A closed form solution for the response of a long elastic beam to dynamic loading

Summary Closed form solutions have been obtained using Fourier transform method for the deflection, curvature and particle velocity of a long elastic beam when it is subjected to a concentrated transverse force which is varying with time. These solutions have been illustrated with the help of two force histories, i.e. a half-sine pulse and a rectangular pulse. Dimensionless parameters representing deflection, curvature and particle velocity have been plotted as functions of dimensionless distance and dimensionless time. Furthermore, the particular case of constant velocity impact which has been studied by other authors using different techniques has also been considered in the present paper and the results compare within numerical errors involved in the evaluation of integrals.

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Geschlossene Lösungen für die Antwort langer elastischer Balken auf dynamische Lasten

Übersicht Mit Hilfe von Fourier-Transformationen werden geschlossene Lösungen für die Durchbiegung, die Krümmung und die Geschwindigkeit der Punkte auf der Achse langer Balken, die durch eine zeitabhängige vertikale Einzelkraft belastet werden, erhalten. Die Lösungen werden anhand eines halben Sinusstoßes und eines Rechteckstoßes illustriert. Die Durchbiegung, Krümmung und Geschwindigkeit werden in dimensionsloser Form als Funktionen der dimensionslosen Längskoordinate und Zeit dargestellt. Darüber hinaus wird der Sonderfall konstanter Stoßgeschwindigkeit, der von anderen Autoren mit anderen Methoden untersucht wurde, betrachtet: Abgesehen von Abweichungen durch die numerische Lösung auftretender Integrale stimmen die Ergebnisse überein.

     

Investigation of the deformation and the stability of geometrically nonlinear beams

Summary The deformation and the stability of a geometrically nonlinear cantilever beam is investigated by using the concept of the deformation map, see Shilkrut [1,2]. The beam is loaded by two forces, a bending moment at its free end and a uniformly distributed load acting normally along the undeformed axis. The equilibrium differential equations for the above mentioned problem were derived by Reissner [3]. In order to create a deformation map, it is necessary to convert the boundary value problem into an initial value problem. Then the fourth order Runge-Kutta (R. K.) method can be used to solve numerically the system of equilibrium equations for the cantilever beam. The aim of this paper is to present new results for the above mentioned problem.

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Verformung und Stabilität von Balken unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität

Übersicht Verformung und Stabilität eines Kragbalkens unter Berücksichtigung der geometrischen Nichtlinearität werden mit Hilfe des deformation map-Konzeptes (Shilkrut [1, 2]) untersucht. Der Balken wird an seinem freien Ende durch ein Biegemoment und zwei Einzelkräfte sowie durch eine gleichmäßig verteilte senkrechte Last entlang der unverformten Achse belastet. Die Gleichgewichtsbedingungen für dieses Problem wurden von Reissner [3] formuliert. Für die Definition einer deformation map ist die Umformung des Randwertproblems in ein Anfangswertproblem erforderlich. Das Runge-Kutta-(R. K.-) Verfahren vierter Ordnung kann dann zur numerischen Lösung des Systems der Gleichgewichts-bedingungen herangezogen werden. Ziel dieser Veröffentlichung ist es, neue Resultate für das erwähnte Problem vorzustellen.

     

Geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames

Summary Field equations for the geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames comprising such bars are presented. Formulation originates from Continuum Solid Mechanics, allowing for exact expressions of axial deformation and curvature to be accounted for and unrestricted finite displacements to be considered within accepted assumptions regarding slenderness. Equilibrium equations are derived in terms of the curvature and displacements, in the form of second order nonlinear polynomial differential equations, governing the nonlinear behavior of the single bar. These equations combined with joint force and compatibility equations yield a system representing the nonlinear behavior of a complete plane frame.

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Übersicht Es werden Feldgleichungen für das geometrisch nichtlineare Verhalten von vorgekrümmten ebenen schlanken Balken sowie von Rahmen aus derartigen Balken abgeleitet. Mit Hilfe der in der Kontinuumsmechanik fester Körper gebräuchlichen Formulierungen lassen sich exakte Ausdrücke für die achsiale Verformung und Krümmung sowie für unbeschränkte Verschiebungen finden. Dabei müssen gewisse Annahmen in bezug auf die Schlankheit vorausgesetzt werden. Die Gleichgewichtsbedingungen werden durch Krümmung und Verschiebung ausgedrückt, durch eine Polynom-Differentialgleichung zweiter Ordnung wird das nichtlineare Verhalten des einzelnen Balkens beschrieben. Diese Gleichungen bestimmen zusammen mit den Kraft- und Verträglichkeits-Bedingungen das nichtlineare Verhalten des gesamten ebenen Rahmens.

