一道高考题的空间移植

题目（2007年四川理,11）如图1,l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是l,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上,则△ABC的边长是（ ）     

一道2007年四川高考题探源及探讨

图1题1图题1(2007年四川高考题)如图1,l1,l2,l3是同一平面内的三条平行直线,l1与l2间的距离是1,l2与l3间的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在l1,l2,l3上,则ΔABC的边长是()(A)23.(B)436.(C)3417.(D)2321.本题在网上提供的解答过程是采用解析法,再加以验证.解答如下:解析选(D).     

用赋值法巧解填空题几例

由于填空题不需要解题过程,而关心的是最后结果;因此,如果题设条件有暗示只要满足题设条件,其结果是唯一确定的定值,则可考虑用赋值法求解,这种解法十分简洁且有效. 例1 若(2x √3)4=a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4,则(a0 a2 a4)-(a1 a3)2的值为_______.     

拓宽思维领域 注重知识迁移——对2013年全国新课标卷Ⅱ文科第10题的探究与反思

一、问题提出 题目 (2013全国新课标卷Ⅱ文-10)设抛物线C∶y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF| =3|BF|,则l的方程为() A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√3/3(x-1)或y=-√3/3(x-1) C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1) D.y=√2/2(x-1)或y=-√2/2(x-1) 本题属中等难度题,主要考查直线与抛物线相交的问题.这类题型一直是高三复习的难点,也是近几年高考的热点,许多考生对这类题型怀有恐惧心理,认为计算繁琐,“死磕”这道题得不偿失.笔者开始也认为这道题常规解法的运算量较大,后来拓宽思维领域,并迁移其他知识进行整合探究,发现此题还有独特解法.     

两个高考题的别解思考

问题1(2010全国卷12题)已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为A.2√3/3 B.4√3/3 C.2√3 D.8√3/3问题2(2009全国卷10题)已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在面α,β内,P到β的距离为√3,Q到α的距离为2√3,则P,Q两点的距离的最小值为A.√2 B.2 C.2√3 D.4这两个立体几何问题,都是求最值,学生的得分很低,做对的学生也多是猜对的,那么这两个问题真的就那么难吗?究竟是哪里出了问题?难在什么地方?为什么这么多学生都不会做?     

对一道竞赛最值题的探究与思考

<正>题目△ABC中,已知|AB|=4,若|CA|=3^(1/2)|CB|,则△ABC面积的最大值为______.这是2014年福建省高一数学竞赛中的一道题目,试题内涵丰富,解法多样,给学生提供了一个施展才能的舞台,训练价值很大.1.解法探究思路1用边长表示△ABC的面积.     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

一道三角形最值题的多视角求解

<正>题目在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2b,△ABC的面积为2,则边a的最小值为___.分析1本题是一道限制条件下的三角形最值问题,主要考查余弦定理和三角形面积问题,通常情况下求解本题从正余弦定理与三角形面积公式的解题视角入手,凭借已知条件确定所求量的关系式,然后根据所学知识采取相应的解题方法求出最值即可.     

例谈三种最值求法

<正>根据已知等式利用基本不等式等方法求最值,是一类常见题目.本文通过三个题目归纳这类问题的三种常用解法.题1设x>0,x²+y2+y²/2=1,求x(1+y2/2=1,求x(1+y²)2)¹/2的最大值.题2设x,y为实数,4x1/2的最大值.题2设x,y为实数,4x²+y2+y²+xy=1,求2x+y的最大值.题3设正数x,y满足1/x+2/y=1,求x+y的最小值.一、基本不等式基本不等式三个使用条件"一正、二定、三取等"中"定"是关键,解题时需根据题意构造"定积"或"定和".利用基本不等式解题的模式     

一道三角函数题的多解探究

<正>题目在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边长,且满足btanB=ctanC.(1)判断△ABC的形状,并说明理由;(2)若BD是边AC的中线,且BD=3^(1/2),求△ABC面积的最大值.这道题(1)的结论是b=c,△ABC为等腰三角形,本文主要探究(2)的解法.1通法通解立足基础分析面积公式S=1/2bcsinA是我们处理三角形面积问题的基本公式,用m表示可变量,计算出sinA,最终将面积表达为关于m的函数,研究该函数的最大值即可.     

