点差法及其应用

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时,常设出弦端点坐标,并代入圆锥曲线方程得两式,将两式相减.这种解题方法,不妨叫设点求差法,简称点差法,其解题的主要步骤有:1.设弦的端点坐标;2.代入方程两式相减;3.建立端点与中点的坐标关系;4.求弦所在直线斜率.点差法解题过程规律化,运算简单化,适     

用好“点差法”

<正>"点差法"是学习解析几何时,解决直线与曲线位置关系中,有关弦中点的问题的常用的方法之一.它通过方程作差、中点公式、斜率公式等,把直线与曲线的交点问题,迅速转化为弦中点的横纵坐标和弦所在直线斜率的关系,使问题得到解决.下面以2013年北京高考试题19的第二问为例体会一下这个方法的简洁和快捷.     

妙用点差法——解决有关斜率中点或直线对称问题

点差法在解决与弦的中点和斜率有关问题或圆锥曲线上的两点关于某条直线对称的问题上有独特的优势．它不但可以简化运算,达到“设而不求”的目的,还可以优化解题过程,达到事半功倍的效果．本文试图通过具体例子说明其独特魅力．     

你知道点差法产生增根问题的原因吗

同学们都熟悉,用点差法求二次曲线的中点弦问题,有时所求得的直线方程,却不是问题的解,是增根,你知道产生增根问题的原因吗？例1已知直线l与双曲线x22-y24=1交于A,B两点,P（1,1）是弦AB的中点,问直线l是否存在？如果存在,求出l的方程;如果不存在,说明理由.解当直线l的斜率不存在时,由双曲线的轴对称性知不满足要求.当直线l的斜率存在时,设A（x1,y1）,B（x2,     

摭谈“点差法”在解析几何中的应用

<正>关于圆锥曲线的中点弦问题,通常采用方程思想,通过联立直线和圆锥曲线的方程,并借助于判别式、韦达定理、中点坐标公式来进行运算,但由于这种解法计算量较大并不受学生欢迎."点差法"是一条可选择的有效路径,何为点差法?设直线l与圆锥曲线C的两个交点分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),把这两点坐标代入圆锥曲线的方程后对所得到的两式进行作差处理,于是可得到一个与弦AB的中点和斜率有关     

例谈“中点弦”所在直线方程的解题策略

<正>问题过点M(0,1)的直线l,使其被直线m:x-3y+10=0和直线n:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M平分,求直线l的方程.这类问题在二次曲线中常见,相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程,称之为"中点弦"问题.以下几种解题策略,对于二次曲线"中点弦"问题同样适用.1待定斜率法     

也谈"点差法"的改进

点差法,又叫代点相减法,是解决圆锥曲线中的点弦问题非常重要,也非常简便的方法之一.利用这个设而不求的方法能快速、准确地得到弦的中点坐标与弦的斜率之间的关系式.同时我们也知道,点差法本身存在一个较大的缺陷.     

点差法及其应用

在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时，常设出弦端点坐标，并代入圆锥曲线方程得两式，将两式相减．这种解题方法，不妨叫设点求差法，简称点差法，其解题的主要步骤有：     

追本溯源：2022年新高考Ⅱ卷第21题解法探究

通过对试题的研究,采用解析几何常规方法,从设直线和点入手,运用设而不求的思想解决问题;也可以从新教材中寻找本题的突破点,根据条件联想中点弦问题,利用点差法,并研究弦中点轨迹方程;还可以利用直线参数方程解决问题.通过思维导图的形式呈现解题思路,在解法中发现规律,拓展结论,从而实现从常规解法到妙解的突破.通过试题的深度研究,找到学生的困难所在,为后续的教学做好铺垫,经历解题的研究过程,引导学生学会如何去探索一个题,如何做到一题多解、举一反三.     

