用柯西不等式巧解竞赛题

用柯西不等式巧解竞赛题２１５６００江苏张家港市一中任夏明设ａ１，ａ２，…，ａｎ及ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ为任意实数，则当且仅当时等号成立．此即柯西不等式．对某些竞赛题，若能注意因式的巧妙分拆，结构的灵活变形，并应用柯西不等式，常能收到出奇制胜的效果．例１...     

利用柯西不等式巧解竞赛试题

<正>柯西不等式不仅结构整齐,形式优美,而且有重要的应用价值,特别是在高中数学竞赛中应用十分广泛,它的应用可以开阔学生的视野,拓展学生的思维,能激发学生对数学的学习兴趣.柯西不等式设a₁,a₂,…,a_n,b₁,b₂,…,b_n是实数,有(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²≤(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²),当且仅当b_i=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k使得a_i     

由均值不等式与柯西不等式联袂巧解竞赛题

<正>均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化、变形、甚至构造,同时还需要有丰富的想象力.对一些复杂的不等式问题,有时要把均值不等式与柯西不等式联袂方可达到事半功倍的     

活用坐标法巧解无理方程

用坐标法解题 ,就是在坐标平面内 ,依据问题的结构特征 ,转化、构造解析几何模型 ,借助于解析几何的有关公式、性质、图形的特征、位置关系等来探求解法 .一些无理方程应用坐标法求解 ,能较好地避免因常规解法而带来的方程高次化问题 ,使问题解决自然流畅 ,简捷明了 .1　用距离     

巧构直角三角形解一类无理方程

对型如((x-a)~2 b)~(1/2) ((c-x)~2 d)~(1/2)=k的无理方程,可构造直角三角形,运用勾股定理和相似形,使之转化为简单的方程组来解,堪为巧妙! 例1 解方程 (x~2 1)~(1/2) (x~2-24x 160)~(1/2)=13。解原方程可化为: (x~2 1)~(1/2) ((12-x)~2 16)~(1/2)=13。令y=12-x,则有(x~2 1)~(1/2) (y~2 16)~(1/2)=13 如图1,构造直角△ABC,使∠C=90°,AC=12,AB=13,则BC=(13~2-12~2)~(1/2)=5     

利用柯西不等式解等式问题

柯西不等式在不等式证明中的强大功能已众所周知,本文则通过几个例子,说明利用柯西不等式中等号成立的条件可有效解决一些等式问题。     

柯西不等式

证明不等式的能力是一种技能.和任何一种技能一样,这里也有自己的技术方法,这些方法是极广泛的,要掌握所有这些方法是很复杂的,但是,每个数学教师应该力求在他的知识蕴积中扩大现有的数学方法。依我们看来,用不同方法解一个有趣问题,在教学法上被证明是正确的。在关于算术平均     

巧解一类不等式

由二次函数性质易知:若a<石,则a(x一a)(义一乙)<0. 应用这一结论,就可以把解不等式a<八劝<乙转化为解叮(劝一们叮戈x)一的<0.例‘解不等式1<;立立:<2.解:原不等式等价于嗤摧一‘,(;牡:一2,<“僻二一二一竺,丝二二终+一坦2<。 戈jX一口)-。(工一8)(/一梦)<。铃梦3或x<一]解不等式飞:‘/一委,<01、(x一1)相似文献   

用柯西不等式的向量形式解竞赛题

以部分数学竞赛试题为例,介绍了柯西不等式的向量形式在解题中的应用.     

构造不等式 巧解竞赛题

不等式既是初中数学的有机组成部分,也是解决数学问题的秘密武器.本文以竞赛题为例,介绍几种构造不等式的方法,意在增强同学们应用不等式的意识,开拓思维空间,提高解题能力,迎接新知识、新科技的挑战.     

