奇异边界法模拟二维弹性力学问题

奇异边界法是一种新的边界型无网格数值离散方法。该方法使用基本解作为插值基函数,在继承传统边界型方法优点的同时,不需要费时费力的网格划分和奇异积分,数学简单,编程容易,是一个真正的无网格方法。为避免配置点与插值源点重合时带来的基本解源点奇异性,该方法提出了源点强度因子的概念,从而将边界型强格式方法的核心归结为求解源点强度因子。本文首次将该方法应用于求解平面弹性力学问题。数值算例表明,本文算法稳定,效率高,并可达到很高的计算精度。     

奇异边界法:一个新的、简单、无网格、边界配点数值方法

物理力学控制方程的基本解有源点奇异性.因而,传统的观点认为奇异基本解一般不能用做控制方程数值解的基函数;除非源点布置在物理域以外的虚假边界上,与物理边界上的配点分离.后者就是近年来受到广泛关注的基本解方法的基本思路.与这些传统方法不同,文中直接使用基本解做为插值基函数,且源点和配点是同一组物理边界上的离散点.本项工作的一个基本假设是源点奇异时的源点强度因子的存在性.利用待求问题控制方程的已知简单解,提出了一个计算源点强度因子的数值方法,并发现源点强度因子确实存在,且是一个有限值,其大小依赖于边界离散点的分布和边界条件类型.由此,文中提出了一个计算微分方程问题的新数值方法,称为奇异边界方法.该方法数学简单,编程容易,是一个真正的无网格方法.初步数值试验显示该方法精度高,收敛速度快.但有关该方法的数学物理基础还不是十分清楚.     

基于时间依赖基本解的奇异边界法模拟二维狄利克雷边界标量波方程

奇异边界法是一个半解析边界配点强格式方法,具有无数值积分和无网格、编程容易以及数学简单等优点。本文首次将时间依赖基本解运用于奇异边界法,计算模拟二维标量波方程;结合确定源点强度因子的反插值技术,提出了二维狄利克雷边界标量波方程源点强度因子的一个经验公式;引进了解决波方程基本解G奇异性的一种无奇异积分处理方法。数值实验证明,基于时间依赖基本解的奇异边界法可精确高效地模拟二维狄利克雷边界标量波方程,在计算效率、精度、稳定性和适应性等方面有明显优势。     

双调和方程奇异边界法的改进及在Kirchhoff板弯曲中的应用

奇异边界法(SBM)是一种基于边界离散的无网格数值方法,在很多科学计算和工程领域中得到广泛的应用．该方法在处理复杂几何区域或者多连通区域时比基本解方法(MFS)数值计算更为稳定,具有易于实施、精度高等优点．SBM数值计算的关键之处在于源强度因子的计算,特别是相对于Laplace方程更为复杂的双调和方程的边界条件下源强度因子的计算．在高阶导数边界条件下,采用反插或者“加减项”原理计算源强度因子相对繁琐．本文对双调和方程的SBM进行了改进,将其中一个插值基函数改进为非奇异基函数形式,避免计算该基函数的源强度因子,极大简化了SBM的数值计算．本文改进对MFS同样有效,可以作为对传统MFS数值算法的补充．数值算例结果表明,本文提出的改进均能得到误差很小的数值解,且算法稳定,计算效率较高．     

梯度材料中矩形裂纹的对偶边界元方法分析

采用对偶边界元方法分析了梯度材料中的矩形裂纹. 该方法基于层状材料基本解,以非裂纹边界的位移和面力以及裂纹面的间断位移作为未知量. 位移边界积分方程的源点配置在非裂纹边界上,面力边界积分方程的源点配置在裂纹面上. 发展了边界积分方程中不同类型奇异积分的数值方法. 借助层状材料基本解,采用分层方法逼近梯度材料夹层沿厚度方向力学参数的变化. 与均匀介质中矩形裂纹的数值解对比,建议方法可以获得高精度的计算结果. 最后,分析了梯度材料中均匀张应力作用下矩形裂纹的应力强度因子,讨论了梯度材料非均匀参数、夹层厚度和裂纹与夹层之间相对位置对应力强度因子的影响.      