     

Large dynamic plastic deflection of a simply supported beam subjected to rectangular pressure pulse

Summary This paper concerns the dynamic behaviour of rigid, perfectly plastic simply supported beams with finite deflections by considering both bending moments and axial forces. In the case of rectangular pressure pulse loading, approximate rigid-plastic theoretical solutions are obtained for both medium load and high load; to this end a parabolic law between bending moment and axial force as yield condition is approximated by a circumscribing or an inscribing rectangle. The concept of Saturation Impulse is put forward for the dynamic response of rigid, perfectly plastic structures with finite deflections subjected to rectangular pressure pulse. The value of dimensionless saturation impulse for both simply supported and fully clamped beams are given.

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Große dynamische, plastische Auslenkung eines einfach gestützten Balkens unter einem rechteckigen Druckimpuls

Übersicht Dieser Artikel behandelt das dynamische Verhalten von starren, ideal-plastischen, einfach gestützten Balken mit endlichen Auslenkungen. Dabei werden sowohl Biegemomente als auch Längskräfte berücksichtigt. Für den Fall einer Last in Form eines rechteckigen Druckimpulses erhält man sowohl für mittlere als auch für hohe Last theoretische Näherungs-lösungen. Zu diesem Zweck wird eine parabolische Fließbedingung zwischen Biegemoment und Axialkraft über ein äußeres und inneres Rechteck angenähert. Der Begriff des Sättigungsimpulses wird im Zusammenhang mit der dynamischen Antwort von starren, ideal-plastischen Strukturen mit endlichen Auslenkungen auf einen rechteckigen Druckimpuls vorgestellt. Der Wert des dimensionslosen Sättigungsimpulses wird für einfach gestützte und für vollständig eingespannte Balken gegeben.

     

On the propagation of flexural waves in anisotropic bars

Summary Propagation of flexural waves in circularly cylindrical bars of anisotropic material on the basis of the exact three-dimensional theory of elasticity of small deformations is considered, the rigor of the analysis being the same as the one of the Pochhammer-Chree theory. A system of the governing equations of motion for the cylindrical orthotropy (its axis coinciding with the axis of the bar) is derived and expressed in terms of radial, tangential and axial displacement components. For a steady-state sinusoidal flexural wave the system reduces to coupled ordinary second order differential equations with a regular singular point. Solution for a transversely isotropic is obtained by means of Frobenius series method. Upon using two or three terms of the series approximate dispersion relations for isotropic material as well as for the pyrolytic graphite type material and two other types of anisotropic materials are obtained and illustrated by graphs. Higher order modes than those already known are found.

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Übersicht Die Fortpflanzung von Biegewellen in kreiszylindrischen Balken aus anisotropem Material wird auf der Grundlage der exakten dreidimensionalen Elastizitätstheorie kleiner Verformungen betrachtet. Die Strenge der hier gegebenen Untersuchungen entspricht der in der Theorie von Pochhammer-Chree. Das System der Bewegungsgleichungen wird für zylindrische Orthotropie, deren Achse mit der Balkenachse zusammenfällt, abgeleitet und durch die radialen, atngentialen und axialen Verschiebungskomponenten ausgedrückt. Das System reduziert sich im Fall einer stationären sinusförmigen Biegewelle auf gekoppelte, gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit einem singulären Punkt. Lösungen für transversale Isotropie werden mit Hilfe der Reihenmethode von Frobenius abgeleitet. Unter Verwendung von zwei oder drei Gliedern dieser Reihen werden angenäherte Dispersionsbeziehungen sowohl für isotropes Material als auch für Material vom Typ pyrolytischen Graphits und für zwei andere Typen anisotropischer Materialien erhalten und graphisch dargestellt. Es werden Schwingungsformen gefunden, die von höherer Ordnung als die bisher bekannten sind.

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Research supported by a grant of the National Science Foundation.     

Dynamic coefficient of an elastically supported,pre-stressed beam

Summary An analysis is made of the problem of vibrations of a beam with an axial force resting on eltstic foundation, when the beam is uniform and of finite length and is subjected to an impulsive load. The solution is presented within the framework of a beam theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. An example is provided where the dynamic coefficient for the bending moment is calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the axial force in the beam and the stiffness of the foundation have considerable effect upon the dynamical behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines auf elastischer Grundlage liegenden Balkens, der durch eine Axialkraft beansprucht ist, werden für den Fall analysiert, daß der Balken gleichförmig und von endlicher Länge ist, und daß eine Schlagbelastung an dem Balken angreift. Die Lösung wird innerhalb der Balkentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. In einem Beispiel wird der Schwing-beiwert für das Biegemoment ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, da\ die Axialkraft und die Steifigkeit der elastischen Grundlage auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragent of Professor H, Saito of Tohoku University.     

An iterative method of evaluation of elastic-plastic deflections of hyperstatic framed structures

Summary The concept of substitutive concentrated elastic-plastic rotations, replacing actual elasticplastic zones is used, together with an iterative method of determination of the bending moment distribution to simplify the evaluation of elastic-plastic deflections of hyperstatic beams and frames.

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Eine iterative Methode der Auswertung von elastisch-plastischen Verschiebungen für statisch unbestimmte Rahmen

Übersicht Die Idee von fiktiven Ersatzrotationen, welche die tatsächlichen elastisch-plastischen Zonen modelliert, wird mit einer iterativen Methode kombiniert, um eine relativ einfache Bestimmung von Biegemomentenfeldern in statisch unbestimmten Balken und Rahmen zu ermöglichen. Die resultierenden Verschiebungen, ergeben sich mit ausreichender Genauigkeit.

     

Transient response of the parallel flow heat exchanger with finite wall capacitance

Summary This paper shows how the transient response of the parallel heat exchanger with finite wall capacitance may be calculated by an analytical method. Making usual idealizations for the analysis of dynamic behavior of the heat exchanger, the model is based on three local energy balance equations which are solved by using the Laplace transform method for step change of the primary fluid inlet temperature. The solutions are found in the case of constant initial conditions and expressed in explicit analytical form in terms of the number of transfer units, heat capacity ratios, heat transfer resistance and flow capacitance ratios. The presented solutions are valid in cases where fluid velocities are different or equal and finite or infinite.The solutions can be very suitable for the mathematical modeling of systems containing such types of heat exchangers.

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Das Übergangsverhalten des Gleichstrom-Wärmetauschers mit endlicher Wärmekapazität der Wände

Übersicht Vorgestellt wird eine analytische Berechnungsmethode für das Übergangsverhalten beim Gleichstrom-Wärmetauscher mit endlicher Wandkapazität. Mit den üblichen Idealisierungen für die Behandlung des dynamischen Verhaltens von Wärmetauschern geht die Modellierung aus von drei lokalen Energiebilanz-Gleichungen, die mit Hilfe der Laplace-Transformation für einen Sprung in der Einlauftemperatur des primären Fluids gelöst werden. Die Lösungen, die man für konstante Anfangsbedingungen erhält, werden in expliziter analytischer Form und in Abhängigkeit von der Zahl der Übertragungseinheiten, der Verhältnisse der Wärmeinhalte, der Wärmeübergangswiderstände und Durchflußkapazitäten dargestellt. Die angegebenen Lösungen gelten für gleiche und verschiedene sowie endliche oder unendliche Strömungsgeschwindigkeiten.

     

Application of wave method in investigations of single gear transmission

Summary Dynamic investigations for the discrete-continuous model of a single gear transmission are performed using the wave solution of the equations of motion. Transient as well as steady states are considered. Damping is taken into account by means of an equivalent external damping of the viscous type and an equivalent damping of the Voigt type. Angular displacements in arbitrary shaft cross-sections and dynamic reactions on teeth of the gear transmission in resonance conditions are determined. Results for the wave method and the multibody system approach are compared in the case of amplitude-frequency curves.

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Anwendung der Wellengleichungen bei Untersuchungen einstufiger Getriebe

Übersicht Mit Hilfe der Wellengleichungen werden dynamische Untersuchungen für das Modell eines einstufigen Getriebes aus Starrkörpern und verformbaren, kontinuierlichen Teilen durchgeführt. Sowohl Übergangs- als auch stationäre Zustände werden betrachtet. Dämpfung wird mit Hilfe einer äquivalenten äußeren viskosen Dämpfung und einer äquivalenten Dämpfung vom Voigt-Typ berücksichtigt. Bestimmt werden die Winkeländerungen in beliebigen Wellenquerschnitten und die dynamischen Reaktionen der Getriebezähne unter Resonanzbedingungen. Die Ergebnisse dieser Methode werden anhand der Amplituden-Frequenz-Kurven mit denen nach der Mehrkörper-Dynamik verglichen.

