老树发新枝 别样的精彩——对一节“二次函数的应用”复习课的思考

这是一节“浙派”名师班学员关于二次函数应用的复习教学研讨课,授课教师利用一个熟悉的情境,构设了一组巧妙的问题,演绎出一节高水平的思维活动课,现将课堂实录与笔者的思考整理成文,以供同行参考.一、课堂实录1.情境引入课堂一开始,教师给出了一道学生十分熟悉的篱笆围鸡场问题.引例用长为60米的篱笆围成一个矩形养鸡场,怎样围才能使得养鸡场的面积最大,最大面积是多少?在学生独立完成的基础上,教师请学生分享解答.     

一句话引发的“颠覆”

1 缘由近日,八年级校本课程的一节数学综合实践活动课中,笔者精心选择了一个教学素材《等周长图形的面积》,主要的思路是:让学生经历一系列的纸片的等积变换(如图1所示)的拼图过程,通过操作、观察、交流、归纳等教学活动,试图得出基于数学活动的三个认识:(1)等周长的四边形,当四边形为平行四边形时,其面积最大;(2)等周长的平行四边形,当平行四边形为矩形时,其面积最大;(3)等周长的矩形,当矩形为正方形时,其面积最大.综合“三个认识”,推导出结论:等周长的四边形中,以正方形的面积为最大.     

“一线三直角”模型的构建与应用

构建“一线三直角”模型是解决二次函数与几何综合题的一种常用又好用的方法,笔者以一节初三复习课为例,让学生经历“一线三直角”模型的提炼、构建以及应用的过程,在具体的问题解决中引导学生识别模型、建立模型、应用模型,从而培养学生的建模能力.并指出以数学模型建构与应用为主线的复习教学中应抓住模型特征,渗透模型思想;关注知识生长,构建整体结构;重视归纳总结,增进复习实效.     

二次函数涉面积 构线辅助巧转化

与二次函数相关的综合性解答题已是各省、市中考数学的必考题型,特别是涉及到几何图形面积最值的问题,是难点,也是易错点.本文中以如何构造辅助线转化问题为导向,详细介绍了铅垂高法、平行线法、割补形法、三角函数法这四种解决二次函数面积最大值问题的方法,使复杂问题简单化,从而为渗透数学思想、发展核心素养奠定基础.     

基于学习力培养的问题驱动式复习课教学设计——以“二次函数的复习(第1课时)”为例

<正>1 基于学习力培养的课程分析1.1 内容解读二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,也是初中阶段研究的三种基本函数之一.本章学习是以已学的一次函数为基础,首先让学生认识二次函数,掌握二次函数的图象和性质,进而用函数的观点来看待方程和不等式,最后解决一些简单的实际问题.二次函数的学习集数形结合、分类讨论、函数与方程、化归等多种思想于一体,在中学数学中有着非常重要的地位,也为学生后续学习打下良好的基础.     

在变式中提高高三复习效果——以一道函数最值问题的变式研究为例

从一个简单一元二次函数最值问题出发,不断进行变式研究,在研究中复习函数最值的解决方法,提升学生解决相似类型问题的能力,培养学生的数学核心素养.     

利用二次函数解决实际问题的教学设计

根据学生的认知规律,选择“利润”“面积”案例进行探究,旨在培养学生在实际应用问题中建立二次函数模型的意识,提升分析问题和解决实际问题的能力,发展学生数学核心素养.     

大单元视角下基于学习力培养的复习课教学——以“二次函数”为例

基于学习力培养的“二次函数”复习课摒弃了常规的复习课模式,基于数学知识的生长点、发展规律,整合初中所学的一次函数与二次函数的知识和共性的研究方法,启发学生提出问题,分析问题,最后解决问题,加强学生对“函数”这一知识整体结构的认知,提升数学学习力.     

从近年无锡中考数学卷的最值问题说起

一、近五年无锡中考卷每年必考的“最值问题” 2015年3月,笔者应邀来到无锡江阴市夏港中学执教了一节初三复温研讨课,笔者认真分析了2011年至2015年的中考无锡数学卷,发现每年必考最值问题.2011年第25题考的是水果购销的利润最大问题,涉及二次函数最值求法;2012年第24题考的是纸片折成正方体包装盒,求包装盒表面积的最大值,也是二次函数的最值问题;2013年第25题考的是原材料加工废气排放问题,涉及一次函数的最值问题;2014年第28题考的是动点运动变换,第(2)问涉及的是三角形重叠部分面积的最大问题,用到的知识还是二次函数最值;2015年第25题考的是利润最大问题,涉及到一次函数的最值求法,上述考查的都是实际应用类问题.     

聚焦“三点共线”模型 破解线段最值问题——以2022年全国各地中考数学试题为例

线段最值问题是历年全国各地中考热点问题,这类问题通常以等腰三角形、直角三角形、矩形、菱形、圆等具有特殊性质的图形为基本图形,以动点或动线段为背景,以线段（或线段之和）的最值为问题情境,主要考查学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.解决这类问题的关键是利用转化思想将线段最值问题转化为常见的几何模型,将动态几何问题转化为静态几何问题,然后利用基本图形的性质解决问题.文章以等腰三角形、正方形、矩形等基本图形为例,说明“三点共线”模型在解决线段最小值问题中的应用.     

