求sum from i=1 to n(f(x_i))的值的方法

有些函数值的求和问题,表面上看,与周期性、等差性、等比性无关,但事实上隐含着周期性、等差性、等比性,一旦将其周期性、等差性、等比性揭示,问题便迎刃而解.笔者就从何处揭示这些隐含的特性,从哪里入手找到撬动这些特性的支点,作一些探析,以飨读者.     

不等式〔∑from i=1 to n (a_i~3)〕〔∑from i=1 to n (b_i~3)〕〔∑from i=1 to n (c_i~3)〕≥〔∑ from i=1 to n (a_ib_ic_i)〕~3的恒等式构造

文[1]为证明2001年第42届IMO第2题而通过独特的思路给出了一个恒等式:设实数ai,bi∈R,A3=n∑i=1ai3,B3=n∑i=1bi3,且AB≠0,则有恒等式n∑i=1ai3 2/3n∑i=1bi3 1/3=n∑i=1ai2bi 13A2Bn∑i=12aiA biBaiA-biB2(1)根据恒等式(1),我们自然会考虑更一般形式的3×N维形式的不等式n∑i=1ai3n∑i=1bi3n∑i=1ci3≥n∑i=1aibici3(2)通过对(2)的研究,本文通过构造方法给出了式(2)的一个新的恒等式.定理设实数ai,bi∈R,A=3∑ni=1ai3,B=3∑ni=1bi3,C=3∑ni=1ci3,且ABC≠0,则有恒等式3(n∑i=1ai3)(n∑i=1bi3)n∑i=1ci3=n∑i=1aibici ABC6Ω(3)其…     

不等式（n∑i=1ai^3）（n∑i=1bi^3）（n∑i=1ci^3）≥（n∑i=1aibici）^3的恒等式构造

文[1]为证明2001年第42届IMO第2题而通过独特的思路给出了一个恒等式；设实数ai，bi∈R，A^3=n∑i=1ai^3，B^3=n∑i=1bi^3，且AB≠0，则有恒等式     

随机变量和n∑i=1dniXni收敛性

设（ｄｎｉ，ｉ＝１，．．．ｎ），（Ｘｎｉ，ｉ＝１，．．．，ｎ）分别为双下标常数列和随机变量列，众所周知，有关ｎ∑ｉ＝１ｄｎｉＸｎｉ的收敛性问题，在统计推断中有着广泛的应用，例如在异方差的回归分析中的重要应用（３），当（Ｘｎｉ，Ｆｎｉ，－∞＜ｉ＜∞）为鞅差序列时，文献（４）研究了∑ｉＸｎｉ的渐进正态性，本文获得ｎ∑ｉ＝１ｄｎｉＸｎｉ的Ｐ阶均方收敛及强收敛于零的充分条件，其（Ｘｎｉ，ｉ＝１，．．．，ｎ     

正确求取n∑i=1ai整数部分的一种方法

文[1]、[2]、[3]介绍了求 S=n∑i=1 1/√i和S=n∑i=1√i 整数部分的一些不等式,从而设法求出[S].但是不论该不等式如何精确,总有不能解决的问题,例如文[3]中最强的一个不等式     

也谈函数f(x)=n∑i=1|aix+bi|的最小值

文[1]对函数f(x)=n∑I=1|aix+bi|的最小值进行了研究,得到如下结论: 对于函数f(x)=n∑I=1|aix+bi|(ai∈Q,且ai≠0,bi∈R,I∈N*),总可以写成f(x)=1/m[|x-x1|+|x-x2|+…+|x-xn|](x1≤x2≤…≤xn,m,n∈N*)的形式.     

含∑nk=1f(k/n)的不等式的一种证法

利用定积分的定义及其几何意义可证明一些含∑^n k=1f(k/n)的不等式。     

A Note on the Difference Equation x n +1 = ∑ i =0 k α i x n − i p i

In this note we improve Theorem 2 in Ref. [3] , about the difference equation x n +1 = ~ i =0 k f i x n m i p i , n =0,1,2,..., where k is a positive integer, f i , p i ] (0, X ) for i =0,..., k , and the initial conditions x m k , x m k +1 ,..., x 0 are arbitrary positive numbers.     

