On the deflection of a thick plate under a sinusoidal load

Summary The equations of deflection of a thick plate presented in a previous paper are solved for an infinite plate under sinusoidally distributed pressure acting at its upper surface.The deflection and stress of the plate are calculated from the solutions of the approximate equations. The results are compared with those calculated from the exact solution and also with those obtained from other approximate methods.

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Über die Durchbiegung einer dicken Platte unter einer sinusförmigen Last

Übersicht Die in einer früheren Arbeit gegebenen Gleichungen für die Durchbiegung einer dicken Platte werden für den Fall einer unendlichen Platte gelöst, deren Deckfläche durch einen sinusförmigen verteilten Druck belastet wird.Aus den Lösungen der Näherungsgleichungen werden die Durchbiegung und die Spannung einer dicken Platte berechnet. Die Ergebnisse werden mit dem aus der exakten Lösung erlangten Resultat sowie mit den aus anderen Näherungsverfahren erhaltenen Ergebnissen verglichen.

     

On dynamics and stability of continuous systems subjected to a distributed moving load

Summary The paper deals with an analysis of different models of continuous systems subjected to a load distributed over a given length and moving at a constant velocity.The general discussion concerns a beam resting on a viscoelastic semi-space. The motion of the body is described by polynomial differential operators. With body forces being disregarded, the motion of the beam lying on a viscoelastic foundation is discussed with either taking into account the effect of shear deflection and the inertia of rotation or with neglecting them. Consideration is also given to the cases of relative motion of two continuous systems and the stability of their interaction. The above cases represent the models of a number of mechanical systems applied in e.g. modern transportation facilities, technology of bonding of layer materials, etc.The analysis is substantially simplified because the equations of motion and the boundary conditions are written in a moving coordinate system related with the load and only stationary solutions are considered. With such an approach, the solutions depend only on the transformed space variable, while the velocity of the load appears as one of the parameters of the system. Interesting conclusions are drawn from the obtained solutions and numerical calculations.

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Zur Dynamik und Stabilität von kontinuierlichen Systemen unter verteilten bewegten Lasten

Übersicht Der vorliegende Beitrag behandelt die Analyse von kontinuierlichen Systemen, die verteilten bewegten Lasten ausgesetzt sind. Es wird zunächst ein Balken auf viskoelastischem Halbraum behandelt. Die Bewegung des Körpers wird beschrieben durch Differentialoperatoren in Polynomform, wobei der Einfluß von Schubverformung und Drehträgheit diskutiert wird. Der Fall der Relativbewegung von zwei kontinuierlichen Systemen und ihre Stabilität wird ebenfalls diskutiert. Die untersuchten Fälle stellen Modelle zahlreicher mechanischer Systeme dar, wie zum Beispiel moderne Schnelltransportsysteme, Fügevorrichtungen von Schichtmaterialien, usw.Die Analyse der Probleme wird wesentlich dadurch vereinfacht, daß die Bewegungsgleichungen und Randbedingungen in einem mitbewegten Koordinatensystem formuliert werden und nur stationäre Lösungen betrachtet werden. Auf diese Weise hängen die Lösungen nur von der transformierten Ortsvariablen ab; die Geschwindigkeit der Belastung tritt als ein Parameter des Systems auf.Aufschlußreiche Schlußfolgerungen werden anhand der erhaltenen Lösungen und numerischen Berechnungen dargestellt.

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This paper was presented at the Second Symposium on Inelastic Solids and Structures, Bad Honnef, September 1981     

Untersuchungen zum Fließverhalten verschieden konzentrierter Polyisobutenlösungen unter hoher Scherbeanspruchung.

