一道高考试题带来的启示——谈“数学文化”在解题和命题中的作用

2011年高考湖北卷理科数学第15题是一道典型的具有"数学文化背景"的高考试题,其综合性和灵活性强,能力要求高、区分度高.下面笔者作具体分析,以期从中找出解题的方法和命题的思路. (1)试题:给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:     

扇形内的内接正方形

1　引言《数学通报》2 0 0 2年第 11期问题 14 0 5如下 :问题 14 0 5 [1] 在半径为 1,圆心角为α(0 <α <π2 )的扇形铁皮中剪出一块面积尽量大的正方形有甲、乙两种方案 (如图 1) .按哪种方案剪出的正方形面积最大 ,为什么 ?图 1《数学通报》2 0 0 2年第 12期上刊登了问题设计者提供的解答 .得出结论 :当 0 <α<π6 时 ,按乙种方案剪取所得的正方形面积较大 ;当α=π6 时 ,两种方案剪取所得的面积相等 ;当 π6 <α<π2 时 ,按甲种方案剪取所得的正方形的面积较大 .由于解答中正方形的边长是用三角函数表示的 ,实际操作时无法准确剪出欲求正…     

漫谈正方形

正方形和其它数学问题的关系,历来都是数学爱好者感兴趣的问题。著名的“几何三大难题”,其中一个就是求作一正方形,使它的面积等于一己知圆的面积.这个化圆为方的古典难题,经过二千多年来很多学者的研究、争论,于1982年,林德曼证明π是超越数后,才肯定尺规作图化圆为方是不行的。关于正方形与中学数学中某些问题的关系,是非常有趣的问题。本文就正方形与无理数2~(1/2)、数列、勾股定理,黄金分割,三等分角线、极值等有关的几个例题作一些介绍。上述的几个方面与正方形有些联系是不足为奇的。正方形的代数表达式是a~2,因此,许多涉及到平方数的问题可以联系正方形。例如1+3+5+7+…+(2n-1)=1/2n〔1+2n一1〕=n~2.故可用正方形表其结果(如图2)。正方形又是计量单位,不但a~2能与之联系,就是代数式ab亦能与正方形联系。例如商高定理的古老证法之一就是如此。如图1。正方形还是矩     

两个正2n边形的一种有趣的面积关系

<正>众所周知,正2n边形是一种特殊的、能体现数学对称美的一种图形,它蕴含了非常多有关边和角的有趣性质,而本文主要来探讨其中蕴含的一种有趣的面积关系.引例如图1,正方形ABCD与正方形EFGH如图放置,求证:S_(△AEF)+S_(△CGH)=S_(△BFG)+S_(△DHE).     

加法原理与乘法原理的应用举例

加法原理与乘法原理是解决中学排列、组合问题的关键的两个原理。一般举例甚浅,给人形成一种可有可无的印象,看不到方法的强有力性,作为教科书的补充,今举二例: 例1、在n×n个小方格上,求由若干个小方格刚好拼成正方形的个数。解;设一个小方格的边长为1,完成拼成正方形这件事,有n类办法: 拼成边长为1的正方形,有n~2个; 拼成边长为2的正方形,有(n-1)~2个; 拼成边长为3的正方形,有(n-2)~2个; ……拼成边长为(n-1)的正方形,有2~2个; 拼成边长为n的正方形,有1~2个; 故依加法原理知,刚好能够拼成的正方形共有     

关联正方形问题的向量解法

正方形是一类完美的多边形,具有中心对称性与轴对称性,它有一系列特殊的线段和角度.沈文选教授认为,由于正方形的参与,平面几何的很多著名的问题显得格外美妙有趣,在国内外各类数学竞赛中,蕴含正方形及其美妙结论的试题也举不胜举.……     