     

Zur Dämmung und Dämpfung von Biegewellen an Fügestellen

Übersicht Für die Dynamik zusammengesetzter Strukturen ist das Übertragungsverhalten der Fügestellen an z. B. Schraub-, Niet- und Klemmverbindungen von Bedeutung. Das gemessene nichtlineare Kontaktflächenverhalten wird in äquivalent linearisierten Ersatzmodellen abgebildet und mit den Bauteilersatzmodellen gekoppelt. Als Beispiel wird das Dämmungs- und Dämpfungsverhalten von zwei verbundenen Balken bei einer anregenden Biegewelle behandelt.

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Summary The dynamics of composed structures is influenced by the transfer behaviour of interfaces of bolted, riveted and compression joints etc. The measured nonlinear behaviour of such interfaces is represented by equivalent linearized models and coupled with models of the members. Characteristics of damping and wave transmission for two jointed beams are calculated for a flexural wave excitation.

     

The semi-infinite plate on a Winkler base,free along the edge,and subjected to a vertical force

Summary At first, a brief review of published analyzes for related problems is presented. Then a new solution is derived for the case when plate is subjected to a concentrated force at any point on the plate. As in the reviewed papers, the analysis is based on the linear bending theory of thin plates. The solution procedure utilizes the closed-form Green's function for the infinite plate, in conjunction with the Fourier integral method. The advantage of the present approach is that the characteristic response of the plate near the load is represented by the closed-form Green's function which contains the proper singularity, whereas the other terms represent the correction due to the free edge. To study the mechanical features of the problem under consideration, deflection profiles and bending moment distributions were calculated and are presented as graphs.

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Die durch eine Vertikallast beanspruchte halbunendliche Platte mit freiem Rand auf einer Winkler-Bettung

Übersicht Zunächst wird ein kurzer Überblich über veröffentlichte Analysen verwandter Probleme gegeben. Für den Fall einer konzentrierten Last an einem beliebigen Punkt der Platte wird dann die Lösung hergeleitet. Wie in den erwähnten Arbeiten liegt dieser Analyse die lineare Biegetheorie dünner Platten zugrunde. Für das Lösungsverfahren verwendet man die Greensche Funktion für die unendliche Platte in geschlossener Form, in Verbindung mit der Fourierschen Integral Methode. Der Vorteil dieses Ansatzes ist die Darstellung der charakteristischen Verformung der Platte in der Umgebung der Last durch die Greensche Funktion, die die richtige Singularität besitzt, wohingegen die anderen Terme die Korrektur für den freien Rand darstellen. Zur Veranschaulichung der analytischen Lösung werden Durchsenkungen und Biegemomentverteilungen berechnet und graphisch dargestellt.

     

Zur Schubspannungsverteilung und Schubsteifigkeit bei querkraftbeanspruchten,inhomogenen Querschnitten beliebiger Form,aus orthotropen Werkstoffen

Übersicht Faserverbundwerkstoffe weisen in der Regel eine relativ geringe Schubfestigkeit auf. Für Tragglieder aus solchen Werkstoffen resultiert daraus die Notwendigkeit einer genaueren Bestimmung der Schubspannungsverteilung und der Schubsteifigkeit als dies die Technische Biegelehre zuläßt. In der vorliegenden Arbeit wird eine neue, halbanalytische Berechnungsmethode zur Lösung des Problems der Querkraftbiegung inhomogener Kragbalken, die an ihrem freien Ende belastet sind, vorgestellt. Die Methode stellt eine Kombination einer zweidimensionalen Finite-Elemente-Analyse des in Balkenlängsrichtung konstant vorausgesetzten Balkenquerschnitts beliebiger Form mit der Querschnittsverwölbung als der Unbekannten mit einer die Balkenlängsrichtung als dritte Dimension enthaltenden, analytischen Lösung auf der Basis der Elastizitätstheorie dar. Das Berechnungsverfahren wird auf a) einen homogenen, isotropen Balken mit Rechteckquerschnitt, für den eine analytische Lösung vorliegt, b) einen inhomogenen, orthotropen Balken mit Rechteckquerschnitt, für den eine Finite-Elemente Analyse mit dreidimensionalen Elementen als Vergleichsrechnung durchgeführt wird und c) ein Rotorblatt eines Hubschraubers als Beispiel aus der Praxis angewendet. Im letzten Fall werden die Rechenergebnisse mit Versuchsergebnissen verglichen. In allen drei Fällen ist die Übereinstimmung der Rechenergebnisse mit den jeweiligen Vergleichsergebnissen ausgezeichnet.