Zusammenfassung Das Schubspannungs- und Verfestigungsverhalten verschieden konzentrierter hochmolekularer Polyisobutenlösungen wird mit Hilfe eines neu konstruierten Hochdruckkapillarviskosimeters bis zu sehr hohen Schergeschwindigkeiten untersucht. Hierbei wird gleichzeitig der Einlaufdruckverlust nach Bagley durch Messungen an Kapillaren mit unterschiedlichenL/R-Verhältnissen ermittelt und, um Informationen über das Einströmverhalten der Lösungen zu erhalten, die Einlaufströmung in die Kapillare sichtbar gemacht. Im Bereich niedriger Schergeschwindigkeiten werden die Lösungen zusätzlich mit verschiedenen Rotationsviskosimetern charakterisiert.Die anhand der durchgeführten Untersuchungen erhaltenen Fließkurven lassen sich für Lösungen mit einem Polymergehalt ab 0,5% PIB-B200 in drei Bereiche einteilen, die mit Hilfe von Strömungssichtbarmachungsuntersuchungen verschiedenen Strömungsphänomenen zugeordnet werden können. Dabei kommt es u. a. zu Verfestigungserscheinungen, die sich in einem sprunghaften Ansteigen des Druckverlustes bemerkbar machen. Durch Messungen an Kapillaren mit einem kegelförmigen Einlauf kann gezeigt werden, daß diese Verfestigungserscheinungen und der damit verbundene Druckanstieg nicht nur auf das Auftreten von Sekundärströmungen im Einlaufbereich der Kapillaren zurückgeführt werden kann, sondern daß hierfür andere Effekte wie etwa die Bildung von Assoziaten aus Makromolekülen verantwortlich gemacht werden können. Auch die starke Viskositätszunahme der Lösungen im Verfestigungsbereich und die Beobachtung der Ausbildung heller Streulichtfelder sprechen für eine Bildung von Polymerassoziaten vor der Kapillare.Des weiteren wird bei den Untersuchungen zur Bagley-Korrektur festgestellt, daß zur korrekten Ermittlung des Einlaufdruckverlustes bei höher konzentrierten Polyisobutenlösungen Kapillaren mit einemL/R-Verhältnis von mindestens 1000 verwendet werden müssen. Es zeigt sich nämlich im Bagley-plot dieser Lösungen, daß die Linien konstanter Schergeschwindigkeit bei kleinerenL/R-Verhältnissen eine auffallende Krümmung im Sinne eines mit zunehmendemL/R-Verhältnis abnehmenden Druckgradienten besitzen, der erst oberhalb eines bestimmtenL/R-Verhältnisses konstant wird.

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A new design high-pressure capillary-viscometer is used to study the shear behavior of high-molecular polyisobutene solutions up to very high shear rates. The entry pressure loss from the Bagley-plot is estimated by the measurement in capillaries of different length-to-radius (L/R) ratios. Simultaneously, flow visualization of the entry flow is carried out. At low shear rates the flow behavior of the solutions is characterized by different rotational viscometers.The obtained flow curves for the solutions with polymer concentrations being above 0.5% PIB-B200 can be divided into three regions which can be related to different flow phenomena by means of flow visualization. A sudden increase in pressure loss can be related to a shear thickening behavior. Measurements in capillaries with a conical entry show that this thickening behavior is not only due to secondary flows in the entry region of the capillary, but also due to other effects like the association of macromolecules. The assumption of the formation of molecular associates is also supported by the large increase in the viscosity of the solutions in the thickening region and the observed formation of luminous scattered light areas.Furthermore, the investigations on the Bagley-correction show that for higher concentrated polyisobutene solutions capillaries withL/R ratios of at least 1 000 have to be used for a correct determination of the entry pressure loss. The Bagley-plots of these solutions show that lines of constant shear rate are remarkably curved at lowerL/R ratios. The gradient of the pressure loss decreases with increasingL/R ratio and approaches a constant value at a certainL/R ratio.

Erster Teil einer vom Fachbereich Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigten Dissertation.     

The flow in and around a droplet or bubble submerged in an unbound arbitrary velocity field

Summary A solution is presented for the flow fields interior and exterior to a single spherical droplet submerged in an unbounded fluid, for the general case when the unperturbed velocity isStokesian but otherwise quite arbitrary.A general equation for the terminal settling velocity is derived which contains as special cases the solutions ofHadamard-Rybczynski, Taylor and others. The drag force on a spherical droplet is also formulated. This equation contains as a special case the law ofFaxen.The function describing the interface and its deviation from sphericity is derived. This may be used for determining more accurate flow fields in an iterative procedure.

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Zusammenfassung Das Problem der Strömungsfelder in einer unbegrenzten Flüssigkeit wird sowohl innerhalb wie außerhalb eines einzelnen kugelförmigen Tropfens für den allgemeinen Fall gelöst, wenn die ungestörte Geschwindigkeit durch dieStokessche Gleichung angegeben werden kann, aber sonst willkürlich ist.Es wird eine allgemeine Formel für die Geschwindigkeit, die nach langer Zeit erreicht wird, angegeben. Sie enthält als Spezialfall die Lösungen vonHadamard-Rybczynski, Taylor u. a. Die schleppende Kraft, die auf den Tropfen einwirkt, wird formuliert. Diese Formel enthält das Gesetz vonFaxen als Spezialfall.Die Funktion der Grenzfläche und ihre Abweichung von der Kugelform wird bestimmt. Sie kann zur Bestimmung genauerer Strömungsfelder in einem Iterationsverfahren angewendet werden.

