微分方程解题一例

我们来看一个简单的问题 :一个函数的 n阶导数等于其自身 ,求该函数。如果用 y=f( x)表示未知的函数 ,问题转化为解微分方程y( n) =y ( 1 )　　 n=1时 ,方程为 y′=y,一个特解为 y1=ex。n=2时 ,方程为 y″=y,两个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x。n=3时 ,方程为 y =y,特征方程为 λ3=1 ,λ=1 ,-12 ± i 32 ,三个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x2 cos 32 x,y3=e- x2 sin 32 x。n=4时 ,方程为 y( 4) =y,特征方程为λ4 =1 ,λ=± 1 ,± i,四个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x,y3=cosx,y4 =sinx。n=5时 ,方程为 y( 5) =y,特征方程为 λ5=1 ,…     

平面解析几何中常见错误例谈

一、忽视截距为0的情况 例1 求经过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 错解1:设直线方程x/a+y/a=1将χ=2、y=3代人,得2/a+3/a=1,解得a=5故所求的直线方程为χ+y-5=0. 错解2:因为截距相等,所以直线的斜率k=±1所以直线的方程为χ+y-5=0或χ-y+1=0.     

x~0=1是有条件的

文[1]的例6及其"正解"如下:题目函数y=(m-1)xm-1+(m-3)x+1,当m为何值时,它是一次函数.解当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=1;当m-1=0且m-3≠0时,为一次函数.解得m=±1;当m-1=1且(m-1)+(m-3)≠0时,为一次函数.解得m=-2.所以当m=±1或m=-2时,它是一次函数.评论这个"正解"不对!当m=1时,y=(1-1)x1-1+(1-3)x+1,即y=0x0-2x+1,即y=-2x+1(x≠0).它不是一次函数!它的图像不是一条直     

等比数列前n项和S_n的一个性质的两个补充

1.等比数列前n项和Sn的一个性质命题首项为a1,公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.对命题1,可以利用等比数列的性质和整体代换来判定真假.当q=1时,Sn=S2n-Sn=S3n-S2n=na1,且都不为0,命题为真;当q≠1时,Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnSn,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n     

一道几何不等式的巧证

题△ABC为正三角形,△DEF为它的内接三角形,证明△DEF的周长≥1/2△ABC的周长。解1 如图,设AD=x_1,DB=x_2,BE=y_1,EC=y_2,CF=z_1,FA=z_2,DF=t_1,DE=t_2,EF=t_3。     

以锐角三角形的垂心为圆心的圆

设H为锐角△ABC的垂心,以H为圆心的任一圆,分别交与BC,AC,BA平行的中位线依次于P1,Q1,P2,Q2,P3,Q3,则 AP1=BP2=CP3=AQ1=BQ2=CQ3。     

使用递推式时应注意n的范围

问题 已知数列{an}的首项为a1=5,an= a1+a2+…+an-1(n≥2),求它的通项. 错解 由an=a1+a2+…+an-1=(a1+ a2+…+an-2)+an-1=an-1+an-1=2an-1得 an/an-1=2.故数列{an}是首项为a1=5,公比为2 的等比数列,所求的通项为an=5×2n-1. 分析 由已知a2=a1=5,但由an=5× 2n-1得a2=10,故为错解.出错的原因是对n的 范围注意不够,为了避免这种错误,在解题过 程中应注意以下两点:     

平行四边形与平行六面体的两个性质

性质1若平行四边形的两条对角线长为定值且相交于点O,以O为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与平行四边形各顶点连线的距离平方和为定值.证明如图1,不妨设AC=2a,DB=2b,则OA=OC=a,OB=OD=b,PO=r.     

2004年女子数学奥林匹克一道试题的推广

原题设u,v,w为正实数,满足条件uvw vwu wuv≥1.试求u v w的最小值.该题可以作如下推广:设x1,x2,…,xn为正实数,满足条件ni=1xi(∏nj=1xjxi)1n-1≥1,n≥2,试求ni=1xi”的最小值.解∵xi(∏nj=1xjxi)1n-1≤xi nj=1xj-xin-1,∴ni=1xi(∏nj=1xjxi)1n-1≤ni=1xi(nj=1xj-xi)n-1.∵ni=1     

一个不等式猜想的证明

对于正数ai>0,i=1,2,…,n,k为给定的正整数,若∑ni=1ai=1,笔者在文[1]末提出了猜想:∏n-1i=1(1∑kj=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(nk kn-1)n(1)其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为常数,且0相似文献   

何时所围三角形面积最小

在解析几何的学习过程中,我从一道题目的解决过程中发现了一个定理.题目已知直线xa yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),求当a,b为何值时,该直线与两坐标轴所围三角形的面积最小?最小值是多少?解设直线xa yb=1与两坐标轴的交点分别为A(a,0),B(0,b).故所围三角形的面积为S=12ab,又直线xa yb=1过点(1,2),得1a 2b=1,即b=2aa-1.所以S=12ab=a(1 1a-1)=a-1 1a-1 2≥4,当且仅当a-1=1a-1,即a=2时,面积S=4为最小,此时b=4.故当a=2,b=4时,所围三角形的面积最小,最小值为4.问题提出由a=2,b=4知直线x2 y4=1被两坐标轴所夹线段端点的坐标为A(2,0),B(0,4),点(1,2)恰…     

一个不等式的推广

不等式1n∑i=n1aim≥(1n∑i=n1ai)m,其中m∈N ,ai>0,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≥(∑ni=1piai)m.(1)其中m≥1,ai>0,pi>0,(i=1,2,…,n)且∑ni=1pi=1,不等式1n∑i=n1aim≤(1n∑i=n1ai)m,其中00,(i=1,2,…,n)可推广为:∑ni=1piaim≤(∑ni=1piai)m.(2)其中0相似文献   