求∑_(r=1)~(k 1)r~n的一种简单方法

关于求sum from r=1 to (r~n)的问题,初等数学只能用较繁琐的递推方法来解决。下面通过一串积分便可以得到一个较简单的求法。这里要用贝努利(Bernoulli)多项式序列{P_n(x)}_0~∞,它的定义是     

不等式n∑k=1 1/ak≥n2/n∑k=1ak(ak∈R+)的应用

近年来,在国内外数学竞赛及<数学通报>数学问题中,常出现一些高难度的分式不等式的证明问题.     

INVOLUTIONS FIXING m∪i=1 CPi(1) × HPi(n)

Let (M,T) be a closed manifold with an involution T.The fixed point set of T is F.In this article,bordism classes of the involutions with fixed point set F =m∪i=1 CPi(1) × HP2(n) are determined,where C...     

不动点集为F=U_(i=1)~mRP_i(1)×HP_i(n)的对合

(M,T)是一个在r维光滑闭流形M上的不平凡光滑对合,它的不动点集为F．本文给出了F=U(i=1)~m RPi(1)×HPi(n)时对合的协边类,其中HP(n)表示n维四元数射影空间．     

用待定系数法求sum from k=1 to n(f(k)q~(k-1))

设f(x)=a_0+a_1x+a_2x~2_…+a_mx~m,其中a_0,a_1,…,a_m为常数,a_m(?)0,m≥0。定理1 若q=1,则存在常数项为零的m+1次多项式g(x),使得     

lim(n→∞) sum from i=1 to n g(,n)的讨论

<正> 关于的计算问题,通常采用夹心法及化为定积分来计算。为对此类极限进行探讨,我们以如下特例考虑:     

求nΣk=1(1/√k)近似值的一种方法

《数学通讯》(1998.5),一个不等式问题的初等研究一文的末尾问题是:1999Σk=1 (1/√k)的整数部分是87还是88?本文将解答该问题,同时给出一种求nΣk=1 (1/√k)近似值的方法.     

也谈函数f(x)=sum from i=1 to n=1(︱a_ix+b_i︱)的最小值

文[1]对函数f(x)=∑ni=1aix+bi的最小值进行了研究,得到如下结论:对于函数f(x)=∑ni=1aix+bi(ai∈Q,且ai≠0,bi∈R,i∈N*),总可以写成f(x)=m1[x-x1+x-x2+…+x-xn](x1≤x2≤…≤xn,m,n∈N*)的形式.(1)若n=2k-1(k∈N*),则x=xk时,f(x)取值最小;(2)若n=2k(k∈N*),则x∈[xk,xk+1]时,f(x)取值最小.上述结论只解决了ai∈Q的情形,并要对f(x)进行变形写成m1[x-x1+x-x2+…+x-xn]的形式.为此,笔者进一步研究得到更一般结论,使得问题彻底解决.因f(x)=∑ni=1aix+bi=∑ni=1ai x+biai,所以只要研究f(x)=∑ni=1ai x-xi(ai>0,x1相似文献   

由递推式a_(n+1)=pa_n+f(n)求通项的方法

一、引子 线性递推式an+1=pan+q(p,q为常数)的启示. 常见线性递推公式an+1=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式的基本思路是由待定系数法构造等比数列,令an+1+a=p(an+a),得a=q/p-1(p≠1),从而有an+1+q/p-1=p(an+q/p-1),数列{an+q/p-1}为等比数列,则数列通.项公式易得. 受以上解题启发,我们可以求以下相关数     

利用差分多项式求sum from k=1 to n(f(k))

对于自然数无的多项式f(lc)二。*砂十。。‘,:沪一’月一十。:无+。。,求习f(劝的常用方法是认淤而〔(·十”·(一‘”‘’既一饥一卜1)一劣(劣一1)…(x一叨)〕将之转化为求自然数的方幂和,即求出艺‘ 拓=1习悬’,…,艺无。,并将所得的结果代人下式:尤二飞招二工艺f(劝、。习k爪一卜。”。一,习俨”+.二韶二l儿二l一无二l \十。:习‘十习a0,并算出结果. 尤=1招漓1 因此,可以利用文〔习、〔2〕、【3〕,解决求艺了(劝问题.鑫=1 事实上,直接求和也能奏效.文仁4〕、〔5」已经给出了两种不同的方法.在此,笔者拟用差分多项式,解决这个求和问题. 定…