     

Über den geraden Knickstab mit begrenzter Durchbiegung

Zusammenfassung Die Untersuchung des durch ebene, starre Flächen in seiner Durchbiegung begrenzten geraden Knickstabes mit Hilfe der elementaren Biegetheorie führt auf eine interessante Durchschlagerscheinung. Unabhängig von der Art der Lagerung der Stabenden stützt sich nach Überschreitung der zugehörigen Eulerschen Knicklast der Stab an der Stelle seiner größten Durchbiegung gegen eine der Stützflächen ab. Die sich dabei ausbildende Stützkraft wächst mit zunehmender Stablast an, während sich gleichzeitig die Stabkrümmung an der Anlagestelle verringert.Erreicht die Stabkrümmung an der Anlagestelle die Krümmung der Stützfläche, dann bildet sich bei weiterer Steigerung der Stablast ein an der Stützfläche anliegendes, ungekrümmtes und daher momentenfreies Stabstück aus, an dessen Enden Einzelkräfte von der Stützfläche auf den Stab übertragen werden. Die Länge dieses Stabteiles wächst mit der Stablast solange an, bis diese die Größe der Eulerschen Knicklast des als an beiden Enden eingespannt anzusehenden geraden Stabteiles erreicht. Der nun einsetzende Knickvorgang des bis dahin an der Stützfläche anliegenden Stabteiles kann wegen der zunehmenden Knicklänge mit sich verringernder Stablast aufrecht erhalten werden. Bei unveränderter Stablast schlägt daher der mittlere Stabteil durch und kommt an der gegenüberliegenden Stützfläche zur Anlage.Bei weiterer Steigerung der Stablast kann der Stab immer als aus Teilstäben zusammengesetzt aufgefaßt werden, deren Lagerung den hier untersuchten drei Grundfällen entspricht. Es ist daher nicht zu erwarten, daß eine Weiterführung der Untersuchung noch zu grundsätzlich neuen Erkenntnissen führt.     

Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen mit schwacher Veränderlichkeit der Schalenkrümmungen

Zusammenfassung Es wird eine Biegetheorie erster Näherung für die abklingenden Randstörungen von Rotationsschalen gegeben, deren Ränder mit Breitenkreisen zusammenfallen. Die erzeugende Meridiankurve kann bis auf geringe Einschränkungen beliebig sein. Es werden nur solche extremen Krümmungsänderungen ausgeschlossen, die bei üblichen bautechnischen Schalen praktisch nicht vorkommen. Die formale Behandlung der gegebenen Gleichungen gibt ganz von selbst eine Übersicht über die vorhandenen nicht abklingenden Lösungen. Diese dehnungslosen Verformungen und homogenen Membranlösungen ergänzen die abklingenden Randstörungen zu dem vollständigen Lösungssatz der Biegetheorie. Die vorliegende Biegetheorie überträgt ungefähr die Donnell-Jenkinssche Näherungstheorie für Zylinderschalen auf beliebige Rotationsschalen. Sie kann als Erweiterung der Geckelerschen Näherung angeschen werden, die hier jedoch auch für Schalen negativer Gauscher Krümmung gilt. Die Differentialgleichung bleibt von achter Ordnung. Sie schließt daher die bekannten Gleichungen für Kugelschalen, für flache Schalen und für Torsen als Sonderfälle ein, bei denen sämtliche Integrale, auch die nicht abklingenden, auf dem hier gezeigten Lösungsweg gefunden werden.Auszug der Habilitationsschrift des Verfassers: Asymptotische Biegetheorie der allgemeinen Rotationsschalen ..., Hannover 1963, eingereicht 1961. Die Arbeit entstand z. T. unter dem Visiting Research Scientists Program der National Academy of Sciences, USA.     

