聚焦高考导数应用的一个热点——不等式恒成立与有解问题

不等式恒成立与有解问题是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,在近几年各地的高考试题中,大量存在着涉及不等式恒成立与有解问题,特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题,这类问题用初等方法难以处理,而利用导数工具来解,思路明确,过程简捷,淡化繁难的技巧,它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法,而且还考查极限、导数等工具的掌握和灵活运用.     

貌合神离的几类不等式成立问题

不等式经常与函数导数结合在一起,作为高考的压轴题出现.而有几类不等式成立问题极易混淆,需引起同学们的注意,现举例如下:一、找准自变量,解决不等式恒成立问题例1已知不式mx2-2x-m+1≤0,设此不等式对于满足2≤x≤3恒成立,求m的取值范围.     

一道高考导数题的思考与探索

函数与导数及其应用在高中数学的学习中占有举足轻重的地位,并且与其他知识点融合性强,近几年的高考中,对函数与导数及其应用的考题屡见不鲜且常考常新,较为全面地考查了数学学科核心素养.含参数的不等式恒成立,求解参数范围,解题的一个基本方法是以函数的视角来考虑与解决问题,本质上是将其转化为函数最值或函数值大小比较的问题.本文以2020年新高考I卷(山东卷)数学第21题为载体,探讨含参不等式恒成立问题中参数范围的常见解题策略.     

突破参数不等式问题的策略

<正>高考中导数大题往往以含参数的不等式恒成立、有解等形式出现,最终走向求解参数取值范围问题.而其问题核心往往是函数、方程、不等式之间的相互转化^[1],而解决以上问题通常有三种策略,即:"带参讨论"、"参变分离"、"数形结合",这三种策略在解决含参问题中又各自有着不同的优势.本文仅从两道高考试题的三种不同解法出发,阐述总结了"三策     

含参不等式恒成立问题的解法探究中学生习作

<正>含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐,由于新课标高考对导数应用的加强,这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起,这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.为此以下几种常用方法,以应对这类题目的各种变化.方法一:二次函数根的分布显神威有的题目,如果我们利用二次函数的图     

继承与创新同在,传统与开放并存——2012年浙江省数学高考理科第17题赏析

2012年浙江高考数学理科试卷最后一道填空题,考查的是高中数学中常规、传统的含参数的不等式恒成立问题.2011年浙江高考数学理科试卷最后一道解答题,也是含参数的函数不等式恒成立问题.2011年底全国各种中学数学杂志针对含参数的函数不等式恒成立问题的解     

2007年高考“恒成立”问题的分类解析

在2007年的高考中，有许多省市都考到了“恒成立”问题．高考中的“恒成立”问题，把不等式与函数、导数等内容有机地结合起来．本文从以下6个方面阐述“恒成立”的有关方法，以提高学生思维能力和解题能力．     

用最值法解决不等式中的“恒成立”与“存在性”问题

在最近几年的高考及高考模拟题中,不等式的“恒成立”与“存在性”问题频频“闪亮登场”,由于这一类问题综合性强,难度大,因此经常作为压轴题,成为学生高考拿高分的拦路虎.不等式的“恒成立”与“存在性”问题,单变量与双变量问题等一直是学生学习中的困惑,尤其是当这些问题全部综合起来,学生更是无从下手.     

"恒成立"问题处理的常用策略

在高中数学里,经常会碰到诸如:曲线恒过定点、方程恒有解、含参不等式恒成立等问题.(我们简称为“恒成立”问题)从教学实践和各种检测可以看出:不少同学对于这一类问题感到很“棘手”,本文结合高考、竞赛试题及各地高考模拟试题对“恒成立”问题的处理策略加以梳理、总结如下:1     

不等式恒成立问题中的求参策略

不等式恒成立问题是高考中经常遇到的一类问题,此类问题的应用也相当广泛.但是面对此类问题,同学们往往束手无策,难以顺利解决.现结合实例谈谈不等式恒成立问题中的求参策略.     

例谈不等式恒成立问题的解题策略

<正>在不等式恒成立的条件下求参数范围是历届高考的热点,此类问题重点考查导数的应用,借助导数研究函数的性质,将函数、方程与不等式有机地统一起来,突出转化与化归、分类讨论等思想方法的应用.而"如何构造目标函数"是这类问题的关键,下面结合一道典型试题,谈谈解决问题常用的几种方法.     

