1,求 1x2 8y2 的最小值 ;问题 (1)“用 1代换”不难求得 :1x 4y =(1x 4y) (x y)　　 =5 yx 4 xy ≥ 5 2 yx .4 xy =9,当且仅当 yx =4 xy,即　 y =2 x时取等号 .问题 (2 )能否“用 1代换”呢 ?1x2 8y2 =(1x2 8y2 ) (x y) ,　 =1x 8y yx2 8xy2 ,虽然有　 1x 8y ≥ 2 8xy ,yx2 8xy2 ≥ 2 8xy 且　 1xy≥ 2x y,但三式等号分别在 y =8x,y =2 x与 y =x时成立 ,故等号不能同时成立 .在 (1x…     

三角形不等式的共同解法—关于三角形旁切圆半径的两个不等式证明的改进

众所周知(x y)(y z)(z x)=xy(x y) yz(y z) zx(z x) 2xyz=x2y xy2 y2z yz2 z2x zx2 2xyz　(*)这是一个十分重要的代数恒等式,由(*)立即得到(x y)(y z)(z x)=(x y z)(xy yz zx)-xyz(1)(x y)(y z)(z x)=x(y z)2 y(z x)2 z(x y)2-4xyz(2)(x y)(y z)(z x)(x y z)=xy(x y)2 yz(y z)2 zx(z x)2 4xyz(x y z)(3)(x y)(y z)(z x)(xy yz zx)=x2y2(x y) y2z2(y z) z2x2(z x) 2xyz(x y z)2(4)……(*)及(1),(2),(3),(4)……在证明关于三角形不等式方面有极其广泛的应用.这是因为:图1任一三角形总有内切圆(图1),总可以作变换a=y z,b=z x,c=x y(x,y,z∈R )…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

综合题新编选登

题 136　函数 f( x)对一切实数 x,y均有f( x y) - f( y) =x( x 2 y 1 )成立 ,且 f( 1 )= 0 .1 )求 f( 0 ) ;2 )求 f( x) ;3)当 x∈ ( 0 ,12 )时 ,f( x) 2 相似文献   

对称函数及其简单应用

一、对称函数定义:如果函数z=f(x,y)=f(y,x),則称函数z=f(x,y)关于自变量x,y是对称的。如果函数u=f(x,y,z)=f(y,x,z),則称函数u=f(x,y,z)关于x,y是对称的。如果u=f(x,y,z)关于任意两个自变量均是对称的,则     

一个问题的简单解答

问题　已知 x,y∈ R ,且 x y =1 ,求1x2 8y2 的最小值 .文 [1 ]作者尝试“用 1代换”,得到1x2 8y2 =( 1x2 8y2 ) ( x y)=1x 8y yx2 8xy2 .思维受阻后 ,原作者询问道 :“在 ( 1x2 8y2 ) (　　 ) ,括号内应配上什么式子才能解出呢 ?”这里 ,笔者拟给出一个回答 ,并不需推广为一般性结论后再赋值 .解　∵　 x,y∈ R ,x y =1 ,∴　 1x2 8y2 =( 1x2 8y2 ) ( x y) 2　 =9 y2x2 8x2y2 2 yx 1 6 xy　 =9 ( y2x2 8xy 8xy) ( 8x2y2 yx yx)　≥ 9 33 8 33 82 =2 7,当且仅当 y2x2 =8xy 且 x y =1 ,即…     

赋值法在抽象函数中的应用

我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数 .由于这种表现形式的抽象性 ,使得直接求解思路难寻 .解这类问题可以通过化抽象为具体的方法 ,即赋予恰当的数值或代数式 ,经过运算与推理 ,最后得出结论 .下面分类予以说明 .1　 判断函数的奇偶性例 1　若 f ( x + y) =f ( x) + f ( y)对于任意实数 x、y都成立 ,且 f( x)不恒等于零 ,判断函数 f ( x)的奇偶性 .解　在 f( x + y) =f ( x) + f ( y)中令x =y =0 ,得 f( 0 ) =0 .又在f ( x + y) =f( x) + f ( y)中令 y =- x,这样就有　 f ( x - x) =f ( x) + f( - x) ,即 f ( 0 ) =f ( x) + f ( - x)…