对于方程a~x=x和a~(a~x)=x(a>0,a≠1)解的个数的探讨

本文讨论了两个方程a~x=x和a~(a~x)=x(a0,a≠1)解的问题,应用高等数学中的知识给出了两个方程解的存在条件和相应的个数,纠正了一些直观的错误,通过该问题的讨论可以加深学生对高数函数知识的理解和应用.     

谈“a-a=0”和“a/a=1(a≠0)”

<正>代数中的"a-a=0"和"a/a=1(a≠0)"具有统一、简单、对称等数学美,也蕴含着十分重要的数学思想.它的正用有"消元"(加减消元和约分消元)之功能;它的逆用有"构造"(裂项和添项)之功能;这两大功能在数学运用中有着十分重要的作用.所以,这看似简单的两个算式,不仅向人们展示了其数学的思想美和方法美,而且还能拓展我们的逻辑思维能力和创造思维能力.下面举例说明,供大家鉴赏,期望对读者能有启发和帮助.     

关于数列{nxn}(x≠0且x≠1)的前n项求和方法的再思考

问题求数列{nxn}(x≠0且x≠1)的前n项和Sn;对于求一个等差数列与一个等比数列对应项相乘的新数列的前n项和的方法,教材所提供的错位相减法是一个通法,我们在教学中应大力提倡和使用.     

方程xx=yy(x≠y)的一组有理数解

引起笔者对本文问题研究的是在研究指数函数y=ax与其反函数y=logax交点的个数时发现的一个有趣性质.     

直线方程x0x/a2-y0y/b2=1的几何意义

文 [1 ]探讨了直线方程ｘ0 ｘａ2 +ｙ0 ｙｂ2 =1的三种几何意义 ,读后深受启发 ,作为文 [1 ]的继续本文探讨直线方程ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1的几何意义 .定理 1　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 ,则直线ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1是经过点Ｐ的双曲线的切线 .这只要在已知条件下证明联立方程 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2= 1与ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1消去ｙ或ｘ后的一元二次方程的判别式等于零即可 .定理 2　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )的外部 (不含焦点的部分 ) ,且点Ｐ不在双曲线的渐近线上 ,过点Ｐ引双…     

关于方程f_1(x)f_2(x)=0的解集

,l没方程f(x)=O的解集是F,如果/(、)~f,(x)·f:(x),且方程j,(x)=0与fZ(x)二orYJ解集分别是F:和F:,则F=F,UF:”① 这是《、J一苏教育》82年第7期第2。页上的一个命题.类似这个命题的还出现在其他几家刊物上.①式是正确的吗?请吞日4lJ. 方程f,(x)=(x一1)(x一2)二o的解集I了,={l,2     

方程a~x=loga~x的解

一个方程的解可以看作两个函数的图象的交点的横坐标。反过来,方程的解又可以反映两个函数之间的某种关系,即它们的图象相交的情况。因此,可以利用函数的性质对方程的解,特别是直接求解很困难的某些超越方程的解的情况作出定性的讨论。也可以利用方程的解对函数的图象间的交点个数作出定量的研究,本文主要通过对函数y=x~(1/x)和y=x~x的性质的分析,就方程a~x=x和a~x=loga~x等的解的情况进行讨论。     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

关于f(x)=(a~x 1)~(1/x)的单调性及应用

罗增儒先生在《高中数学竞赛辅导》一书中给出了如下一道问题：问题　设ｘ、ｙ是不相等的正实数,ｍ、ｎ是正整数,且ｎ＞ｍ,令ａ＝ｍｘｍ＋ｙｍ,ｂ＝ｎｘｎ＋ｙｎ,则ａ与ｂ的大小关系是（　　）．　（Ａ）ａ＞ｂ　　　　（Ｂ）ａ＜ｂ　（Ｃ）ａ＝ｂ（Ｄ）不能确定笔者发现,问题中的条件“ｍ、ｎ是正整数”,可放宽为“ｍ、ｎ是不为零的实数”．本文通过建立函数ｆ（ｘ）＝（ａｘ＋１）１ｘ,用初等方法研究其单调性,从而较方便地解决这个“问题”．为此,我们先给出如下一个预备问题：１　预备问题及证明预备问题　对于函数ｇ（ｘ）＝…     

用计算机计算方程x"+λp(t)x=0的特征值

带参数二阶方程x″＋（λ＋q（t））x=0与x″＋λp（t）x=0的特征值求法在理论上是十分困难的.利用判别式与数学软件在计算机上可以较轻松的解决x″＋λp（t）x=0型方程的特征值计算问题.     

方程f_1(x)·f_2(x)=0的解集纠错

下列四种中学数学教学的权威文献都涉及到方程ｆ１（ｘ）·ｆ２（ｘ）＝０的解集问题．（１）高级中学课本《代数》上册（必修）在引入并集的概念和解释其应用时写道：方程（ｘ２－４）·（ｘ２－１）＝０的解集，可以从求方程ｘ２－４＝０的解集与方程ｘ２－１＝０的解集...     

方程ax~2 b|x| c=0根的讨论

众所周知 ,对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0(ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ) ,当Δ =ｂ2 - 4ａｃ≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ=0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1　在实数集内根的情况结论 1　对方程ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ =0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ) (Ⅰ )当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0- ｂ2ａ>0ａｃ>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0ａｃ<0 (2 )时 …     

方程ax=x根的再讨论

文 [1]、[2 ]就方程 ax =x根的分布情况作了讨论 ,但很繁琐又不清晰 ,实际上 ,只要讨论函数 y =x1 x 的性质 ,方程 ax =x根的分布就显得十分清楚了 ,为此 ,特介绍如下方法 .定理　函数 f(x) =x1 x(x >0 ) ,(1)在 x =e处 ,f (x)取最大值 e1 e;(2 ) 0 e时 ,f(x)递减 ;(3) limx→ ∞f(x) =1,limx→ 0 f(x) =0 .证明　设 g(x) =ln xx =ln f(x)(x >0 ) ,在点 (e,1)处 ,y =ln x的切线 :y - 1=1e(x - e)过原点 ,取 P1 (x1 ,ln x1 )、P2 (x2 ,ln x2 ) ,其中 x2 >x1 >0 ,直线 OP1 、OP2的倾角分别为α1 、α2 ,如 e相似文献   

关于方程Dx~2±1=y~p,xy≠0

对于Diophantus方程 Dx~2 1=y~p,xy≠0,p>ε是素数,(1) 当D=2时。它仅有整数解x=±11,y=3(p=5)(参阅[1])。而当D>2无平方因子时,Nagell证明了:设ph(-D),这里h(-D)表示虚二次域Q((1/2)D)的类数,则方程(1)给出2|y。     

关于函数y=kx+m/x(k≠0,m≠0)的图象为双曲线的探究

1 问题提出。在学习完圆锥曲线后，我们认识了双曲线的概念和性质：平面上到两个定点F1，F2距离之差的绝对值等于常数2a(2a≤|F1F2|)的动点的轨迹是双曲线，它有对称中心，有对称轴，有两条渐近线．联系高一学过的函数y=kx m/x(k≠0，m≠0)，其图像也有对称中心，通过计算器测算出     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

函数y=a~x(a>1)的图象能与直线y=x相交吗?

我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上…     

方程=f(x)十字架格式

描述了单个含有单位质量的质点在保守力f(x)作用下一维运动的位移.这个系统的主要特点是能量守恒: