活用刘徽原理解决“阳马问题”

<正>刘徽在《九章算术》"阳马术"注中明确提出了关于多面体体积的"出入相补"原理:"邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑(nào),阳马居二,鳖臑居一,不易之率也."即把一个长方体分割成三个基本图形:堑堵、阳马、鳖臑,如下     

立几选择题三道

P是△ABC所在平面α外一点,O是P在平面α内的射影。 (1)若PA,PB,PC与平面α成等角; (2)若P到△ABC的三边的距离相等; (8)若PA,PB,PC两两互相垂直; 那么点O是△ABC的 (A)重心; (B)垂心; (C)内心; (D)外心。     

特殊四面体的性质

三条棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的几何体 ,它具有自己的一些独特性质 .本文介绍该特殊几何体中棱长与高的关系 ;侧面面积与底面面积的关系 ;侧面面积、底面面积以及侧面与底面的夹角之间的关系 ;棱与底面所成三个夹角之间的关系 ;给出该特殊几何体的外接球、内切球的半径公式 .四面体P ABC的三条棱PA ,PB ,PC两两互相垂直 .记PA =a ,PB =b ,PC =c.顶点P到平面ABC的距离为h .△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC的面积分别为S1,S2 ,S3和S ,该特殊几何体具有如下性质 .性质 1　h- 2 =a- 2 +b- 2 +c- 2 .图 1　性质 1图证　如图 …     

圆内接正三角形的另两个性质

《中学生数学》1999年第3期“数学开放题”栏目提出这样一个问题: 如图1,P是正△ABC的外接圆⊙O的BC上任一点.连结PA、PB、PC,PA     

平面上六线三角问题

平面上四个点 A、B、C、P,可构成六条线段 :BC、CA、AB、PA、PB、PC;三个角 :PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB所构成的角 .本文将研究上述六线三角的关系问题 .本文约定 :文中所示△ ABC均为逆时针转向 ,所谓 PA到 PB的角是指以 PA为始边绕 P点沿逆时针方向旋转到 PB位置所得到的最小正角 .很显然 ,此角必在区间 [0 ,2π)内 .另外 ,文中“∑”表示循环和 ,“∏”表示循环积 .定理 1　△ ABC三边长为 BC=a,CA =b,AB=c,面积为△ ,P为△ ABC所在平面上一点 ,设 PB到 PC、PC到 PA、PA到 PB的角分别为α、β、γ,记 PA =x,…     

用“三弦定理”解题一例

《中学生数学》2000年5月下期智慧窗“这段弦是多长”是:如图1,PA、PC、PB足⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,请你计算PC的长. 文[1]给出了关于这个问题的六种解法,这些解法精彩纷呈,处处渗透数学思想方法,     

一个几何不等式的证明

设P是△ABC平面上一动点,关于和式PA+PB+PC的下界用三角形常见元素表示的不等式有很多好结论.本文将建立和式PA+PB+PC的一个漂亮、简洁的不等式,并由之推证两个稍弱的不等式.以下恒用a、b、c,ma、mb、mc、ha、hb、hc分别表示△ABC相应的边长,中线和高,以s,△,r分别表示△ABC的半周长,面积和内切圆半径.     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

正三角形和正四面体的优美定值

用解析法可以得到正三角形的一个优美定值如下:定理1若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均是定值.证明设正△ABC的中心为O,由正三角形的性质,以O为原点,以OA为y轴,如图建立平面直角坐标系,则A(0,33a),特别地,若此圆为正三角形的外接圆,则r=33a;若此圆为正三角形的内切圆,则r=63a,因此有:推论1.1若正三角形ABC的边长为a,P是其处接圆上任意一点,则PA2 PB2 PC2=2a2,PA4 PB4 PC4=2a4.推论1.2若正三角形ABC的边长为a,P是其内切圆上任意一点,则PA2 PB2 …     

三角形费马点的再推广

1问题的提出1640年,费尔马提出如下问题:“在平面上给出A、B、C三点,求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小.”这就是数学史上著名的“费尔马问题”.特别地,点A、B、C三点不共线时,使PA+PB+PC最小的点P称为△ABC的费尔马点.文[1]把费马点问题推广到“两定点、一条定直线”的情形,下面笔者再对“费马点”问题做出如下推广:推广一在平面内,已知三条定直线l1、l2、l3,在平面内求一点P,使点P到直线l1、l2、l3的距离之和最小.     