Umlenkung eines ebenen Freistrahles durch eine Querströmung aufgrund von turbulenter Vermischung und Druckwirkung

Übersicht Zur Beschreibung der Umlenkung eines ebenen turbulenten Freistrahles durch eine Querströmuug wird ein Modell entwickelt, bei dem sowohl die Einsaugwirkung des Strahles als auch die Druckwirkung der Querströmung auf den Strahl berücksichtigt werden. Hiermit können die Strahlmittellinie, die Strahlbreite und die über einen Strahlquerschnitt gemittelte Geschwindigkeit berechnet werden. Es werden analytische Näherungslösungen für die Fälle angegeben, in denen die Geschwindigkeit der ungestörten Querströmung wesentlich kleiner als diejenige des ungestörten Strahles ist. Ein Vergleich der berechneten Größen mit experimentellen Ergebnissen anderer Autoren zeigt gute Übereinstimmung.

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Summary The deflection of a plane turbulent jet in a crossflow is described by a model which takes the effects of entrainment as well as those of crossflow pressure into account. Using this model the centerline and the spread of the jet and the mean velocity averaged over its cross-section can be calculated. Asymptotic analytic solutions are given for the case where the velocity of the unperturbed crossflow is much smaller than that of the unperturbed jet. A comparison of the present calculations with experimental results of other authors shows good agreement.

     

Geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames

Summary Field equations for the geometrically nonlinear behavior of initially curved plane slender bars and frames comprising such bars are presented. Formulation originates from Continuum Solid Mechanics, allowing for exact expressions of axial deformation and curvature to be accounted for and unrestricted finite displacements to be considered within accepted assumptions regarding slenderness. Equilibrium equations are derived in terms of the curvature and displacements, in the form of second order nonlinear polynomial differential equations, governing the nonlinear behavior of the single bar. These equations combined with joint force and compatibility equations yield a system representing the nonlinear behavior of a complete plane frame.

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Übersicht Es werden Feldgleichungen für das geometrisch nichtlineare Verhalten von vorgekrümmten ebenen schlanken Balken sowie von Rahmen aus derartigen Balken abgeleitet. Mit Hilfe der in der Kontinuumsmechanik fester Körper gebräuchlichen Formulierungen lassen sich exakte Ausdrücke für die achsiale Verformung und Krümmung sowie für unbeschränkte Verschiebungen finden. Dabei müssen gewisse Annahmen in bezug auf die Schlankheit vorausgesetzt werden. Die Gleichgewichtsbedingungen werden durch Krümmung und Verschiebung ausgedrückt, durch eine Polynom-Differentialgleichung zweiter Ordnung wird das nichtlineare Verhalten des einzelnen Balkens beschrieben. Diese Gleichungen bestimmen zusammen mit den Kraft- und Verträglichkeits-Bedingungen das nichtlineare Verhalten des gesamten ebenen Rahmens.

     

Application of large elastic deformation theory to the calculation of liquid drop shapes of some polymers

Summary Considering the analogy of a liquid surface to a stretched membrane, the theory of large elastic deformations is used to calculate the deformed shapes of sessile and pendent liquid drops of some polymers. In particular, the liquid drops are treated as highly deformable liquid-filled membranes that follow a neo-Hookean constitutive equation. Since, with the advent of sophisticated pressure transducers, it is easier to measure pressure accurately than to determine the curvature of the liquid drop geometry, the problem is formulated in terms of the pressure prescribed at the tip of the liquid drop with a varying hydrostatic pressure. The governing equations consisting of a non-linear ordinary differential equation and aVolterra type integral equation are solved numerically on a digital computer.Based on the solution of the governing equations, a procedure to estimate the surface tension of a polymer from the shape factor versus pressure curves is illustrated. Also, by increasing the pressure and by balancing the vertical component of the surface tension against the weight of a pendent liquid drop the size of a drop separated from a liquid column is predicted.

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Zusammenfassung Mit Rücksicht auf die Analogie zwischen einer flüssigen Oberfläche und einer gespannten Membrane wird die Theorie der großen elastischen Deformationen angewendet, um die deformierte Gestalt von sitzenden und hängenden flüssigen Tropfen einiger Polymere zu kalkulieren. Im besonderen werden die flüssigen Tropfen als sehr deformierbare liquid gefüllte Membranen behandelt, die einer neo-Hookeschen konstitutiven Gleichung folgen. Das Problem ist so formuliert, daß der Druck an der Spitze eines flüssigen Tropfens als ein veränderlicher hydrostatischer Druck ausgedrückt wird, weil mit den neuen hochentwickelten Druckvermittlern es leichter ist, den Druck direkt zu messen, als die Krümmung eines flüssigen Tropfens von seiner Geometrie zu bestimmen. Die Gleichungen, von denen die Geometrie eines Tropfens bestimmt werden, bestehen aus einer nichtlinearen Differentialgleichung und einerVolterra-Integralgleichung. Diese Gleichungen werden mit Hilfe eines Computers gelöst.Aufgrund der Lösung dieser Gleichungen wird ein Verfahren entwickelt, das die Bestimmung der Oberflächenspannung eines Polymers von dem Formfaktor Gegendruckkurven ermöglicht. Die Größe eines von der flüssigen Säule getrennten Tropfens kann mit Hilfe von erhöhtem Druck durch Kräfteausgleich vorherbestimmt werden.

