2022年安徽中考数学试卷第14题解法探究

针对2022年安徽中考数学第14题,本文中给出了利用全等三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、面积法、建立平面直角坐标系等解决问题的12种解法.     

成比例线段与相似形复习研究

复习目标 会根据比例线段的有关概念及性质确定线段的比、比例中项，会利用设值法或等比性质解决线段的求值问题，会证明线段成比例问题及简单的作图问题；既会利用相似三角形的判定定理判定两个三角形相似，又会借助相似三角形的性质定理解证有关的几何问题；会用相似三角形（多边形）的知识解决某些实际生活中的问题。     

学好相似三角形性质的四条建议

相似三角形具有下列性质:相似三角形的对应线段(对应边、对应中线、对应高、对应角平分线)的比等于相似比,相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方.怎样才能学好用好相似三角形的性质呢?在这里笔者给同学们提"四条建议",希望会对你的学习有所帮助.一、能从已知图形中找出两个三角形相似,从而再利用性质有些问题的解决需要利用相似三角形的性质,这时要能从图形中找出相似三角形,才     

形如(a~2)/(b~2)=c/d平几题的一种证法

大家都知道,相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由此,对于证明形如a2/b2=c/d的平几题,我们可用凑相似三角形的方法分两步来处理:1°.找两个相似三角形△ABC和△A’B’C’,使a、b是它们的对应边,则有a2/b2=S△ABC/S△A’B’C’;     

2013年中考专题复习(10)——“图形相似”

相似图形是常见的一种几何图形.图形相似是在学习图形的全等及全等三角形的知识的基础上,进一步研究学习的另一种几何图形知识,是全等知识的延伸和发展.其包含图形的相似、相似三角形、位似等知识.纵观近几年来各省市中考数学试题,主要是考查相似三角形的相关知识.题目设计新颖,灵活多样,既注重考查相似三角形用,又有判定和性质的直接应推     

数学诡辩

如图,P是⊙O外一点,pA与⊙O相切于A,PC割圆于B、C,BE、CF分别为△PAB与△PAC的高。容易证得:△PAB∽△PCA,于是有这岂不是说,相似三角形的面积比等于两条高线之比吗?进一步也就是:相似三角形的相似比等于它们的面积比。这不是与“相似三角形的面积比等于相似比的平方”相矛盾吗?     

正确理解两个三角形相似的不同描述

<正>学习相似三角形的过程中,发现学生对两个三角形相似的不同描述总是存在理解的误区,从而导致丢解现象.因此正确理解两个相似三角形的不同描述,是利用相似三角形的性质正确解决数学问题的关键.一般常见的对两个三角形相似的描述主要有如下几种情况.一、描述的两个相似三角形形状是确定的,且各边的对应关系是确定的;这时只有唯一解;学生不易出错.常见描述如下:(1)直接使用相似符号"∽"描述两个三角     

对黄金三角形教学潜能的挖掘——一堂数学思维活动课教学实录

顶角为 3 6°的等腰三角形称黄金三角形 ,它以其优美的图形和奇特的性质出现于初中几何教材 :黄金三角形的底与腰之比等于黄金数ω(ω=5 -12 ) .以黄金三角形的底为腰所作的黄金三角形与原三形的相似比等于ω;以黄金三角形的腰为底所作的黄金三角形与原三角形的相似比等于 1ω( 1ω=5 12 ) .笔者在数列、数学归纳法单元教学中 ,借助于黄金三角形的上述性质 ,引导学生运用观察、归纳、猜想、论证的思维操作方法 ,构建两个著名数列—— Fibonacci数列和 Lucas数列 ,完成了一次对数学知识的探索、发现过程 .设黄金三角形 ABC的腰 AB=1,则底…     

基于学生基础,巧解影子问题

影子问题是九年级数学中一个常见的数学问题,由于贴近生活,因此常常被命题者青睐,以考查学生应用数学知识解决实际问题的能力.解决这类问题的关键是将实际问题抽象为数学模型,基本思路是建构相似三角形的数学模型,通过已学过的相似三角形的知识来解决.但同是用相似三角形的性质解决这类问题,由于思维定势的限制,造成解题角度和所选用的解题知识点有很大区别,从而出现传统解法和创新解法两种模式.当然,"艺高人胆大",学生只有拥有扎实的数学能力,才敢     

等积变形与面积证题(二)

<正>面积证题,往往涉及两块等积图形.因此会证明图形等积,从而实现等积变形是极为关键的一步.下面例举几种常见的图形等积变形.Ⅰ.三角形的底边在直线a上,第三个顶点在与a平行的直线a′上.无论底边在a上如何平移变位和第三个顶点在a′上如何变动,新三角形与原三角形总是等积的.同时,当底边相同时,马上得出阴影部分的两个三角形等积.Ⅱ.等高三角形面积之比等于其底边之比.等底三角形面积之比等于其对应高之比.     