平均值不等式和柯西不等式

平均值不等式和柯西不等式是两个极为重要的基本不等式,由于它们变化多,实用性强,可以充分展示受试者的机敏和能力,因此深受竞赛命题者的青睐,有关的问题在数学竞赛中频频出现,经久不衰。一、平均值不等式这里先介绍平均值不等式。设a_1、a_2、…、a_n为n个正数,记 A=a_1 a_2 … a_n/n,G=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 则 A≥C(1) 其中当且仅当a_1=a_2=…=a_n时等号成立。这个不等式通常称之为算术平均-几何平均值不等式,简称平均值不等式。平均值不等式证明方法很多,以下给出两种富有启发又很简捷的证明。     

巧解一高次不等式

解 设左边为f（x）,由f（-x）=f（x）知f（x）是偶函数,展开所得多项式只含偶次项和常数项．     

函数不等式高考压轴题巧解

在近几年的高考试题中,出现了含有参数的函数不等式在某一区间上恒成立求参数取值范围的压轴题,大多学生在处理时感觉困难,无从入手,那么有没有一种既简单又易操作的通性通法呢?本文通过一些实例介绍解决这类问题的一种方法.导数是高中新课标教材中的重要内容,它是研究函数的有力工具,应用导数来解决函数的单调性与最(极)值问题也是近年来高考的热点.利用导数解决有关函数问题,是一种有效的手段.这类问题都有一个共同的特征,即求解方程f’(x)=0.若能直接找到根,则结合具体问题对原函数进行分析,从而达到解题的目的;若方程含有参数无法直接解出(如:ex-2ax-1=0),而解方程f’(x)=0的过程又是解答导数问题的必经之路,我们又该怎么办呢?所以解f’(x)=0的技巧也是解答函数不等式问题的一把万能钥匙.在方程无法解出时,我们可以对函数的导数再求导,即用二阶导数研究一阶导数,进而解决问题.     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)当且仅当且bi=λai(i=1,2,…,n)时,(1)式取等号.这就是著名的柯西不等式,它还有如下等价形式:设ai,bi>0(i=1,2,…,n),则a12b1 ab222 … ban2n>(ab11 ab22 …… abnn)2(2)当且仅当且ab11     

巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai&;#183;bi∈R（i=1,2,…,n）则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2.     

柯西不等式及其应用

新课标教材选修4-5《不等式选讲》第三讲中介绍了柯西不等式,它不仅形式优美,而且具有重要的应用价值,学生通过对它的学习不仅能领略到它的几何背景、证明方法及其应用,而且能进一步感受到数学文化的美妙,提高自身的数学     

柯西不等式及其应用

柯西不等式是证明某些不等式的重要工具,也是在求某些函数的最值时经常使用的理论根据,特别是在数学竞赛中有着广泛的应用．本文先介绍柯西不等式和它的常见变形形式,再通过实例介绍应用柯西不等式解题的方法和技巧．‘     

柯西不等式的应用

柯西不等式是新课标教材选修模块中的新增内容,以柯西不等式为背景的试题已悄然地在高考试卷中出现．在解题中若能灵活地应用柯西不等式求解,则会使思路简捷明快,新颖别致,下面试举几例,以示说明．     

柯西不等式的应用

笔者发现柯西不等式在中学数学的圆锥曲线中也有它的用武之地 ,下面先给出由它得出的两个定理及推论 ,然后再作一应用 .定理 1　设 x2a2 + y2b2 =1,则a2 +b2 ≥ (x +y) 2当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .证　由柯西不等式 ,得　a2 +b2 =(a2 +b2 ) xa2 + yb2≥ (x + y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 时上式等号成立 .推论　若x2 + y2 =r2 ,则 2r2 ≥ (x + y) 2 ,当且仅当x =y =22 r时取等号 .定理 2　设 x2a2 - y2b2 =1,则a2 -b2 ≤ (x - y) 2 ,当且仅当 xa2 =yb2 上式等号成立 .证　由于柯西不等式可推广为(a21-a22 ) (b21-b22 )≤ (a1b1-a2 b2 …     

柯西不等式的妙用

数学的知识板块存在着千丝万缕的联系,不等式作为高考数学的知识板块之一,是数学高考命题者的一个知识依托点,理应顺应高考数学的整体立意.利用柯西不等式解决问题,依赖于完整的数学知识网络做支撑,让学生能在较大的知识背景中利用不等式来综合分析和解决问题.