两个简单不等式的应用

我们知道对于a,b,c∈R有a2 b2≥2ab, b2 c2≥2bc,c2 a2≥2ca以上三式相加得:结论1 a2 b2 c2≥ab bc ca．等号当且仅当a=b=c时成立．上述不等式虽简单,但在竞赛中却占有很重要的地位．很多赛题若能巧妙的引用此结论往往给问题带来巧解、别解．     

巧解一例

例题△ABC中,a2-a-2b-2c=0,a 2b-2c 3=0,求最大角．分析本题常规解法是先求得b=1/4(a- 3)(a 1),c=1/4(a2 3),从而a>3,作差比较得c最大．再在cosC=a2 b2 c2/2ab中把上述b、c 代入约分而获解,较繁．下面解法充分利用题     

对一个四元不等式的证明及推广

文[1]证明了这样一个不等式,若n,b,c为正实数,则．√a/b＋c＋√b/a＋c＋√c/a＋b〉2.     

两个问题的统一探究

1．问题的提出问题 1《数学通报》2009年12月号问题1830： 设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c==2．证明：1-a/a·＋1-b/·＋1-b/b·1-c/c＋1-c/c·1-a/a≥3/4 ①     

也解一道竞赛题

2008年全国高中数学联赛吉林省预赛最后一题：正数a．b,c满足2a＋4b＋7c≤2abc,求a＋b＋c的最小值． 正如文[1]所言,此题的难度非常大．笔者也有同感．所谓“难度非常大”可以理解为这个不等式证明的“技巧性相当的大、灵感要求也相当的高”．这就是不等式的特点,特别是数学竞赛的不等式试题．     

两个题目的内在联系

题1 若实数a，b，c满足2a＋2b=2a＋b,2a＋2b＋2c=2a＋b＋c，则c的最大值是——．     

高考命题设计思路探析——深入研究陈题 寻找新的命题点

1 深入研究陈题 我们先看一道陈题： 问题1 已知实数a，b，c，d满足：a〈b，c〈d，（a—c）（c-d）=1，（b—c）（b—d）=1．贝4a，b，c，d的大小关系是——（用“〈”连接）．     

关于一类Evans三角形

本文约定某个高与底边之比为整数的整数边三角形为Evans三角形，并称三边互素的Evans三角形为本原Evans三角形．△ABC的三边长为a，b，c，hc表示c边的高，rc表示c边上的高与c边长之比．     

一个问题的类比及一道试题的简解

文[1]以下面的问题1为基础，具体说明了如何通过深入研究陈题，寻找新的命题点． 问题1 已知实数a，b，c，d满足a〈b，c〈d，（a-c）（a-d）=1，（b—c）（b-d）=1．则a，b，c，d的大小关系是___（用“〈”连接）．     

关于D.H.Lehmer问题与超级Kloosterman和

设整数q>2,c与q互素．对于1到q之间与q互素的任意整数a,在1到q之间存在唯一的整数b满足ab≡c mod q．对任意整数k≥2,定义M(q,k,c)为满足1≤ai≤q, (ai,q)=1,i=1,2,…,k,a1a2…ak≡c mod q且2 a1 a2 … ak的正整数组(a1,a2,…,ak)的数目,并设E(q,k,c)=M(q,k,c)-(φk-1(q))/2．本文的主要目的是利用Gauss和与原特征的性质,以及Dirichlet L-函数的均值定理,来研究E(q,k,c)与超级Kloosterman和K(h,k,q)的混合均值,并给出一个均值公式．     

用Jensen不等式证明两道数学竞赛题

来看两道竞赛题．第一道：设a,b,c〉0,试证。a^ab^c^c≥（abc）a＋b＋c/3．（第三届美国数学奥林匹克试题）     

相依回归系统回归系数的待定系数估计

对于两个相依线性回归方程组成的系统(1．1)，本文提出了β1的待定系数估计β^*1（k，c)=（x′1x1 k1)^-1(x′1y1-cσ12/σ22x′1N2y2)，其中岭参数k≥0．c是待定系数．与β^*1(k，c)对应的非限定两步估计记为β^41(T，k，c)．当c=1时β^*1(k,1)=β1(k)和β^*1(T,k,1)=β1(T,k)等干[6]引入的一双有偏估计，结果表明总可以选取适当的c值和k值使β^*1(k，c)和β^*1(T,k，c)在均方误差阵准则下分别优于β1和β1(T)，并讨论了c值的最佳选择问题．     

判别式的常见用法错误举例

“△”是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠ 0)的根的判别式:△=b2-4ac．它的作用是不解方程即知一元二次方程根的情况．在二次三项式ax2 bx c,一元二次不等式ax2 bx c(?) 0,二次函数f(x)=ax2 bx c中,也常见到它的身影．因此△在解题中有广泛的应用,但又常见同学们不能正确地应用它,有时该用不用,有时不该用却用了,有时使用不当．现举几例说明之．     

一个素变数的Diophantine不等式(Ⅲ)

令.本文证明了存在N（c）＞0,对任意实数N＞N（c）,不等式有素数解p1,p2,p3,其中c1为一绝对正常数．     

一个不等式的联想

在学习过程中,我遇到这样一道不等式证明题． 原题设正数a,b,c满足a＋b＋c=1,求证：     

新教材中几点商榷之处

1．人教A版选修2-1P98A组第11题已知向量a，b，c是空间的一个单位正交基底，向量a＋b，a-b，c是空间的另一个基底，若向量p在基底口，b，c下的坐标为（1，2，3），求p在基底a＋b，a-b，c下的坐标．     

发散思维，一题多解

问题 已知△ABC的三边是a，b．c，且m为正数，求证：a/a＋m＋b/b＋m〉c/c＋m.这是高中数学课本第二册（上）P17的一道题．老师鼓励同学们发散思维，从不同的角度来解题．于是同学们分成小组积极讨论．得到了许多精彩的解法，现总结如下．     

简捷证明一题

题目 已知a,b,c∈R,且1.4（c-a）^2=（a-b）（b-c）,则a,b,c成等差数列．     

直角三角形中一个结论的推广

题在直角三角形中,a,b,c为其三边长,其中c为斜边,若h为斜边上的高,求证：a＋b〈c＋h．本题的证明只要通过分析法即可完成,从不等式的方向来看是否存在最大的正常数λ使得：λ（c＋h）≤a＋b恒成立呢？     

双纽线｜w~2十c｜=1的弧长

设s（c）为双纽线｜W2＋c｜＝1的弧长，c∈「0，＋∞）．该文讨论了s（c）的性质，并在n＝2的情况下解决了Erdos，Herzog和Piranian提出的一个猜测。