解一道竞赛题的思维历程

1．问题呈现 题目：若不等式√x＋√y≤k√2x＋y对于任意正实数x,y成立,求k的取值范围。 这是2009年全国高中数学联赛江苏初赛第13题,本文将以该题为对象再现笔者真实的解题思维历程,为大家提供一个可供借鉴的实践性解题案例．     

一道四倍角问题的解法探究

<正>1试题呈现例1如图1,在△ABC中,AD为高线,∠B=4∠C,BD=7,CD=72,则线段AB的长为______.本题是一道几何压轴填空题,图形简单,结构优美,而求线段长却困难重重,题目呈现的关键条件有两个:(1)垂直;(2)4倍角.怎样合理运用这两个条件是解题关键.     

解题反思中培养思维品质

<正>解题反思是对题目条件、解题过程、解题方法、解题结果进行再认识和检验的过程,在学习中如果对解题的条件、解题的方法、问题的本质和规律等方面加以反思,就可提高认知思维水平,优化思维品质.1.反思题目条件,培养思维的严密性例1在锐角△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C所对的边,若C=2B,求c/b的取值范围.     

构造全等 解联赛几何题

<正>2017年全国初中数学联赛四川初二初赛第11题难度不大,图形简洁,但解法众多.下面用多种构造全等的方法求解这道题,供大家参考.题目如图1,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD上的一点,且AD=DC,∠DEC=∠ABC,求证:AB=CE.解法一如图1,在BC上取一点F,使AF=AD.则∠1=∠2,可得∠3=∠4,又∠ABC=∠DEC,AF=AD=CD,故△AFB≌△CDE,     

一道竞赛的简解

题目 已知a为锐角，求证：1/sinα＋3√3/cosα≥8. 此题为2010年第五届联盟杯数学竞赛第9题，所给的参考答案技巧性较强．另文[1]构设背景使抽象的数学问题具体化，但解题过程过于曲折繁琐．本题可以借助函数的思想，化繁为简．     

一道创新高考题的赏析及启示

1 试题回放 题目 (2010年湖北文理10)记实数x1,x2,…,xn中的最大数为maxx1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为 l=max{(a)/(b),(b)/(c),(c)/(a)}·min{(a)/(b),(b)/(c),(c)/(a)}, 则"l=1"是"△ABC为等边三角形"的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件     

一道课本例题的新解引发的一个不等式的发现

<正>1课本例题的新解题目1已知椭圆C:x²/52+y2/52+y²/9=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?该题是人教A版普通高中课程标准试验教科书选修2-1第47页的例7,课本上提供的解法是我们常见的通解通法,但是该法运算量大,往往我们还可以采用设椭圆C上动点坐标(5cosθ,3sinθ),利用点到直线距离公式求解,将问题转化为三角函数的最值问题,同样该法对学生的数学运算能力要求较高,     

求异面直线距离的一种有效方法

本文介绍一种求异面直线距离的有效方法—射影法 ,此法的解题根据是基于下面两个结论 .图 1　结论 1图结论 1　如图 1,若异面直线l1,l2 在平面α内的射影是两条互相平行的直线m1和m2 ,则直线l1,l2 的距离等于直线m1,m2 的距离 .结论 2　如图 2 ,若异面直线l1,l2 在平面α内的射影分别为点A和直线m ,则l1,l2 的距离等于点A到直线m的距离 .图 2　结论 2图从图 1和图 2可以看出 ,以上两个结论的正确性是十分显然的 ,故其证明从略 ,请读者自己完成 ,下面举例说明它们的应用 .例 1　如图 3,在三棱图 3　例 1图锥P ABC中 ,PC⊥底面ABC ,PA⊥…     

一类解三角形问题的探究历程

<正>在一次数学课上,老师布置了这样一道题目:已知△ABC中,cos∠ABC=1/3,AB=2,点D在线段AC上且AD=2DC,BD=4/3 3^(1/2),求线段BC的长.这道题给出的信息比较多,涉及到多个三角形,粗看有点无从下手的感觉,属于解三角形问题中较为复杂的一类问题.这类问题的一     

一道武汉市调研题的多角度切入

武汉市2009届高中毕业生二月调研测试数学试卷（理）中有这样的一道圆锥曲线题： 已知椭圆Г的中心在原点,焦点在x轴上,直线l：x＋√3y-√3=0与Г交于A,B两点.｜AB｜=2,且∠AOB=π/2.