数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

用二项式定理证明不等式的几类问题

众所周知,数学归纳法在含有自然数的命题证明方面有着较大的优势,但同时我们也发现:不是所有与自然数有关的命题都可以用数学归纳法来证明,而且在使用的新教材里目前对数学归纳法已经不作要求了.所以,在缺少了数学归纳法或出现了不宜用数学归纳法的题目之后,我们就需要去寻找另外的方法.实践证明,二项式定理在实际应用中具有很大的价值.例如,解决与自然数有关的幂不等式的证明,它就给我们提供了一种结构简明、思路清晰的证明方法.下面举例说明.1简单构造二项式和直接应用二项式定理例1(1)求证:n≥2时,2n≥n2+n+22;(2)证明:C2nn-1<4n-1(n>1)…     

一数学证明题引出的思考

<正>求证:C1n/1-C2n/2+C3n/3+…+(-1)n-1Cnn/n=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*).这是文[1]中给出的一道数学题,此文中指出本题"入手一做感觉棘手,很繁杂,与同组老师研讨时,一致认为要用数学归纳法证明",后给出了具体的证明过程,几乎用到了组合数性质的所有常用公式,可以说是一道高三复习组合数性质和数学归纳法的好题.笔者读完此文后,对"一致认为要用数学归纳法证明"有些疑问,难道此题不用数学归纳法就很难证明吗?于是,对此题的非数学归纳法证明作了思考.     

数论问题

(续上期 )例 9　证明 :对任意自然数n ,数 [( 3+5) n]+ 1被 2 n 整除 .这里 [x]表示实数x的整数部分 .证　论证的要点是给予 [( 3+ 5) n]的一个不同的 (但适用的 )表示 .为此 ,我们考虑数α =3+ 5的共轭数 β =3- 5,它们由整系数二次方程x2 - 6x + 4=0相关联 :是该方程的两个根 .记un=αn+ βn.我们现在易于导出 {un}(n≥ 1 )的递推公式 :以αn 乘α2 - 6α + 4=0 ,及 βn 乘 β2 - 6 β+ 4=0 ,并将结果相加 ,即得un + 2 =6un + 1- 4un,n≥ 1 ( 5)因u1=6 ,u2 =2 8都是整数 ,故由 ( 5)及归纳法知所有的un 都是整数 .注意 0 <3- 5<1 .故 0 <β…     

由课本问题到欧拉常数的推广

1　引子高中《代数》下册复习题六第33题是:“用数学归纳法证明:1+ 12+ 13+…+1n>n (n>1,n∈N)”.此题很容易用数学归纳法证明,证明后我们自然会反思:此题是如何发现的?如何用推导的方法证明.使用放缩思想可得方法一:1+ 12+ 13+…+ 1n>1n+ 1n+…+ 1n=n·1n=n .由裂项求和的思想可想到方法二:n =(n - n- 1) + (n- 1-n- 2 ) + (n- 2 - n- 3) +…+ (2 - 1) +(1- 0 ) =1n + n- 1+ 1n- 1+ n- 2+…+12 + 1+ 11+ 0 .而n - n- 1=1n + n- 1,所以欲证原不等式,只需证1n>1n + n- 1(n>1) ,(当n=1时,取等号) .此不等式显然成立,所以原不等式得证.2　探索…     

课后练习题的巧解与思索

<正>在学习人教版选修2-2第二章《推理与证明》时,在课本P₉₆页B组题的第二题是这样一道题,"用数学归纳法证明:1·n+2（n-1）+3 （n-2）+……+n·1=1/6n（n+1）（n+2）."华岁庚在讲数学归纳法时曾说过"难处不在于有了公式证明.而在于没有公式之前怎样     

由一个诡辨看数学归纳法的适用范围

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一 .中学数学中的一些概念、公式、定理及很多的命题 ,通过数学归纳法导出和证明更符合学生的认知特点 ,也符合人们从特殊到一般的认知规律 .在中学阶段 ,有些公式、定理和命题 ,由于受中学生所掌握的数学知识的限制 ,往往只能让学生先暂且接受其真实性 ,再用数学归纳法给出证明 .但是 ,数学归纳法究竟在哪些地方可以用 ,这一直困扰着我们很多的中学生 .下面 ,笔者想从一个诡辨谈起 ,来看数学归纳法的适用范围 .命题　任意一个有n(n为自然数 )根毛的宠物狗都是“裸狗” .证明　 (用数学归纳法 )1…     