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This work is an extension of the work performed under the National Science Foundation Grant No. GK-4842.

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With 8 figures     

Die anfangswertaufgabe für die störungsdifferentialgleichungen des taylorschen stabilitätsproblems

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit werden vorgegebene Störungen in einer Strömung zwischen zwei rotierenden Zylindern untersucht. Im Gegensatz zu dem von Taylor behandelten Fall darf sich die Grundströmung dabei zeitlich ändern.Mit Hilfe der Galerkinschen Methode werden Näherungslösungen der Störungs-differentialgleichungen konstruiert. Es läßt sich zeigen, daß diese Näherungslösungen gegen schwache Lösungen der Gleichungen konvergieren. Der Beweis wird unter Benutzung der Sobolevschen Einbettungssätze geführt. Die schwachen Lösungen erfüllen nicht die Differentialgleichungen im üblichen Sinne, sondern nur gewisse aus den Differentialgleichungen abgeleitete Integralrelationen. Aus einfachen Abschätzungen ergibt sich die Eindeutigkeit dieser Lösungen.Die schwachen Lösungen besitzen die Eigenschaft, daß die radiale Komponente der Störungen für feste Werte der Zeit eine absolut stetig differenzierbare Funktion der Ortskoordinate ist. Dagegen ist die azimutale Komponente zu jeder festen Zeit nur eine absolut stetige Funktion des Ortes. Beide Komponenten erfüllen die gestellten Randbedingungen. Die erhaltenen Lösungen stellen aufgrund ihrer Eigenschaften und Einzigkeit eine auch vom physikalischen Standpunkt aus sinnvolle Verallgemeinerung dar.Als Beispiel wird das Verhalten spezieller Störungen in zwei gebremsten und in zwei beschleunigten Grundströmungen ermittelt. Mit zunehmender TaylorZahl werden zunächst die radiale und die axiale Komponente der Störungen angefacht. Dagegen bleibt die azimutale Komponente bis zu sehr hohen TaylorZahlen gedämpft. Der Grad der Anfachung hängt praktisch nur von der mittleren Geschwindigkeit der Grundströmung ab.Diese Arbeit stellt eine gekürzte Fassung meiner Dissertation dar, die bei der Naturwissenschaftlich-Mathematischen Fakultät der Universität Freiburg i. Br. im Dezember 1962 eingereicht wurde. Vorgelegt von H. Görtler     

Postbuckling of angle-ply and anisotropic plates

Summary An analysis based on the von Kármán-type large-deflection equations of plates is presented for the postbuckling behavior of homogeneous and symmetrically laminated anisotropic rectangular plates. Boundary conditions for both simply supported and clamped edges are considered. A solution is obtained by expressing the force function and transverse deflection as double series involving the appropriate beam eigen-functions. Numerical results are presented for graphite-epoxy angle-ply laminates and homogeneous anisotropic plates. In the cases of buckling of anisotropic plates and postbuckling of isotropic and orthotropic plates, the present solution is in good agreement with existing solutions.

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Übersicht Es wird das Nachbeulverhalten von homogenen, symmetrisch geschichteten, anisotropen Rechteckplatten auf der Grundlage der von Kármán angegebenen Platten-Gleichungen für große Auslenkungen untersucht. Dabei werden sowohl einfach aufliegende, wie auch eingespannte Ränder als Randbedingungen berücksichtigt. Lösungen werden dadurch gewonnen, daß die Belastungsfunktion und die Querauslenkung als doppelte Reihen von geeigneten Balken-Eigenfunktionen angesetzt werden. Für Graphit-Epoxid-Schichtplatten und anisotrope homogene Platten werden numerische Ergebnisse mitgeteilt. Die erhaltenen Lösungen stimmen in den Fällen des Beulens von anisotropen Platten sowie des Nachbeulens von isotropen und orthotropen Platten gut mit bekannten Lösungen überein.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Research Council of Canada.     