奇异边界法求解多连通域的瞬态热传导问题

提出一种基于奇异边界法结合双重互易法的数值模型来求解瞬态热传导问题。奇异边界法属于配点型边界无网格方法,相对于网格方法,其具有无需划分网格,只需边界配点的优势。运用差分格式来处理热传导方程中的时间变量,将原热传导方程化为非齐次修正Helmholtz方程。修正Helmholtz方程的解由齐次解和特解两部分组成,齐次解通过奇异边界法求出,特解由双重互易法求出,源项由径向基函数近似。通过数值算例检验了本文数值模型的精度及有效性;算例结果表明,该数值模型计算精度较高,误差基本都在1%以内,具有很好的稳定性,能有效地应用于求解多连通域的瞬态热传导问题。     

特征距离和扩充无网格法分析多裂纹相互作用

提出特征距离这一概念对内部基扩充无网格法进行修正,并数值模拟了多裂纹之间的相互作用。特征距离法用于选择内部基扩充无网格Galerkin法的奇异基函数,该方法仅对传统的内部基扩充无网格Galerkin法作了很小的改进,即可方便地应用于求解多裂纹问题;给出了相互作用能量积分计算混合型模式下的应力强度因子,数值模拟了三条内部裂纹和六条边裂纹问题,并与杂交位移不连续边界元法的计算结果进行比较。数值结果表明:修正的内部基扩充无网格法可以方便、有效地求解多裂纹问题,在不增加附加节点和自由度的情况下与杂交位移不连续方法的计算精度非常接近。     

基于球面细分法的高效高精度近奇异积分计算

精确高效地计算近奇异积分,对边界元法的成功实施至关重要,也是边界元法在实际工程计算中面临的主要障碍之一。论文提出了一种基于球面细分技术的近奇异积分计算方法,可以精确计算任意基本解类型、任意单元形状和任意源点位置的近奇异积分。该方法首先通过计算源点到单元的最近最远距离,来确定球面细分的初始半径和终止半径;然后通过一系列半径呈指数级增长的球面来分割积分单元,得到一系列三角形和四边形子单元;最后把细分后得到的子单元变成弧形状,即三角形和四边形子单元分别变成扇形和环形子单元。由于球面细分是直接在三维笛卡尔坐标系下进行的,所以它适用于任何类型的单元。此外,由于基本解主要是源点到场点距离的函数,因此在同等精度下,近奇异积分在子单元的环向上所需要的高斯积分点数将大大减少。在径向方向上,由于球半径系列呈指数级变化,各个子块可以做到等精度高斯积分。数值算例表明,与传统近奇异积分计算方法相比,论文提出的方法更加稳定,精度更高。     

薄体位势问题边界元法中的解析积分算法

薄体结构的数值分析是边界元法的难点问题之一。该文导出了一种完全解析积分算法，用这种算法计算了薄体平面位势问题边界元法中出现的几乎弱奇异、强奇异和超奇异积分。当边界离散为一系列线性单元，边界积分方程离散计算的积分可归纳为三种形式。对薄体问题，源点与积分单元距离通常相距很近，这些积分产生显著几乎奇异性，直接采用常规高斯积分不能有效计算。为此该文导出了这些几乎奇异积分的全解析计算公式。按源点与单元的距离是否为零，公式分两种情况。新算法采用全解析积分公式处理几乎奇异积分，首先精确计算出薄体问题边界未知位势和法向位势梯度，然后再进一步计算了域内点的物理参量。算例表明该文算法可处理狭长比为1．E-08的薄体问题，显示了边界元法分析薄体问题具有独特的优势。     

一种模拟大规模高频声场的双层奇异边界法

大规模高频声场的数值模拟是一项非常有计算挑战性的课题. 为了解决传统边界型离散方法由于全局支撑的满阵限制, 不易应用于大规模高频声场模拟的计算瓶颈, 本文提出了一种用于模拟大规模高频声场的双层奇异边界法. 在该方法中, 通过引入双层结构, 细网格上的全局支撑的满阵被转化为局部支撑的大规模稀疏矩阵, 传统奇异边界法模拟大规模问题时所面临的高计算量以及过度存储需求遂得以解决. 其次, 双层奇异边界法仅通过粗网格评估远场作用, 且独立于特定的插值核函数. 相较于快速多级方法, 该方法具有更强的适应性和灵活性, 且多层结构使该方法具有一定的预调节作用, 非常适合求解具有大规模、高秩、高条件数特点的高频波矩阵. 在其后的散射球模型算例中, 双层奇异边界法配置10万个节点, 成功模拟了无量纲波数高达160的声散射问题. 在对于人头模型的声散射特性分析中, 双层奇异边界法比COMSOL软件计算速度快了约78.13\mathrm{\%}. 当配置8万个节点时, 双层奇异边界法成功模拟了频率高达25 kHz 的工况, 该频率已远远超出了人耳的听力极限.      

