复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

2000年普通高等学校春季招生考试(北京、安徽卷)数学(文史类)

考试时间与参考公式和理科相同一、( 1) ,( 2 ) ,( 3 ) ,( 5 ) ,( 7) ,( 8) ,( 9) ,( 12 ) ,( 13 ) ,( 14 )分别与理科相同题号的试题相同 ,不相同的如下 :( 4 )下列方程的曲线关于 x=y对称的是( A) x2 -x y2 =1　　 ( B) x2 y xy2 =1( C) x-y=1( D) x2 -y2 =1( 6)直线 ( 3 -2 ) x y=3和直线 x ( 2 -3 ) y=2的位置关系是( A)相交不垂直　 ( B)垂直( C)平行 ( D)重合( 10 )函数 y=sinx cosx 2的最小值是( A) 2 -2　　　 ( B) 2 2( C) 0 ( D) 1( 11)设复数 z1 =-1-i在复平面上对应向量OZ1 ,将 OZ1 按顺时针方向旋转 56π后得到向量 O…     

复变数的諾模图

关于三个或三个以上的实变量的諾模图,已經有不少方法制作和使用,本文介紹关于复变量的諾模图,供大家参考。一、制作原理在平面上取定直角坐标系oxy以后,平面上点集合便与复数集合之間有一个一一对应,故平面上的点M有坐标(x,y),那末与它对应的复数就是z=x+iy。 給定函数: w=f(z),w为复数 w=u+iv。記f(z)之实部与虛部分别为φ(x,y),ψ(x,y),則     

求解析函数表示式的一个简捷方法

<正> 将解析函数w=u(x,y)+iv(x,y)表示成z的函数f(z).用观察法,或用共轭复数的性质x=1/2(z+z),y=1/2i(z-z)来转化,也有一些技巧。解析函数f(z)一定能单独用z来示示这性质,而且可将其用z很快地表出。     

向量旋转与诱导公式的联系

我们知道,在平面上选定直角坐标系,复数z=x+iy就可以用点P(x,y)或者向量表示。按照《高等代数》中线性空间观点,复数域K可以看作是实数域只上的线性空间,数1与i是一组基。则复数可写作     

求解复数问题的基本思路

复数是实数的拓广 ,它与几何、三角有着紧密的联系 ,解决复数问题时 ,可根据题目的特点 ,将问题进行适当的等价转化 ,转化为代数、三角或几何问题求解 .1　利用复数的代数形式化归为代数问题例 1　 (1992年全国高考题 )已知z∈C ,解方程zz - 3iz =1+3i.解　设z =x +yi(x ,y∈R) ,代入原方程得(x +yi) (x - yi) - 3i(x - yi) =1+3i,整理得x2 +y2 - 3y - 3xi=1+3i,由复数相等的条件得- 3x =3,x2 +y2 - 3y =1,解得　 x =- 1,y=0 ,或 x =- 1,y =3.故z1=- 1,z2 =- 1+3i.2　利用复数的三角形式化归为相应的三角问题例 2　已知复数z1,z2 满足z1+z2…     

复数问题错解分类辨析

复数是高中代数的重要内容之一 ,并且地位特殊 .它相对独立于其它内容 ,以至于概念多 ,运算繁 ,容易和实数的性质、运算混淆 ,造成解题中的失误 ,下面就学生在解题过程中出现的错误进行分类辨析 ,供大家参考 .一、未掌握复数的特性例 1　下列两命题 :(1 )设x,y ,z,都是复数 ,若x2 +y2 >z2 ,则x2 +y2 -z2 >0 ;(2 )设x、y ,z,都是复数 ,若x2 +y2 -z2 >0 ,则x2 +y2 >z2 .那么下列说法正确的是 (　　 )A .命题 (1 )正解 ,命题 (2 )也正确B .命题 (1 )正确 ,命题 (2 )错误C .命题 (1 )错误 ,命题(2 )也错误D .命题 (1 )错误 ,命题 (2 )正确错解…     

向量恒等式在解题中的妙用

平面向量数量积是高考重点内容之一,大部分学生都能熟练掌握平面向量数量积的两个计算公式：1 a·b=｜a｜·｜b｜cosθ;2若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则a·b=x1x2＋y1·y2.     

商是纯虚数的几何意义及其应用

设非零复数z1,z2对应的向量分别是OZ1^→,OZ2^→则商z1/z2是纯虚数的充要条件是OZ1→⊥OZ2→，这就是两复数商z1/z2是纯虚数的几何意义，用好这一几何意义可简化某些复数题的计算，现举例说明。     

一道复数轨迹题的解法种种

雀尺一O两点对应的复数分别为乙,2z:+3一4l’若尸点阅才对,2的圆上移动,求。点的轨迹. 娜一:设2::+3一4‘=二+y‘,则2::二(二一s)十(y十幻宕 2.!z:l,=(x一s)全+(少+4).而!z:1=2 .?.(x一3)盔+(z+4):=16 故O点的轨迹是(3,一4)为圆心,4为半径的圆. 梦利用复数模的意义,代换求解. 娜二;设2二:十3一4‘二二十y红z:。。十bl’ 、则多。十Zbi+3一4了二x+yi,由复数相等的充要条件落一二禅忱父芍今{絮抓卜nJ 工J任﹃工︸心‘J.一勺‘X︷y一{吞 平方后,相加得(x+3),+(夕+4)2二:4“ 注利用复数的代数形式,转化为x:.夕的参数方程,消参后即得. 解三:设…     

由一道全国高考题引起的思考与探究

(2006全国理2)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且(→AF)=λ(→FB)(λ＞0).过A、B两点允别作抛物线的切线,设其交点为M.证明(→FM)·(→AB)为定值. 一、初步探究 本题的M点坐标为(x1+x2/2,-1),说明M点都在直线y=-1上,而抛物线的准线恰好为直线y=-1,这是巧合还是必然?     