Unsymmetrische Biegung der Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Die Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Kreisplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit wird integriert. Die Lösung der homogenen Gleichung sind unendliche Reihen, die Produkte von hypergeometrischen und trigonometrischen Funktionen enthalten. Die Methode der Variation der Konstanten läßt sich hier nicht so einfach durchführen wie bei der Platte, deren Dicke im Plattenmittelpunkt gleich Null ist, aber das partikuläre Integral der inhomogenen Gleichung kann im allgemeinen durch Probieren gefunden werden. Als Beispiel wird die gleichmäßig belastete Platte ohne Bohrung bei gelenkiger Auflagerung des Außenrandes gerechnet und mit der Platte von konstanter Dicke verglichen. Bei axialsymmetrischer Durchbiegung wird die vollständige Lösung für die Platte mit Bohrung angegeben.     

The BIE analysis of the Berger equation

Summary An iterative solution of the nonlinear integro-differential Berger equation by the boundary integral equation method is proposed. The fundamental solution of the linearized Berger equation is used. Both formulations of the problem through the physical and non-physical quantities are given. The proposed method of solution is applied to numerical computation of the finite deflection of a thin circular plate under a concentrated load. An analytical solution of the linearized Berger equation in the case of rotationally symmetrical problem is found.

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Anwendung der Randintegralgleichungsmethode auf die Gleichung von Berger

Übersicht Bine iterative Lösung der nichtlinearen integrodifferentialen Gleichungen von Berger mittels der Methode der Integralgleichungen wird vorgelegt. Die fundamentale Lösung der linearisierten Gleichungen von Berger wird angewendet. Zwei alternative Formulierungen des Problems mit physikalischen und nichtphysikalischen Größen sind angeführt. Die vorgelegte Lösungsmethode wird zur numerischen Berechnung der Durchbiegung einer mittels Einzellast belasteten, dünnen Kreisplatte angewendet. Fur den Fall eines rotationssymmetrischen Problems wurde eine analytische Lösung der linearisierten Bergerschen Gleichungen gefunden.

     

Dynamic analysis of non-symmetric problems for frictionless indentation and plane crack extension

Two-dimensional dynamic analyses of contact and stress loading problems associated with non-symmetric frictionless rigid indentation and plane crack extension under normal stress are presented. The extension rates of the contact strip/crack surfaces are assumed to be constant and sub-critical. Homogeneous function techniques are used to derive general mathematical solutions which are then fitted to the physical problem by matching the predicted and prescribed displacement/stress distributions on the contact strip/crack surfaces. By studying several examples, it is seen that coupling between inherently symmetric and antisymmetric components of the mathematical solutions complicates this procedure. Moreover, the relation between loading and solution behavior is not always physically obvious, especially with regard to symmetry/antisymmetry.

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Zusammenfassung Es werden zweidimensionale dynamische Analysen von Problemen der Berührungs und Spannungsbeanspruchung in Zusammenhang mit nichtsymetrischer, reibungsloser und formfester Vertiefung und Verlängerung eines Rißes in einer Ebene unter normaler Beanspruchung diskutiert. Die Rate der Verlängerung der Oberfläche der Berührungsbahn oder des Rißes wird als konstant und unterhalb der kritischen Schwelle bleibend angenommen. Die Methoden homogener Funktionen werden benutzt, um generelle mathematische Lüsungen abzuleiten, die dann dem physikalischen Problem durch Angleichen der erwarteten mit den gemessenen Verteilungen der Verschiebung/Beanspruchung an den Flächen der Berührungsbahn odes des Rißes angepaßt werden. Die Untersuchung meherer Beispiele zeigt, daß eine Verbindung zwischen inhärenten symetrischen und anti-symetrischen Bestandteilen der mathematischen Lösungen dieses Verfahren komplizieren. Ferner ist die Beziehung zwischen der Belastung und dem Lösungsausfall physikalisch nicht immer naheliegend, insbesondere im Hinblick auf die Symetrie/Antisymetrie.