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On the shear stress distribution and shear stiffness of arbitrary, inhomogeneous, anisotropic cross sections subjected to shear forces

Summary The shear strength of fiber laminates is relatively small. For members made of such materials this requires more accurate determination of the shear stress distribution and the shear stiffness than would be possible by means of the technical bending theory. In this paper a new semi-analytical method for solution of the shear-flexure problem of inhomogeneous, orthotropic cantilever beams, loaded at their free end, is proposed. The shape of the cross-section of such a beam is arbitrary. However, just as the material properties, the cross-section must remain constant along the beam axis. The method represents a combination of two-dimensional finite-element analysis of the warping of the cross-section and of an analytical result on the basis of the theory of elasticity, considering the longitudinal direction which represents the third dimension of the problem. The method is applied to a) a homogeneous, isotropic beam with a rectangular cross-section for which an analytical solution is available, b) an inhomogeneous, orthotropic beam with a rectangular cross-section for which, alternatively, a three-dimensional finite-element analysis is performed, and c) a rotor blade of a helicopter serving as a practical problem. With regards to c), numerical results are compared to experimental results. In all three cases, agreement of numerical results on the basis of the developed semi-analytical method with respective comparison results is excellent.

     

Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

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Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

Lateral post-buckling analysis of beams

Summary The nonlinear lateral buckling response of perfect stocky beams in the vicinity of the critical bifurcational state is discussed. Attention is focused on the initial post-buckling response. This depends on the nature of the critical branching point which is explored by using a nonlinear (lateral) bending-curvature relationship. It is found that the plane of loading (associated with the major moment of inertia) looses its stability through a stable symmetric bifurcation point. Hence, the above beams are not sensitive to imperfections, exhibiting post-buckling strength. However, the post-buckling equilibrium path is quite shallow, so that the load-carrying capacity of such beams above the critical state is rather limited. The analysis is supplemented by illustrative examples forI-beams for which the effect of various parameters on the initial postbuckling path is also discussed.

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Analyse des lateralen nachkritischen Knickverhaltens von Balken

Übersicht Das nichtlineare Knickverhalten von perfekten gedrungenen Balken in der Nachbarschaft des kritischen Verzweigungspunktes wird untersucht, wobei sich die Aufmerksamkeit insbesondere auf den Beginn der nachkritischen Phase richtet. Diese hängt vom Charakter des kritischen Verzweigungspunktes ab, der seinerseits mit Hilfe einer nichtlinearen (lateralen) Biegemoment-und Krümmungs-Beziehung analysiert wird. Es zeigt sich, daß die Stabilität in der Belastungsebene-verbunden mit dem maximalen Flächenmoment zweiter Ordnung-über einen stabilen symmetrischen Verzweigungspunkt verlorengeht. Daher sind solche Balken unempfindlch gegenüber Imperfektionen, sie zeigen nachkritische Belastbarkeit. Der nachkritische Gleichgewichtspfad ist jedoch sehr flach, so daß die Tragfähigkeit dieser Balken oberhalb des kritischen Zustandes recht begrenzt ist. Die Untersuchung ist durch illustrative Beispiele für I-Balken untermauert, für welche der Einfluß der verschiedenen Parameter auf den anfänglichen nachkritischen Pfad herausgearbeitet wird.

     

On the accuracy of the harmonic balance method concerning vibrations of beams with nonlinear supports

Summary A homogeneous beam supported by a nonlinear cubic rotational spring and excited by a prescribed harmonic translational motion was analysed by the harmonic balance method. Harmonic and sub-harmonic solutions were determined as functions of frequency, excitation amplitude and material damping. The results were verified against numerical time integrations of the governing nonlinear differential equations. The numerical method was based on a component mode synthesis technique, using free normal modes and inertia relief attachment modes. It was found that the predictions by the harmonic balance method were in excellent agreement with the numerical solution in a frequency interval covering the three first cantilevered eigenfrequencies of the beam. The only exceptions were two narrow frequency intervals in which the numerical solution showed quasiperiodic oscillations.