关于一个不等式的初等证明及其推广

文[1]提出了一个对称不等式: 命题1 已知x,y∈R+,且x+y=1,则 2<(1/x-x)(1/y-y)≤9/4. (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广: 命题2 已知x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.(2) 文[2]在文末问道:不等式(2)是否存在初等证明?     

2006年高考数学广东卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.函数f(x)=3x21-x+lg(3x+1)的定义域是A.-31,+∞B.-13,1C.-13,31D.-∞,-312.若复数z满足方程z2+2=0,则z3=A.±22B.-22C.-22iD.±22i3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.y=-x3,x∈RB.y=sinx,x∈RC.y=x,x∈RD.y=21x,(x∈R)4.如图1所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量CD=A.-BC+21BAB.-BC-21BZC.BC-21BAD.BC+21BA5.给出以下四个命题:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直…     

简解一道高考题

大纲卷高考题(2011.重庆.文.15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.(答案:2-log23.)简解设x=2a,y=2b,z=2c,得该题等价于"已知正实数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz,求z的最大值".由"正实数x,y,z满足x+y=xy"及     

多面体重心的两个性质

本文首先应用解析法 ,建立“点到平面的有向距离”概念 ,然后给出多面体重心的两个有趣性质 .定义 1　在空间直角坐标系内 ,设点P的坐标为 (x0 ,y0 ,z0 ) ,平面π的方程为Ax +By +Cz +D=0 .令d =Ax0 +By0 +Cz0 +DA2 +B2 +C2 (1)则d称为点P到平面π的有向距离 .多面体的重心定义如下 :定义 2　在空间直角坐标系内 ,设多面体A1A2…An 的顶点Ai 的坐标 (xi,yi,zi) (i =1,2 ,… ,n) .令　x′ =1n ∑ni=1xi,y′ =1n ∑ni=1yi,z′ =1n ∑ni=1zi (2 )则点G(x′ ,y′z′)称为顶点系的重心 .由定义 1,2 ,我们获得了下述性质 .定理 1　在空间…     

简解一道高考题

<正>大纲卷高考题(2011.重庆.文.15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.(答案:2-log23.)简解设x=2a,y=2b,z=2c,得该题等价于"已知正实数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz,求z的最大值".由"正实数x,y,z满足x+y=x...     

还有更好的方法吗?一道习题解法的探究教学片段及思考

近日,我校高三一次练习试卷上有这样一道题:“已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则｜c ｜的最大值是____在上讲评课时,笔者就让一个此题做错的学生A(之前已让学生自己先订正)讲解题方法.生A解(这里作为解法1):可设a,b为直角坐标系中x,y轴正方向上的单位向量,即a＝(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),则a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y)∵(a-c)·(b-c)=0,∴(1 -x)(-x)+(-y)(1-y)=0,即x2+y2=x+y.∵x2+y2≥(x+y)2/2(此处用了基本不等式的推广)∴(x+y)2/2≤x+y,.∴0≤x+y≤2∴｜c｜=√(x2+y2)=√x+y≤√2,即｜c｜的最大值是√2.学生A的解法让笔者惊喜,说实在的由于批改后,发现此题的正确率很高,也没有多加研究.笔者本来是准备用后面的解法3解决的,学生A的解法着实让笔者眼前一亮.于是问:“解得很好!你能回答怎么想到的呢?”     

新题征展(28)

A　题组新编1 .已知复数 z =2 +ai(a∈ R) ;(1 )求 a的值 ,使 y =|z +1 - 2 i|+|z- 1 +i|的值最小 ,并求出相应 a的最小值 ;(2 )以满足 (1 )的 z值在复平面内所对应的点 A为一个顶点 ,(92 ,94)为中心 ,ymin 为边长作正方形 ,求其余各顶点的坐标 .2 .(1 ) (2 +x - x2 ) 6的展开式中 ,x4的系数为　　　 .(2 ) (3 x +2 ) (2 +x - x2 ) 6的展开式中 ,x4 的系数为　　　 .3 .已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 a.(1 )若它的 8个顶点都在球的球面上 ,则球的半径 R =　　　 .(2 )若它的 6个面都和球相切 ,则球的半径 R =　　　 .(3 )若它的…     

一个不等式的初等证明

本刊文 [1]利用微分法证明如下不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x +y +z =1,则　　 (1x -x) (1y - y) (1z-z)≥ (83) 3 (1)该文刊出后 ,收到福州二十四中学杨学枝 ,武汉市第六中学刘大岱 ,江西广丰中学朱水龙 ,长沙电力学院数学与计算机系梅宏 ,湖北监利新沟中学杨美璋 ,重庆市武隆县中学李来敏、杨小林等人的初等证明 ,限于篇幅 ,下面选登一种初等证法     

湖北省数学学会 湖北大学数学系 数学奥林匹克函授学校一九八七年暑期面授 高中组竞赛试题及解答

一、选择题(每小题6分,本题共30分) 下列各题母题所给的四个答案中,有且只有一个是正确的。请将正确答案的英文字母代号填在题后的括号内,填对得6分、不填或填错得O分。 1.函数f(x)=cos(arctgx)的值域是〔B〕。 (A)(-π/2,π/2);(B)(0,1); (C)(-1,0);(D)(-1,1) 2.设x、y、z满足x+y+z=3/2,x~2+y~2+z~2=1,则z的最大值与最小值的和是〔B〕。 (A)1/2;(B)1,(C)3/2;(D)不同于前三者的答案。