     

Die rheologische Zustandsgleichung

Zusammenfassung In der Einleitung wird die rheologische Zustandsgleichung — d. h. die stoff-spezifische Beziehung zwischen den nicht-starren Bewegungen eines Körpers und den damit in kausalem Zusammenhang stehenden Kräften — als der zentrale Gegenstand der Rheologie bestimmt und anschließend die Rheologie in zwei Hauptgebiete — phänomenologische und statistische Rheologie — aufgegliedert.Der erste Teil behandelt die phänomenologische Theorie (Makro-Rheologie) und umreißt nach einer kurzen kritischen Behandlung der linearen Theorien die allgemeine nicht-lineare Theorie der rheologischen Körper. Nacheinander werden die Konsequenzen des Grundpostulats der Dimensionsanalysis, der Forderung der Invarianz der kinematischen Größen gegen starre Bewegungen und der Isotropiebedingung analysiert und die Ergebnisse am Beispiel der Theorie des isotropen elastischen Körpers, der Theorie der strukturviskosen Flüssigkeit und insbesondere der quasi-stationären Theorie der allgemeinen Flüssigkeit erläutert. Dabei werden zum Schluß auch einige Kriterien für verschiedene viskosimetrische Quereffekte abgeleitet.Im zweiten Teil wird der Abriß einer allgemeinen statistischen Theorie (Mikro-Rheologie) verdünnter Lösungen, Suspensionen und Emulsiopen gegeben. Die hierin enthaltenen hydrodynamischen und statischen Probleme werden analysiert und es wird ein Störungsverfahren zur Lösung des letzteren angegeben, welches zugleich eine Relaxationstheorie enthält. Diese Theorie wird anschließend am Beispiel einer Suspension elastischer Hanteln im einzelnen durchgeführt, wobei die drei Spezialfälle: starre, hart-elastische und weichelastische Hanteln sowohl bezüglich ihres quasi-stationären als auch ihres Relaxationsverhaltens eingehend diskutiert werden. Es ergeben sich dabei bemerkenswerte Unterschiede, welche über das spezielle Modell hinaus für eine zumindest qualitative Kennzeichnung der Suspensionen von Teilchen mit nur permanenter, nur induzierter und schließlich mit sowohl permanenter als auch induzierter Formanisotropie von Bedeutung sind.Vorgetragen auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e. V. und der Deutschen Rheologen-Vereinigung e. V. in Berlin am 24. 10. 1956.     

Über axialsymmetrische Knickung dünner Kreisringplatten

Zusammenfassung Mit Hilfe der Differentialgleichung für die Durchbiegung einer Kreisplatte unter gleichmäßigem, radialem Druck und ihrer bekannten Lösung wird die Knickspannung für den Fall eines unverschieblich eingespannten Außenbzw. Innenrandes und eines frei verschieblich eingespannten Innen- bzw. Außenrandes angegeben. Diese Fälle werden mit der Knickung eines rechteckigen Plattenstreifens im Eulerschen Fall verglichen, wobei die Breite des Plattenstreifens gleich dem Unterschied des Platten- und des Bohrungshalbmessers gesetzt wird. An Hand der Tabelle 2 ergibt sich daraus eine sehr einfache Regel für die Berechnung der Knickspannung einer in der angegebenen Weise gestützten und belasteten, dünnen Kreisringplatte.     

On the accuracy of the harmonic balance method concerning vibrations of beams with nonlinear supports

Summary A homogeneous beam supported by a nonlinear cubic rotational spring and excited by a prescribed harmonic translational motion was analysed by the harmonic balance method. Harmonic and sub-harmonic solutions were determined as functions of frequency, excitation amplitude and material damping. The results were verified against numerical time integrations of the governing nonlinear differential equations. The numerical method was based on a component mode synthesis technique, using free normal modes and inertia relief attachment modes. It was found that the predictions by the harmonic balance method were in excellent agreement with the numerical solution in a frequency interval covering the three first cantilevered eigenfrequencies of the beam. The only exceptions were two narrow frequency intervals in which the numerical solution showed quasiperiodic oscillations.