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Uber die Genauigkeit der Methode der harmonischen Balance für Schwingungen von Balken mit nichtlinearen Einspannungen

Übersicht Ein homogener Balken, der mit einer kubischen Drehsteifigkeit eingespannt und von einer harmonischen vorgegebenen Bewegung angeregt ist, wurde mit der Methode der harmonischen Balance untersucht. Harmonische und subharmonische Lösungen wurden als Funktion der Frequenz, der anregenden Amplitude und der Werkstoffdämpfung berechnet. Die Ergebnisse wurden mit numerischen Zeitintegrationen der nichtlinearen Differentialgleichungen verglichen. Die numerische Methode war auf einer Methode der dynamischen Substrukturtechnik aufgebaut, wobei freie Schwingungsformen mit statischer Kondensation verwendet wurden. Es zeigte sich, daß in einem Frequenzband, welches die drei ersten Eigenfrequenzen eines einseitig eingespannten Balkens überdeckte, die Vorhersagen der harmonischen Balance in sehr guter Übereinstimmung mit der numerischen Lösung waren. Die einzigen Ausnahmen waren zwei kleine Frequenzbänder, in denen die numerische Lösung quasiperiodische Schwingungen zeigte.

     

Basic singular solutions for a cracked circular hole in an infinite medium

Summary This article provides basic elastic solutions for an infinite medium containing a cracked circular hole, subject to singular external loads in form of a dilatation center, a concentrated force and a point couple. The complex function method in conjunction with a rational mapping function is used to solve the problem. Analytic expressions for stress functions, stresses and stress intensity factors are obtained. Numerical values of stress intensity factors are presented in graphic and tabular forms.

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Grundlegende singuläre Lösungen eines angerissenen kreisförmigen Loches in einem unbegrenzten Medium

Übersicht In diesem Artikel werden die grundlegenden elastischen Lösungen für einen unendlichen Körper hergeleitet, der ein angerissenes kreisförmiges Loch enthält und mit singulären äußeren Lasten in Form einer punktförmigen Aufweitung, einer Einzelkraft und eines Einzelmoments beaufschlagt wird. Zur Problemlösung werden komplexe Funktionen und rationale Abbildungsfunktionen verwendet. Man erhält analytische Ausdrücke für die Spannungsfunktionen, die Spannungen und die Spannungsintensitätsfaktoren. Numerische Werte für die Spannungsintensistätsfaktoren werden in graphischer und tabellarischer Form angegeben.

     

On conservative elastic systems of the first and second kind

Summary In introducing the definition of a generalized kind of selfadjointness, it can be shown that there are truly nonconservative systems in the classical sense which in the light of a generalized concept are, however, conservative systems of the second kind. Systems like these buckle by divergence, do possess a generalized conservation theorem, and a generalized Rayleigh's quotient. Examples of such systems are given: the pinnedpinned rod, the rod with sliding ends, and the simply supported plate, all of them subjected to compressive follower forces. An example involving a complex differential equation is also treated: Greenhill's problem of the torsion of a pinned-pinned shaft.

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Übersicht Durch Einführen eines verallgemeinerten Begriffs der Selbstadjungiertheit kann gezeigt werden, daß Systeme, die im klassischen Sinne nichtkonservativ sind, bei Zugrundelegen des neuen Begriffs als konservative Systeme zweiter Art aufgefaßt werden können. Für Systeme dieser Art gilt ein verallgemeinerter Erhaltungssatz und es existiert ein verallgemeinerter Rayleigh-Quotient. Einige Beispiele für derartige Systeme werden betrachtet: der beidseitig gelenkig gelagerte Balken, der Balken mit gleitenden Enden und die einfach gelagerte Platte — sofern die Belastung in allen drei Fällen durch mitgehende Druckkräfte geschieht. Es wird außerdem das Greenhillsche Problem des gelenkig gelagerten Stabes mit Torsion untersucht, wobei eine komplexe Differentialgleichung erhalten wird.

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The support of the National Research Council of Canada under Grant A7297 is gratefully acknowledged.     