新题征展(29)

A　题组新编1 .三棱锥 P - ABC中 ,PA、PB、PC两两垂直 ,D为底面上任意一点 .( 1 )若 D到三个侧面的距离分别为 4、5、6 ,求 PD;( 2 )若 D到三条侧棱的距离分别为 4、5、6 ,求 PD;( 3)若 PD与 PA、PB所成的角分别为4 5°、6 0°,求 PD与 PC所成的角的大小 .2 .已知关于 x的不等式kx2 - 2 x 6 k <0 .( 1 )若不等式的解集为 {x| 2 相似文献   

旋转变换帮你铺路架桥

旋转变换是平面几何证题中的一种重要方法之一，它通过将部分图形绕某一定点旋转后，将其搬到另一个位置，使得题没条件相对集中（我们称之为“集中元素”），从而让条件与待证（求）结论之间的关系明朗化，因此它在整个解题过程中起到了“铺路架桥”的重要作用．我们在讲完正方形这节内容后，在课外教学活动中，向学生介绍了旋转变换，今略选数例如下：例1在等腰直角△ABC中，∠C=90°，P为形内一点，且PA=3，PB=1，PC=2．求∠BPC的度数．分析题没条件中虽然合有∠A=∠ABC=45°，但与∠BPC不能发生联系．而已知的PA、PB、PC三线…     

线面垂直判定定理的代数证明

线面垂直的判定定理是立体几何中一个十分重要的定理 ,对于大多数同学来说 ,该定理的证明是一个很大的困难 .那么 ,能否从代数的角度来尝试证明呢 ?从下面的证明中 ,我们可以领略代数与几何密切的内在联系 .根据异面直线所成角的定义 ,线面垂直的判定定理实际上等价于以下定理　如果直线AB、直线AC 平面α ,直线PA⊥AB ,PA⊥AC ,那么 ,直线PA⊥平面α .证明　不妨设AD是平面α内过点A且不同于AB ,AC的任何一条直线 ,且B ,C ,D三点共线 .如图 ,下面我们只要证明PA⊥AD .为书写方便 ,记PA =a ,PB =b ,PC =c ,PD =d ,AB=x,AD …     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

“重心”在手中 “五心”皆成功——三角形“五心”的向量统一表示

众所周知,点P是△ABC重心的充要条件是→(PA)+→(PB)+→(PC)=0.下面本文将从三角形重心出发,推出三角形“五心”的向量的两种统一表示方法[1].1 问题提出先请看下列经常出现在高考和竞赛中的向量问题:问题1 设△ABC内一点P满足m→(PA)+n→(PB)+l→(PC)=0(m,n,l为正常数),分别用Sa、Sb、Sc表示△BPC、△CPA、△APB的面积(下同),求Sa∶Sb∶Sc.分析 所给的向量等式与三角形的重心向量等式很相似,是否可以将它转化为三角形的重心呢?     

一道竞赛题的推广

题目如图1,PA,PB为⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过P的直线交⊙O于C,D两点,交弦AB于点Q,求证:PQ~2=PC·PD-QC·QD.这是2009年全国高中数学联赛陕西赛区的一道试题,联想到圆与圆锥曲线的许多结论具有相同之处,笔者试着利用几何画板进行验证,结果是在圆锥曲线中的确有     

一个几何“定值”结论在解题中的应用

“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”,这是一个为大家熟知的结论.它的证明不难且有多种方法.下面用面积法来证: 如图1,点P是边长为a 的正△ABC内任意一点,记P到BC、CA、AB 边的距离分别为h1,h2,h3,则h1 h2 h2=_.(三角形高为h). 证连结PA、PB、PC有 即,     

对一道题2007年联赛题的类比探究

2007年全国高中数学联赛一试第7题是:在平面直角坐标系内,有四个定点A(-3,0)、B(1,-1)、C(0,3)、D(-1,3)及一个动点P,则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为_____.……     

数学史与数学教育(HPM)的一个案例——刘徽的“割圆术”与微积分

刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式.很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意.刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设.通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM的方法来辅助解决极限概念教学的难题.     

圆柱、正棱柱和长方体的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性,归纳如下共同性质:球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比.文[2]讨论了“多面体容球”的一个有趣共性,即球与其外切多面体的表面积之比等于体积之比.文[3]讨论了“一类旋转体容球”的一个有趣共性,即圆柱、圆锥及圆台的组合旋转体与其内切球的表面积之比等于体积之比.文[1]、文[2]及文[3]都是讨论几何体与其内切球的性质,笔者思考,若将内切球改为内切椭球,会有怎样的性质呢?本文将讨论圆柱、正棱柱及长方体容球与容椭球的关系,现叙述如…