一道课本习题的延伸和推广

新编高中数学课本第二册 (上 )有这样一道练习题 :一段长为ｌｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 ,问这个矩形的长、宽各为多少时 ,菜园的面积图 1　解法 1用图最大 ,最大值是多少 ?下面先分析这道题的解法 .解法 1　如图 1,设矩形的宽为ｘｍ ,则其长为 (ｌ - 2ｘ)ｍ ,面积Ｓ =ｘ(ｌ - 2ｘ) =- 2ｘ2 ｌｘ =- 2 (ｘ - ｌ4 ) 2 ｌ28(0 <ｘ <ｌ2 ) .所以当ｘ =ｌ4 时 ,Ｓｍａｘ=ｌ28,此时ｌ- 2ｘ =ｌ2 .答　矩形的长为 ｌ2 ｍ、宽为 ｌ4 ｍ时 ,菜园的面积最大 ,最大值为 ｌ28ｍ2 .解法 2　同解法 1,Ｓ =ｘ(ｌ - 2ｘ) ,∵ 0 <ｘ <ｌ2 ,∴ｌ- …     

类比学习路径 重视探究过程——以“矩形的判定”再设计为例

基于对《课标(2022版)》的研读,本文中对“5.1.2矩形的判定”进行再设计.类比平行四边形研究路径,通过对矩形判定定理“引入—发现—猜想—验证—表述—应用”的探究,体现定理学习的一般过程,提高学生思维品质.     

因式分解的价值探寻

新课程标准提出,让学生初步学会从数学的角度发现问题和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.应用因式分解解决问题,体现了增强学生应用意识、提高学生实践能力的课标要求.因式分解一方面为分式化简、解一元二次方程奠基,另一方面在简便计算、证明猜想、确定代数式的最值、判断能否被整除、解决实际问题、判定图形的形状等方面也有独特的价值.让我们一起领略因式分解的非凡价值吧!     

基于深度学习的期末复习课堂教学模式探究——以“二次函数”复习第一课时为例

新数学课标指出，数学教育要以有利于学生全面发展为中心，以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点.教师在平时的教学过程中，要着重培养学生的学习积极性，进而使其能够进行独立思考并解决数学问题，找到通往深度学习的途径.而复习课对学生而言，重要性不言而喻.如何上好期末复习课，选择怎样的课堂教学模式才能实现高效减负呢?以人教版第二十二章“二次函数”复习第一课时为例,按“课前诊断”“课堂探究”“课堂反馈”“课后作业”“中考链接”这几个环节来探究期末复习课堂教学模式.     

概念图指向单元整体建构课的教学策略--“二次函数图象与性质”赛课观摩有感

概念图是课堂教学设计的有效工具.为了让学生对一个单元所学知识网络化,建构对单元知识和方法的整体理解,引导学生深度学习,研究者以观摩省赛课“二次函数图象与性质”为例,探究基于概念图的单元整体建构课的教学策略:知识建构,让思维痕迹可视化;方法统领,让思维品质高阶化;深度探究,让思维体验个性化.     

立足学生思维起点提问：让学习真实发生——以“含字母系数的二次函数”题根教学为例

问题的提出与解决贯穿整个课堂,本文中立足学生思维起点,从问题的关联点、质疑点、思维发散点、等价转化点等角度,以“含字母系数的二次函数”为题根进行提问,让学习真实发生,有助于学生形成推理能力和模型观念,发展几何直观和运算能力.     

利用图象破解二次函数的最值问题

<正>一般地,二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),如果自变量x的取值范围是全体实数,那么二次函数的顶点是最高(低)点,当x=-b/2a时,二次函数的最大(小)值是(4ac-b~2)/4a.如果自变量的取值范围不是全体实数,即自变量在限定的范围内,那么二次函数的最值问题又如何解决呢?现以近几年中考题为例,浅析说明利用图象破解二次函数最值问题的思路、方法、技巧.     

二次函数中动点存在性问题解题策略——以三角形存在性问题为例

二次函数是初中数学的重要内容,它常与综合性知识点融合,以动点问题的形式频繁出现在中考数学压轴题的位置.二次函数的动点问题渗透了分类讨论思想、函数思想、方程思想、数形结合思想等多种数学思想方法,对学生而言具有一定的难度.学习二次函数动点问题的解题策略,有利于学生灵活运用所学知识解决问题.本文中主要以二次函数动点问题中的三角形存在性问题为例展示,如何解决这一类题型.     

二次函数综合性题目的解题方法研究

二次函数的综合性问题是中考数学试题的必考题型,可以系统地考查学生的数学建模能力和抽象思维能力.在求解过程中,能促使学生将离散化的知识聚合成统一的知识体系,同时能培养和发展学生解决实际问题的数学能力.文章结合具体例题分类探讨了二次函数综合题中的交点问题、线段的和差最值问题、一般最值问题等常见题型的解题方法.     

一“矩”三“折”觅策略——轴对称视角下特殊平行四边形的复习课研究

特殊图形折叠涉及丰富的数学知识,是中考常见的试题,运用有效策略探究这类问题的解决方法,有利于学生对问题本质的理解,有利于学生综合能力和学科素养的提升.本文以A4纸的折叠为素材,从轴对称视角进行单元整体的复习课设计,通过三次折叠的探索,串联矩形、菱形和正方形的内容,演绎几何问题解决的通法,在“折叠”、“探究”、“融通”的过程中让学生重构知识体系,提升核心素养.