Singular boundary method for 2D dynamic poroelastic problems

This paper extends a strong-form meshless boundary collocation method, named the singular boundary method (SBM), for the solution of dynamic poroelastic problems in the frequency domain, which is governed by Biot equations in the form of mixed displacement–pressure formulation. The solutions to problems are represented by using the fundamental solutions of the governing equations in the SBM formulations. To isolate the singularities of the fundamental solutions, the SBM uses the concept of the origin intensity factors to allow the source points to be placed on the physical boundary coinciding with collocation points, which avoids the auxiliary boundary issue of the method of fundamental solutions (MFS). Combining with the origin intensity factors of Laplace and plane strain elastostatic problems, this study derives the SBM formulations for poroelastic problems. Five examples for 2D poroelastic problems are examined to demonstrate the efficiency and accuracy of the present method. In particular, we test the SBM to the multiply connected domain problem, the multilayer problem and the poroelastic problem with corner stress singularities, which are all under varied ranges of frequencies.     

Singular boundary method for solving plane strain elastostatic problems

This study documents the first attempt to apply the singular boundary method (SBM), a novel boundary only collocation method, to two-dimensional (2D) elasticity problems. Unlike the method of fundamental solutions (MFS), the source points coincide with the collocation points on the physical boundary by using an inverse interpolation technique to regularize the singularity of the fundamental solution of the equation governing the problems of interest. Three benchmark elasticity problems are tested to demonstrate the feasibility and accuracy of the proposed method through detailed comparisons with the MFS, boundary element method (BEM), and finite element method (FEM).     

加权残数配点法解正交各向异性板的积分方程

本文推导了一般各向异性板弯曲的积分方程,运用加权残数配点法求解了正交各向异性板弯曲的积发方程,本文将部分配点取在边界上,另一部分配点取在域外,只用关于找度的基本积分方程,而不用关于转角的补充积分方程,简化了方程求解和计算程序,由于正交各向异性板没有争析形式的、实用的基本解,本文提出了两种新的近似基本解;加权双三角级数;广义各向同性板解析形式的基本解和加权双三角级数的叠加,算例表明,本文提出的解法和近似基本解适用于各类边界条件的正交各向异性板,具有简单、可靠、精度高等优点。     

带源参数的二维热传导反问题的无网格方法

利用无网格有限点法求解带源参数的二维热传导反问题,推导了相应的离散方程. 与 其它基于网格的方法相比,有限点法采用移动最小二乘法构造形函数,只需要节点信息,不 需要划分网格,用配点法离散控制方程,可以直接施加边界条件,不需要在区域内部求积分. 用有限点法求解二维热传导反问题具有数值实现简单、计算量小、可以任意布置节点等优点. 最后通过算例验证了该方法的有效性.     

压电材料平面问题的虚边界元-等额配点解法

利用压电材料平面问题的基本解和弹性力学虚边界元方法的基本思想,提出了压电材料平面问题的虚边界元-等额配点解法。该解法继承了传统边界元方法的优点,而避免了传统边界元方法遇到的边界积分奇异性问题。最后给出了压电材料平面问题的一些具体算例,并与解析解作了比较。结果表明本文的方法有很高的精度,是该问题一个十分有效的数值求解方法。     

The fundamental solution of Mindlin plates resting on an elastic foundation in the Laplace domain and its applications

The aim of this study is to investigate the method of fundamental solution (MFS) applied to a shear deformable plate (Reissner/Mindlin’s theories) resting on the elastic foundation under either a static or a dynamic load. The complete expressions for internal point kernels, i.e. fundamental solutions by the boundary element method, for the Mindlin plate theory are derived in the Laplace transform domain for the first time. On employing the MFS the boundary conditions are satisfied at collocation points by applying point forces at source points outside the domain. All variables in the time domain can be obtained by Durbin’s Laplace transform inversion method. Numerical examples are presented to demonstrate the accuracy of the MFS and comparisons are made with other numerical solutions. In addition, the sensitivity and convergence of the method are discussed for a static problem. The proposed MFS is shown to be simple to implement and gives satisfactory results for shear deformable plates under static and dynamic loads.