“另一个25阶最大平面图”G′_(M25)的四色着色

利用最大平面图着色的"简化降阶法",对一定拓扑结构的"另一个25阶最大平面图"G′_(M25)进行了着色运作.先逐点"降阶",再逐点"着色、升阶、着色",直至获得G′_(M25)的四色着色方案.由于着色过程中,有些点的着色是可以选择的,在这些点作任意选色后,只是找出其中的二个G′_(M25)的四色着色方案,即"四色着色方案壹"和"四色着色方案贰"(其他的四色着色方案未作求解).然后,在"四色着色方案壹"和"四色着色方案贰"的基础上,利用多层次的"二色交换法",相应地分别求出了G′_(M25)的二个相近四色着色方案集,即"相近四色着色方案集壹"和"相近四色着色方案集贰".在"相近四色着色方案集壹"中,含有72个不同的四色着色方案;在"相近四色着色方案集贰"中,含有156个不同的四色着色方案.文中对这二个相近四色着色方案集进行了分析,得到了有意义的结果.     

正方形一特性之探究

正方形是我们生活中常见的图形,在数学中可称为完美的四边形,具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.下面通过例题对正方形所特有的另一性质进行剖析、整理.例1如图1,边长为a的正方形AB-CD中,若∠1+∠2=45°,则有∠3=4,∠5=     

单循环赛赛程安排的一个图论方法

利用图论的边着色理论建立了一个赛程安排的数学模型 .首先建立 n支球队与完全图 Kn的 n个顶点间的一一对应 ,把球队 Ai和 Aj间的比赛关系抽象成 Kn的顶点 i和 j间的边 ( i,j) .然后分别构造出了图K2 m- 1和 K2 m的正常 2 m-1边着色 .从而给出了各球队每两场比赛间得到的休整时间最均等 ,休整的间隔场次数达到上限值 n2 的一个赛程安排方案     

数学问題解答

下面的问题,提供读者解答,但答案不必寄来。本期问题的答案将在下期发表。欢迎读者提出适合中学数学水平的问题。来信请寄至北京德胜门外北京师范大学数学系转数学通报问题解答栏。 1965年第3期問題 581.令φ(n)表示不超过n且与n互质的自然数的个数。証明n≥2时φ(n)是偶数。 582.设p是奇素数,n>p。証明若方程 p~2+m~2=n~2有正整数解,则2n—1必为完全平方。 (以上二题陈克渭提) 583.正方形每边长为a,以各顶点为中心,     

一道赛题的补形解法及推广

第8届华罗庚少年数学邀请赛口试题如图1,P是正方形ABCD外一点,PB=12厘米.△APB的面积是90平方厘米,△CPB的面积是48平方厘米. 请你回答:正方形ABCD的面积是多少平方厘米? 答:正方形AB-CD的面积是289平方厘米.     

史坦因豪斯的“正方形问题”

波兰数学家古伏·史坦因豪斯教授 (1887—1972 )主要从事线性位相空间、巴拿赫空间及正交函数系等方面的研究 .史坦因豪斯教授热心于数学普及与数学传播 ,他为青少年所写的《数学万花镜》等数学普及读物被誉为世界科普名著 .他还为数学杂志编拟了许多有趣的数学问题 ,这些问题收集在《一百个数学问题》、《又一百个数学问题》等书中 .这些书都有中译本 .在《又一百个数学问题》中 ,有一个“正方形问题” ,史坦因豪斯教授称这个问题“还没有得到解决” .这个问题是这样的 :能不能作一个正方形 ,它的边长是整数 ,并能在它所在的平面上找到一点…     

水管的截面为什么是圆的

生活中水管的截面都是圆形的,为什么 水管的截面都是圆形而不是正方形或正六边 形等正n边形呢?我们可以从数学的角度来 回答这个问题. 要证明水管的截面为什么是圆形,只要 证明在水流速度相同的情况下,若水管截面 的周长相等,那么截面是圆形的水管比截面 是正n边形的水管流量大,而流量的大小是 与截面面积成正比的.     