例谈导数在高中数学解题中的应用

导数是反映函数局部性质的工具,在高中数学中是一个特别的存在,它对解不等式、函数以及恒成立问题等均有重要作用,是不可或缺的一个工具.导数的应用广泛,主要运用其几何意义表示斜率,以及研究函数的单调性、极值,最值等问题.不仅如此,导数常与其他知识点结合进行考查,是得高分必须掌握的知识点.本文将详谈导数在高中数学中的应用,以期帮助学生整理规律,总结经验.     

高考中涉及的"恒"与"都"问题

在数学问题中常遇到这样一类特殊的问题:无论问题多么复杂,条件怎样变化,问题本身总是恒定、不变的,我们称之为"恒"成立或"都"成立问题."恒"成立或"都"成立问题常见的有三类:一是在某条件下曲(直)线"恒"、"都"过定点;二是在某条件下代数式"恒"、"都"取定值;三是在某条件下不等式(等式)"恒"、"都"成立.在近年的高考中每年都有涉及,"恒"、"都"成立问题常与函数、不等式、数列、解几等知识联袂出题,多以中、高难度的题型出现.本文归纳出三类"恒"、"都"问题的题型及解题方法并以2005年、2006年全国各地高考题为例进行说明.     

数学问题驱动的三阶深度学习引导模式教学实践——以“函数与导数”微专题复习为例

不等式恒成立问题形式简单,解法多样,能够有效区分学生的思维层次,是高考数学考查的热点.在高三复习“函数与导数”时,以微专题的形式,采用“问题驱动的三阶深度学习引导模式”,对不等式恒成立问题尝试进行深度学习的教学实践,以期实现对此类问题的有效突破.     

不等式有解、方程有解、不等式恒成立的区别与联系

不等式有解、方程有解以及不等式恒成立这些问题综合考查函数与方程、不等式之间的关系,学生往往因为理不顺它们之间的关系,找不到解决问题的突破口而陷入困境,但这些问题在近年的高考中却常考常新且难度增大,以下对这些问题加以总结,希望找到解决这些问题的规律.     

寻常之中透着不寻常--对高中导数恒成立问题的思考

对于不等式恒成立问题,经常会涉及求参数范围,常常需要对变量分离并将其转化为以下两个思路进行求解。
　　思路1：若m≥f（x）在x∈D上恒成立,则m≥f（x）max。
　　思路2：若m≤f（x）在x∈D上恒成立,则m≤f（x）min。
　　可见利用导数求参数范围是不等式恒成立问题的一种重要的应用,［1］但是在解题中经常被解题人忽视,笔者由课堂上一个学生的提问,引起笔者对近几年导数恒成立问题重新思考。     

利用导数证明不等式

导数作为高中新教材新增加的教学内容,其工具性作用日益明显,在高考中的地位也更加突出,尤其是导数与不等式结合的综合问题的考查,已成为近年各地高考的一个热点.以下面举几个例子,说明利用导数证明不等式的一般方法.……     

导数在解决函数问题中的应用

导数是解决函数的单调性、极值、最值、切线等问题的有力工具,作为高中数学的新增内容之一,运用导数研究函数的恒成立、最值、方程、不等式的证明等问题是近几年高考的热点,也将是命题的新增长点.如果给定函数解析式次数高于二次、形式复杂时,常考虑用导数解决函数问题.     

含参数的不等式恒成立问题

含参数的不等式恒成立问题是一种常见的重要题型,在近些年的高考中频频出现．由于这类问题综合性强、难度大、要求高,常和函数、数列、不等式、及导数等诸多知识挂钩,学生往往感觉比较困难,不能灵活应对和驾驭．结合几个例题来说明含参数的不等式恒成立问题的几种常见解法．     

容易混淆的"恒成立"问题与"存在成立"问题

不等式是中学数学的基础知识和重要部分,一直是各类考试、考查的热点与重点.不等式"恒成立"问题与"存在成立"问题,又是不等式中常见的题型.在各地的自主招生、高考、模拟考试中屡见不鲜.此二类问题对学生掌握基本数学思想与方法提出了较高的要求.学生对此二类问题往往感到容易混淆.