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Uber die Genauigkeit der Methode der harmonischen Balance für Schwingungen von Balken mit nichtlinearen Einspannungen

Übersicht Ein homogener Balken, der mit einer kubischen Drehsteifigkeit eingespannt und von einer harmonischen vorgegebenen Bewegung angeregt ist, wurde mit der Methode der harmonischen Balance untersucht. Harmonische und subharmonische Lösungen wurden als Funktion der Frequenz, der anregenden Amplitude und der Werkstoffdämpfung berechnet. Die Ergebnisse wurden mit numerischen Zeitintegrationen der nichtlinearen Differentialgleichungen verglichen. Die numerische Methode war auf einer Methode der dynamischen Substrukturtechnik aufgebaut, wobei freie Schwingungsformen mit statischer Kondensation verwendet wurden. Es zeigte sich, daß in einem Frequenzband, welches die drei ersten Eigenfrequenzen eines einseitig eingespannten Balkens überdeckte, die Vorhersagen der harmonischen Balance in sehr guter Übereinstimmung mit der numerischen Lösung waren. Die einzigen Ausnahmen waren zwei kleine Frequenzbänder, in denen die numerische Lösung quasiperiodische Schwingungen zeigte.

     

Dynamic coefficient of an elastically supported,pre-stressed beam

Summary An analysis is made of the problem of vibrations of a beam with an axial force resting on eltstic foundation, when the beam is uniform and of finite length and is subjected to an impulsive load. The solution is presented within the framework of a beam theory which includes the effects of shear deformation and rotary inertia. An example is provided where the dynamic coefficient for the bending moment is calculated. From the results of theoretical analysis, it becomes evident that the axial force in the beam and the stiffness of the foundation have considerable effect upon the dynamical behaviour of the system.

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Übersicht Die Schwingungen eines auf elastischer Grundlage liegenden Balkens, der durch eine Axialkraft beansprucht ist, werden für den Fall analysiert, daß der Balken gleichförmig und von endlicher Länge ist, und daß eine Schlagbelastung an dem Balken angreift. Die Lösung wird innerhalb der Balkentheorie gegeben, die die Wirkung der Schubverformung und die Drehträgheit berücksichtigt. In einem Beispiel wird der Schwing-beiwert für das Biegemoment ermittelt. Die Ergebnisse zeigen, da\ die Axialkraft und die Steifigkeit der elastischen Grundlage auf das dynamische Verhalten des Systems erheblichen Einfluß haben.

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The author wishes to acknowledge the consistent guidance and encouragent of Professor H, Saito of Tohoku University.     

Closed form solutions for small deformations superimposed upon the simultaneous inflation and extension of a cylindrical tube

For small deformations of isotropic incompressible hyperelastic materials which are superimposed upon the simultaneous inflation and extension of a cylindrical tube, new closed form solutions are derived without any restrictions on the strain-energy function. These solutions are used to derive the load-deflection relation for small radial deformations of pre-compressed long bonded cylindrical rubber bush mountings. They are also used to formulate the n=1 buckling criterion for long cylindrical tubes which are subjected to uniform external pressure.

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Zusammenfassung Für kleine Deformationen, die der gleichzeitigen Weitung und Streckung eines zylindrischen Rahmens aus isotropischem, kompressiblem und hyperelastischem Material überlagert sind, werden Lösungen in geschlossener Form abgeleitet, ohne einschränkende Bedingungen für die Deformationsenergiefunktion. Mit Hilfe dieser Lösungen wird die Last-Deflektions-Beziehung für kleine radiale Deformationen vorgespannter zylindrischer Gummibuchsen abgeleitet. Weiterhin werden die Lösungen benutzt, um die Knickbedingung (für n=1) langer, zylindrischer Rohre zu formulieren, die gleichförmigem äusserem Druck ausgesetzt sind.

     

A simplified perturbation solution to the large deflection Karman equations of orthotropic composite plates in axial compression and lateral pressure

Summary The buckling and postbuckling behavior of simply supported orthotropic composite rectangular plates in uniaxial compression and lateral pressure is studied by a deflection-type perturbation technique applied to the generalized Karman equations. Comparisons of the predictions by the approach with experiments and other analytical results are made and show that agreement between the present theory and experiments is reasonably better.

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Eine Lösung der v.-Karman-Gleichungen für große Durchbiegungen von orthotropen Verbundplatten unter Axialdruck und Flächenlast durch Störungsrechnung

Übersicht Das Beul-und Nachbeulverhalten orthotroper Verbund-Rechteckplatten unter Querbelastung und Axialdruck wird mit der Methode der Störungsrechnung die auf die generalisierten von Karmanschen Gleichungen angewandt wird, untersucht. Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit werden mit Versuchsergebnissen und anderen analytischen Lösungen verglichen, wodurch gezeigt wird, daß unter Verwendung der genannten Methode eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen erzielt wird.