构造辅助圆 巧解几何题

在解几何问题时,常会遇到一些用常规方法很难解决的问题．这时,如果构造适当的图形来给以辅助,往往能促使问题转化,从而简捷地解决问题．对于有些求角度、求线段长度、证线段相等问题,可以根据问题的题设或结论或图形中某些与圆的性质相似的信息,构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决．这种方法利用数形结合,使代数与几何等知识相互渗透,综合应用,它不但能较好的达到解题的目的,还有利于培养学生分析问题的能力．     

构造辅助圆巧解中考题

<正>先看2015年山东威海的一道中考题:如图1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为().(A)68°(B)88°(C)90°(D)112°本题若按常规方法,可利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理,通过列方程求解.设∠CAD=α.由AB=AC=AD,     

构造辅助圆解竞赛题

<正>在处理平面几何中的许多问题时,需要借助于圆的性质,才能使问题得以更好的解决,但我们所需要的圆有时并未给出,这就需要我们利用已知条件,做到无中生圆.下面结合几个例题简单地谈一下如何根据具体情境构造圆,做到圆满解决:一、利用圆的定义生圆例1如图1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,E是CB的中点,AE=EC,∠BAC=3∠DBC,BD     

构造中位线 巧解几何题

三角形的中位线是初中数学中的一个重要知识点,也是历年中考必考的内容之一.尤其是它的性质定理在几何的求解题和证明题中应用更为广泛,中考常考常新.在大多数试题中,中位线的组成,大多不是十分明显或完整地表现出来,需要我们在解题时,能够抓住题目中的已知信息(例如已知线段的中点)入手,通过适当手段构造出三角形(或梯形)的中位线,然     

构造几何模型 巧解竞赛难题

<正>竞赛题常以创新问题的崭新形式出现,此类问题将欲考查的知识借以新背景、新思维呈现.初见此类问题,我们常感到无从下手,洞悉问题的本质,有时构建熟悉的几何模型,便可化繁为简,化难为易,实现问题的解答.1巧构直线化为距离     

利用圆性质巧解圆问题

<正>本文以07年高考数学试题中与圆有关的问题为例,进行初步的解题分析,供同学们在学习中借鉴,试分析如下.【例1】(07年天津卷)已知两圆x~2+y~2 =10和(x—1)~2+(y—3)~2=20相交于A、B两点,则直线AB的方程是______.     

例谈知识交汇处的几何问题巧解

<正>高考数学科《考试大纲》对高考数学试题设计提出的明确要求,要迎战高考,就要研究高考的命题趋势.数学科的考试,按照考查基础知识的同时,注重考查能力的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力与素质融为一体,全面检测考生的数学素养.关注知识网络交汇,考查学生综合能力,已经成了近年来数学试题的一个鲜明特色.然而,随着课程改革的不断深入,知识网络的交汇点正在不断丰富,函数、导数、方程与不等式,平面向量与三角函数,平面向量、函数的图像与方程的曲     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

构造向量巧解线性规划问题

二元线性规划问题是高中数学一个重要内容,属不等式范畴,其基本方法是数形结合,即根据线性约束条件在坐标平面中作出可行域,通过对目标函数图像的研究,得到目标函数的最优解.高中数学简单的线性规划深刻体现了数形结合的数学思想方法,与其他知识点很容易形成交汇,在解决取值范围、最值等方面有很好应用,因而成为高考命题的一个热点,并多以选择、填空题出现.     

构造模型巧解立体几何问题

<正>立体几何是培养同学们空间想象能力的主要载体.立体几何题由于点、线、面关系复杂,特别是题中未给出图形的情况下,更是感到不易下手.如果能挖掘题设条件,展开联想,巧妙建立相应的立几模型,可以帮助我们突破思维定势,提升思维起点.常见的模型有正方体和长方体,充分利用其特性就能使解题思路豁然开朗,而且过程简捷明了.本文列举几个构建长方体模型巧解立体几何的问题.     

构造单位圆和正切线巧解三角化简求值问题

单位圆和三角函数线是解决三角问题的重要工具之一,利用它们能充分挖掘出三角中的几何背景,沟通数与形的关系,从而使抽象问题直观化.但是高中数学教材中引入三角函数线的目的只是为进一步引入三角函数的图象和性质做铺垫,因此三角函数线的重要作用没有充分得到发     

构造圆 巧解题

<正>我们在做几何题目时,往往要作辅助线.作什么样的辅助线,要根据具体的条件.比如直角三角形中,出现了斜边的中点,我们会想到作斜边的中线;三角形中出现了两边的中点,我们会想到作中位线;出现30°、45°、60°的角,我们会想到作垂直构造直角三角形;出现圆的切线,我们会想到把圆心和切点连接起来,得到垂直……那什么条件下,应该作圆呢?来看看下面几种情况.一、遇到旋转构造圆例1如图1,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm.如果正方形AEFG绕点A旋转一周,设C、F两点之间     

巧用辅助圆解决几何综合问题

<正>解决几何综合问题是初等数学中重要的考察内容,也是中考数学的热点.在几何综合问题中,我们常常需要挖掘图形中的隐含信息来解决问题.通过对最近几年中考几何综合题的归类总结发现,有一类几何综合题如果运用圆的知识解决会比较方便,即把圆做为一个问题解决的"工具".但题目中并没有明示圆这一条件,也就要我们通过分析条件,挖掘出隐含的圆,然后借助于圆的性质解决问题.     

特殊化巧解几何中的定值问题

<正>平行四边形中基本模型较多,图象变化多样,如果再加上动点问题,学生就容易被吓退.而特殊化考虑能使问题的解决更直接更简洁,其中包括位置的特殊化和数值的特殊化.通过对题目的观察分析,在条件允许的范围内选取合适的特殊点或者特殊数值,经过简单的逻辑推理判断或者计算,就能够找到问题的解答方案.     

代数几何结合巧解二次函数问题

二次函数是初中数学中数形结合的典型内容,学习二次函数既要重视图像与性质的理解掌握,更要重视解决问题过程中数形结合思想的巧妙运用.要善于探究、发现、总结自己独到的见解、方法和规律.这对同学们探究性学习的培养以及创新思维能力、自主探究解决问     

构造规则图形解证几何问题

几何题给出的条件大多图形一般,解证有一定的困难,若我们能根据题设巧妙地构造出特殊的规则图形,利用这些规则图形性质解题,可融观察、分析、联想、推理于一体,开拓解题思路,培养创造思维能力,给人以赏心悦目的数学美感受,就能达到事半功倍的效果．现举几例,供同学们参考．一、构造等腰三角形     

构造直线或圆的方程巧解数学竞赛题

<正>构造法是数学解题中经常用到的一种技巧性较高的方法,也是解决数学问题的一种重要方法.当我们解题的常规思路受阻或通法运用不畅时,可结合题设条件,把题设中的相关命题转化为一个等价的新命题,往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果.本文例说构造直线或圆的方程巧解高中数学竞赛试题,供同学们学习参考.     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题,若能根据已知式的结构,挖掘出它的几何背景,通过构造解析几何模型,化数为形,则可利用数学模型的直观性,简洁地求得问题的解。