由一道课本练习题谈“点差法”的合理使用

<正>解析几何中涉及"中点弦"相关问题时,因"点差法"计算简便且模式化强,成为最常用的解法,但关于"点差法"的使用条件,很少有文章谈及,本文以一道课本习题为例,分析"点差法"在圆锥曲线中的使用条件,供读者交流学习.题目已知双曲线x2-y²/2=1,过点P(1,1)能否做一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?     

别样的“点差法”

对于非中点弦问题,用“点差法”解题会有出奇制胜的效果,体现整体意识,简单自然,直击问题核心,本文结合实例进行说明.     

由引例探究圆锥曲线的“中点弦”

直线与圆锥曲线相交所得“中点弦”问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。解决此类问题,常规思路主要有两种：一是利用代数法结合根与系数的关系求解;二是利用点差法处理。本文以教材中一道双曲线“中点弦”问题为引例,展开探讨。     

椭圆中的“垂径定理”

圆中的垂径定理是我们较为熟悉的,但其实在椭圆中也存在着与圆中垂径定理类似的结论.一、问题的起源设椭圆方程为x2/a2+y2/b2=1,求椭圆所有斜率为k的弦的中点轨迹方程.解运用点差法,设弦与椭圆分别交于不同的两点(x1,y1),(x2,y2),由于点在直线上,有     

关注圆锥曲线中的三类弦问题

圆锥曲线的弦是考查直线与圆锥曲线的位置关系的重要知识背景,因此抓住圆锥曲线的有关特征弦,是解决这类问题的关键,圆锥曲线中主要以焦点弦、原点弦、中点弦等进行考查,下面采撷六例予以分类解析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

利用导数解决与中点弦有关的问题

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题.解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解,这种解法还是比较繁琐的.导数进入中学数学,丰富了中学数学知识和解法,给许多繁难问题提供了一种通用的解题方法,也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决与中点弦有关的问题,就是导数的一个创新应用.以下举例阐述,供同仁参考.     

圆锥曲线弦的中点问题

圆锥曲线弦的中点问题江福贵张艳芬（吉林舒兰市一中１３２６００）（上海松江县教师进修学校２０１６００）求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题，屡见不鲜，是一类重要问题．对于有心曲线弦的中点问题，我们可以用切线的斜率和中点与中心连线的斜率的积为常数（±ｂ２ａ２...     

交轨法解圆锥曲线弦中点问题

有关圆锥曲线弦的中点问题解法不少。但不论什么条件,中点一定是此弦与此弦平行的弦的中点轨迹(印圆锥曲线直径,见注)的交点,用此观点解题,可使问题得以简单而明确的解答。诚为大家所熟知的,对斜率为m的平行弦中点的轨迹有以下结果:     

圆锥曲线上两点关于直线对称问题巧解

在平面解析几何中,直线与圆锥曲线相交弦的中点问题是平面解析几何中的重点问题、综合性问题,有一定的难度.尤其是圆锥曲线上两点关于某直线对称问题,在求某一变数的取值范围时,常见解法多数繁杂,解题过程冗长.本文给出下面四个定理,挖掘出了弦的中点的有关规律性问题.运用这四     

中点弦的又一种更迅捷的求法

贵刊91年第四期曹中路老师的《“换点”巧求中点弦》一文(下称《曹文》),运用“换点法”妙解二次曲线中点弦问题,的确比利用韦达定理来求解要简洁得多,但笔者在长期教学实践中摸索到的另一种方法——“切线法”,较之“换点法”能更迅捷轻巧地求出中点弦所在直线的斜率和方程,且计算量甚小,为介绍切线法,     

从直径人手解题

<正>圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,直径所在直线是它的对称轴,直径的中点是对称中心.与弦垂直的直径,平分弦及弦所对的弧;直径对的圆周角是直角.可见直径是圆中最活跃的因素,它是沟通弦、角、弧关系的桥梁.解题中,若能从直径入手,可突破难点,化难为易.(1)在题设或结论中涉及弧的中点、弦的中点,解题时往往考虑构造"垂径".(2)在题设、结论中涉及直径或直角,解题时要关注直径对的圆周角.