关于图D(Cn),C2n,C3n的星全色数

图G的一个k-全着色满足G的任何路长为2的点,边着色均不相同.我们称它为G的k-星全着色.图G的全部k-星全着色中最小的k称为图G的星全色数,记为Xn(G).讨论一些圈的星全染色问题,得到了图D(Cn)(n=0(mod 3)和n=0(mod 5)),C2n(n=0(mod 20)和n=0(mod 28))以及C3n(n=0(mod 28)和n=0(mod 36))的星全色数.     

折纸活动--三角形的内接矩形

课前准备　请学生准备两个直角三角形纸片、两个锐角三角形纸片 .教学过程1　提出问题缝纫师傅想用一块三角形的布料剪出一块面积最大的正方形方巾 ,现在他手中只有一把剪刀 ,问他应该如何剪 ?这是一个实际问题 ,能否用我们所学的数学知识加以解决 ,或者说 ,这个问题能否转化成一个数学问题呢 ?抽象去“布料”、“剪刀”等实际背景 ,相应的数学问题是 :如何由一个三角形纸片折出面积最大的正方形 ?为此 ,我们先“动手做”.2　活动 1 　在直角三角形的纸片中折出面积最大的正方形2 .1　逼近 :先在直角三角形纸片中折出矩形学生动手探索后 ,给…     

正方形有关类推操作问题

<正>正方形有关的类推操作问题在近年来中考中屡见不鲜.这种问题以某一个图形为背景,按相同的操作方式分别进行正方形的构造或放置,要求我们解答所得到的第n个正方形有关量的值问题.解答时,要注意先依次计算前几个正方形对应量的值,再仔细观察、比较,将隐含在其中的规律找出来.现举例介绍如下:     

剪剪又拼拼,多方成一方

<正>正方形纸片,同学们都非常熟悉,它不仅能折成小船或盒子,而且可以剪拼成许多有趣、奇妙的图案.古今中外,不计其数的数学家和数学爱好者都被它的对称和美所折服,从而称赞它、歌颂它、研究它.确实,正方形蕴藏着很多的奥秘,以至于人类经过数千年探索,仍然不断有新的美妙发现.今天,我们来进行正方形纸片的一个好玩的游戏:通过剪剪拼拼,将多个正方形刚好组合成一个大正方形而无     

拼图 直观 思考——以数学实验“玩转方块纸”为例

数学实验可以将知识背后的发现和探索过程以直观的形式呈现出来.通过以方块纸为载体的实验活动，在拼图中启思，从图形的角度探索与自然数有关的求和问题；在直观中明理，尝试说明面积为2的正方形边长是无理数；在思考中积累经验，发展数学核心素养.     

从网红电视剧谈概率基础知识的运用

<正>不少同学在假期里喜欢追剧,其实只要乐于思考,用数学的眼光看问题,那么电视剧中也能发现问题,找到数学的影子.1问题描述近日,一部烧脑日剧《Liar Game》在网络上热播,剧情里天真善良的女主角神崎直陷入神秘组织的密室游戏中.在第七集中出现这样的场景,神秘组织的成员福永有30张选票,他提出用自己的30张选票与神崎直的所有资产为赌注,进行一次游戏.现桌上有一个不透明的黑色袋子,里面有两张扑克牌,其中一张为正常的扑克牌,正面是大王,反面是黑色花纹,另一张扑克牌由于印刷错误,正反两面都是黑色花纹.福永提出两种游戏方案让神崎直选择.     

正方体及其展开图

我们知道 ,正方体共有六个面、十二条棱、八个顶点 .我们可以沿着其中若干条棱将正方体剪开后展开成平面 ,成为六个不同位置的正方形 ,它们中每一个正方形至少与另一个正方形有一条公共边 (不允许只有一个公共顶点的情形出现 ) ;反过来说 ,展开图上六个边与边相连的相同小正方形 ,我们也可以沿着其中若干条边折叠 ,使其成为正方体如图 ( 1 ) .在正方体中上与下 ,左与右 ,前与后都是相对的面 ,上与左 ,右与后等是相邻的面 .( 1 )我们首先研究平面上六个不同位置的正方形何时才能折叠成正方体 .通过观察图 ( 1 ) ,显然的事实是 :1 排在同一条…