Vibrations and transient responses of Timoshenko beams resting on elastic foundations

Summary A finite element technique is used to obtain the natural frequencies and transient responses of Timoshenko beams resting on elastic foundations. The beam is discretized into beam elements, each with four degrees of freedom. The equations of motion in terms of the nodal degrees of freedom are derived by applying Hamilton's principle. The numerical results for a hinged-hinged beam are given to show the effects of rotatory inertia, shear deformation and foundation constants on the natural frequencies of the beam. The transient responses of beams are subsequently presented and compared with the available solutions.

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Eigenschwingungen und transientes Verhalten von Timoshenko-Balken mit elastischer Bettung

Übersicht Mit einer Finit-Element-Technik werden die Eigenfrequenzen und das transiente Verhalten von Timoshenko-Balken mit elastischer Bettung ermittelt. Der Balken wird dabei in Elemente mit je vier Freiheitsgraden diskretisiert. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe des Prinzips von Hamilton hergeleitet. Numerische Ergebnisse für einen beidseitig gelenkig gelagerten Balken zeigen den Einfluß von Drehträgheit, Schubverformung und Bettungskonstanten auf die Eigenfrequenzen. Anschließend wird das transiente Verhalten dargestellt und mit bekannten Ergebnissen verglichen.

     

Torsional impact of elastic spheres

Summary In this article, the collison of two geometrically and materially similar elastic spheres, which are rotating around the common normal of their contact area, is analysed. The solution of the static problem, when the spheres are pressed together by a constant normal force and are then subjected to a monotonously increasing torsional couple about the contact normal, has been found by Lubkin. Superposition of Lubkin's solutions for varying contact areas yields the general contact law for finite sequences for normal and torsional displacement increments. The torsional rotation at the end of impact is obtained from numerical integration of the angular equation of motion and the contact law. The Nassi-Shneiderman diagrams of the contact algorithm and the impact algorithm are presented. Some results are plotted and compared with an asymptotic theory for complete adhesion and complete sliding in the contact area.

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Torsionsstoß elastischer Kugeln

Übersicht In diesem Artikel wird der Stoß zweier geometrisch und materiell ähnlicher Kugeln untersucht, welche um die gemeinsame Normale ihres Kontaktgebietes rotieren. Die Lösung des statischen Kontaktproblems, bei welchem die Kugeln durch eine konstante Normalkraft zusammengedrückt und anschließend durch ein monoton steigendes Torsionsmoment um die Kontaktnormale belastet werden, wurde von Lubkin gefunden. Die Überlagerung der Lubkin-Funktionen für unterschiedliche Kontaktgebiete ergibt das allgemeine Kontaktgesetz für eine Folge endlicher Normalverschiebungs-und Torsionsinkremente. Die Drehung am Stoßende erhält man durch numerische Integration der Drallgleichung und des Kontaktgesetzes. Die Nassi-Shneiderman-Diagramme des Kontaktalgorithmus und des Stoßprogramms werden abgebildet. Einige Ergebnisse werden vorgestellt und mit einer asymptotischen Theorie für vollständiges Haften und vollständiges Gleiten verglichen.

     

An expression for transient thermal stress in a nonhomogeneous plate with temperature variation through thickness

Summary An expression for nonzero thermal stress in a nonhomogeneous flat plate with arbitrary variation in mechanical properties is presented under a transient temperature distribution. Especially an equation for nonzero thermal stress and its numerical calculation showing the effect of nonhomogeneous thermal and mechanical properties on temperature and thermal stress distribution, is given for the case of an exponentially varying thermal conductivity and Young's modulus, but for a homogeneous Poisson's ratio and coefficient of linear thermal expansion.

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Formeln für transiente Wärmespannungen in einer nichthomogenen Platte mit einer über die Dicke veränderlichen Temperatur

Übersicht Es werden Ausdrücke für nichtverschwindende Wärmespannungen in einer inhomogenen ebenen Platte bei beliebiger Ortsabhängigkeit der mechanischen Eigenschaften entwickelt, und zwar für eine transiente Temperaturverteilung. Insbesondere wird eine Gleichung für nichtverschwindende Wärmespannungen angegeben und numerisch ausgewertet, die den Einfluß nichthomogener thermischer und mechanischer Eigenschaften auf die Verteilung von Temperatur und Wärmespannung bei exponentieller Ortsabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit und des E-Moduls darstellt, wobei jedoch die Poissonzahl und der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient konstant sind.