合理选择正余弦定理解题

学完《解三角形》这章内容后,发现正余弦定理是解三角形的两大工具,它是勾股定理解直角三角形的工具的一种推广,并在测量距离、高度、长度等问题中有着广泛的应用.利用正余弦定理可以解一些三角形中的有关边与角的问题,实现边与角的转化.但如何灵活地     

相似三角形的比例定形法及其应用

凡证等积式,一般需变等积式为比例式,再看有无相似三角形(现成的或待作的)可以利用.但找出或作出所需相似三角形,有时较为困难.为此,特总结出如何寻找或作出相似三角形的所谓比例定形法(以下简称定形法),以助解题.     

“三点定形”寻找相似三角形

证明线段成比例或等积式常用的方法是利用相似三角形.其基本思想是:先找出与所证的比例式中的线段有关的两个三角形,然后设法证明这两个三角形相似.因此正确寻找并证明相关的两个三角形相似是解决这类问题的关键.如何由比例式找出相关的三角形,这是同学们感到比较困难的问题.为了帮助同学们解决这一难点,本文介绍一种常用的方法——“三点定形法”.     

构造三角形 解梯形问题——一道世界团体锦标赛试题的解法探究

对第7届世界团体锦标赛少年组团体赛第17题的解法进行了深入研究,通过构造三角形将梯形问题转化为三角形问题.利用三角形的性质得到了多种解法.一是借助15°角构造其中一角为30°角的直角三角形,再运用勾股定理求解;二是借助15°角和45°角,或120°角构造等边三角形,然后利用三角形的性质求解;三是构造相似三角形,运用勾股定理和相似三角形性质求解.通过“一题多解”,有利于培养学生分析问题和解决问题的能力,有利用于提升学生的数学核心素养.     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题相似三角形适用年级初中二年级学期2003-2004学年度第二学期训练目的1.掌握证明比例式或等积式的一般方法.2.利用相似三角形的性质解决一些几何问题的证明     

构建方程求线段之比一例

<正>求线段比,应努力构建a/b,的方程,进而求解得到a/b的值,即几何问题代数化.可以b从以下角度构建关于a,b的方程:1.作平行线构造相似三角形,利用相似三角形对应边成比例;2.构造更多等高的三角形,利用两种不同方式表示面积比.举例如下.     

同高三角形面积之比

<正>性质等高不等底的三角形面积之比等于底边之比.性质应用举例:例1如图1,在平行四边形ABCD中,M是BC边上一点,AM与对角线BD交于点N,若S△ABN=3,S△BMN=2,则S△DMN=,S△AND=.分析由S△ABN=3,S△BMN=2,利用等高不等底的三角形面积之比等于底边之比,可求出AN:MN的值,根据△AND∽△MNB,继     

内接（外切）旋转体的几个结论

文 [1 ]介绍了旋转体与内切球的几个最值问题 .在平时教学中 ,本人也总结出了几个类似结论 .结论 1　在定圆锥 (底面半径为ｒ ,高为ｈ)的内接圆柱中 ,体积最大的圆柱与定圆锥的体积之比等于该圆柱与定圆锥的底面积之比 ,即Ｖ最大圆柱Ｖ锥 =Ｓ最大圆柱底Ｓ锥底 =49.当且仅当圆柱的底面半径等于 23ｒ ,高为 13ｈ时取等号 .证　设圆锥的底面半径为ｒ ,高为ｈ ,圆柱底面半径为ｘ ,体积为Ｖ ,由相似三角形可知 ,圆柱的高为ｒ -ｘｒ ｈ ,故Ｖ =πｘ2 ·ｒ -ｘｒ ｈ=πｈｒｘ2 (ｒ-ｘ)=πｈ2ｒｘ2 ( 2ｒ - 2ｘ)≤πｈ2ｒｘ +ｘ + ( 2ｒ - 2ｘ)33=42…     

从全等三角形到相似三角形

同学们知道,全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况.由于二者之间的这种内在联系,我们在学习相似三角形时,应注意和全等三角形的相关知识的类比.从全等三角形到相似三角形,从特殊到一般,知识上的内在联系是我们解决问题的思路     

一道竞赛题的巧解、变式与推广

由三角形的面积公式容易得到如下推论:同高的两个三角形的面积之比等于其底边之比.用此结论解决有关问题可以精简解题程序,提高解题效率!