两个数学问题的简解与推广

《数学通报》1998年第6期数学问题1139题和第10期数学问题1156题的解答经研究发现都能简化.问题1139为:“求下述方程组的所有实数解:x6 y6=1　(1)x8 y8=1　(2)原解答用了换元,过程较繁,现简解如下:解　由题设易知-1≤x≤1,-1≤y≤1,且x,y不同时为零,从而1-x2≥0,1-y2≥0,且(1-x2),(1-y2)不同时为零.(1)-(2)得x6(1-x2) y6(1-y2)=0∴x6=01-y2=0或1-x2=0y6=0从而得到所有实数解为x=0y=-1　x=0y=1　x=-1y=0　x=1y=0由上面解法易得到此题的推广:“方程组x2n y2n=1x2n 2 y2n 2=1(n∈N )的所有实数解为:x=0y=-1　x=0y=1　x=1y=0　x=-1y=0.问题1156…     

需分类求解的一元二次方程

一元二次方程历来是中考命题的热点 ,而一些需分类求解的一元二次方程又极易让同学们失分 .故本文选取几例加以剖析 ,以期引起同学们的重视 .一、对二次项系数需分类求解例 1　若关于ｘ的方程 (1-ｍ2 )ｘ2 +2ｍｘ -1=0的所有根都是比 1小的正实数 ,则实数ｍ的取值范围是 .分析　 (1)若 1-ｍ2 =0 ,即ｍ =± 1时 ,原方程为为一次方程± 2ｘ -1=0 .①当ｍ =1时 ,方程为 2ｘ -1=0 ,得ｘ =12 ,符合题意 .②当ｍ =-1时 ,方程为 -2ｘ -1=0 ,得ｘ =-12 ,不符合题意 .(2 )当 1-ｍ2 ≠ 0 ,即ｍ≠± 1时 ,∵Δ=4ｍ2 + 4(1-ｍ2 ) =4>0 ,其二根为ｘ1 =1ｍ…     

品味算法的"交汇性"(续)

(接20101-12(上)P33) 例12 (2010年苏州市调考题)程序框图如图13所示,已知曲线E的方程为ax2+by2=ab(a,b∈R),若该程序输出的结果为s,则 A.当s=1时,E是椭圆 B.当s=-1时,E是双曲线 C.当s=0时,E是抛物线 D.当s=0时,E是一个点解析 若a=0,b=1,则s=0.此时ax2+by2=ab变为y2=0,即y=0,表示直线,排除C、D两项;若a=-1,b=-1,则s=1.此时ax2+by2=ab变为x2+y2=-1,不表示任何曲线,排除A项.故选B.图14点评本题是程序框图与解析几何的交汇综合题,利用特值验证并结合筛选法容易得出正确结果,这正是命题者的初衷和"得意"之处.     

数式型规律题解析举例

<正>1数列型例1古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫三角数,它有一定的规律性,若把第一个三角数记为a_1,第二个三角数记为a_2…,第n个三角数记为a_n,计算代数式a_(n-1)+a_n的值.解析方法一归纳猜想:已知a_1=1,a_2=3,a_3=6,a_4=10,a_5=15,a_6=21,…∴a_1+a_2=1+3=2²,a_2+a_3=3+6=32,a_2+a_3=3+6=3²,     

一类不等式的新证法

对于形如∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≥Ｐ或∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ≤Ｐ(Ａｉ ＣＢｉ=Ｑ ,Ｃ为常数 ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)的一类不等式 ,利用下文的定理 ,或证明定理的方法 ,可简捷地给予证明 .定理　设Ａｉ,Ｂｉ∈Ｒ ,λＡｉ μＢｉ=Ｑ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ,λ,μ为常数 ) ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,记Ａ =∑ｎｉ=1ＢｉＡｉ,则当 μ >0时 ,Ａ≥ωｎ ;　当 μ <0时 ,Ａ≤ωｎ .证　因为λＡｉ μＢｉ=Ｑ ,∑ｎｉ=1Ｂｉ=ω∑ｎｉ=1Ａｉ,所以ｎＱ =λ∑ｎｉ=1Ａｉ μ∑ｎｉ=1Ｂｉ=λ∑ｎｉ=1Ａｉ μω∑ｎｉ=1Ａｉ=(λ μω)∑ｎｉ=1Ａｉ,所以　Ｑ =λ …     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1　当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1　满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2　当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2　数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得…     

正多边形的一个向量性质及推广

笔者发现正多边形的一个向量性质加以推广后 ,可以将文 [1 ],[2 ],[3]的结论统一起来 ,进一步体现了数学的和谐 .性质 1　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,则∑ni=1OAi=0 .此性质证明略去 ,下面给出它的推广 .性质 2　正n多边形A1A2 …An 的圆心为O ,半径为R ,P是平面上的任一点 ,则∑ni=1PA2i =nPO2 +nR2 .证　∑ni=1PA2i =∑ni=1PA2i =∑ni=1(PO +OAi) 2 =∑ni=1PO2 + 2PO ∑ni=1OAi +∑ni=1OA2i =nPO2 +nR2 .性质 3　已知中心对称的多边形A1A2…A2n的外接圆O的半径为R ,P是圆O上的任一点 ,Mi 与Mi+n为…     

探索规律性试题的多种解法

题目在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O,某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实: (1)当AE/AC=1/2=1/(1 1)时,有AO/AD=2/3=2/(2 1) (如图1); (2)AE/AC=1/3=1/(1 2)时,有AO/AD=2/4=2/(2 2)(如图2); (3)妆AE/AC=1/4=1/(1 3)时,有AO/AD=2/5=2/(2 3)(如图3);