数论问题

本讲通过数学竞赛中的一些数论问题,简要地介绍初等数论中较为基本的思考方法.对于问题所涉及的数论基础知识,我们将直接引用而不作讨论(可以参看,例如,《奥数教程》,高三年级,华东师范大学出版社) .例1　设a ,b是给定的正整数,证明,仅有有限多个正整数n ,使得(a + 12 ) n+ (b + 12 ) n为整数.证　问题等价于证明,仅有有限多个n ,使得2 n整除(2a + 1) n+ (2b + 1) n.我们希望分解被除数(2a + 1) n+ (2b + 1) n.这在n为奇数时易于实现:我们有(2a + 1) n + (2b + 1) n =(2a + 2b + 2 ) (2a +1) n -1- (2a + 1) n -2 (2b + 1) +…- (2a + 1) (2…     

加强命题在证明不等式中的运用

数学归纳法是证明与自然数n有关的不等式的一种常见的方法,但在实际解题中有时候直接运用数学归纳法证明该命题不太容易,或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的,这时可以考虑把该命题适当加强,使加强后的命题更具活力,更有利于运用数学归纳法去证明.加强命题的方式有两种:一是把原命题的结论加强,二是把命题一般化.1加强命题的结论例1设n为自然数(n≥1),求证:112 122 … 1n2<2.分析和证明这是一个与自然数n有关的命题,易知难以直接用数学归纳法证明.考虑加强命题的结论,注意到limn→∞1n=0,不妨把结论加强为证明:112 122 … 1n2≤2-…     

也谈数学归纳法在解题中的应用

<正>1引言对于一类与正整数有关的命题的论证问题,当其他方法无法证明时,往往想到数学归纳法.用数学归纳法证明问题分三个步骤：第一步先证明当n取初始值n₀(n₀∈N*)时命题成立.这是第二步的前提,不可省去,初始值n₀视题目而定,不一定是1.第二步先假设当n=k(k∈N^*,k≥n₀)时命题成立,在此基础上,推证当n=k+1时命题也成立.这一步骤是数学归纳法最关键的步骤,要求对有关表达式进行恰当变形,而且在证明当n=k+1时命题成立时,     

关于数学归纳法的一个问题的讨论——北京东城区高二年级数学备课纪实

(一) 数学归纳法是中学数学中的一个重要的证明方法。一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明。证明的步聚分为两步: (1) 验证当n取第一个值n_0时,命题P(n_0)成立; (2) 假设当n=k(k∈N,k≥n_0)时,命题P     

一道不等式的五种证明方法

本文利用数学归纳法、函数的凹凸性、函数的单调性、函数的极值、多元函数的条件极值这五种方法对不等式■(其中n≥1的整数,x≥0,y≥0)进行了证明.     

数学归纳法中n=n_0的功能不应忽视

进行数学归纳法证明时,n=n_0一步的验证,自然是不能缺的。殊不知,n=n_0,n=n_0+1等尚有其它作用,理应进一步挖掘。 1 通过P(n_0)、p(n_0+1)、P(n_0+2)…等命题或公式的归纳。猜想p(n)的一般结论。     

浅议数学归纳法及教学中易出现的问题

皮亚诺公理的第 5条性质 :任意一个正整数集合 ,如果包含 1 ,并且假设包含x ,也一定包含它的后继x + 1 ,那么这个集合包含所有的正整数 .这条性质就是数学归纳法的依据 ,通常称为数学归纳法原理 .这一原理可以用数学符号来表示 :数学归纳法原理 :如果S是正整数集合N+的一个子集 ,且满足 :① 1∈S ;　　②若k∈S ,则k + 1∈S ,那么S =N+.根据数学归纳法原理 ,可以得到数学归纳法 :设 p(n)是一列与正整数有关的数学命题 ,如果满足 :①p(n)当n =n0 (n0 是使 p(n)正确的最小正整数 )时正确 ,即 p(n0 )正确 ;②在假设 p(k) (k≥n0 ,k∈N+)正…     

数学归纳法应注意的几个问题及证明技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依     

加强命题用导数解决数列不等式

<正>例1已知f(n)=n⁽ⁿ⁺¹⁾,g(x)=(n+1)(n+1),g(x)=(n+1)ⁿ,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有xn,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有x^(x+1)>(x+1)(x+1)>(x+1)^x.即(x+1)lnx>xln(x+1),因为x≥3,lnx>0,ln(x+1)>0,     

也谈子不等式从何而来

文[1]介绍了用“子不等式法”证明与自然数n有关的不等式的方法.针对文[1]的遗留问题,文[2]介绍了“子不等式从何而来?”文[2]认为:“一旦证明了子不等式,就……改为非数学归纳法的证明.”但从所举例题来看,“子不等式”均系由数学归纳法的第二步并通过分析法得出,其实质仍为数学归纳法.若要“改为非数学归纳法的证明”,即用“子不等式法”,直接得出“子不等式”并予以证明方可.但子不等式是否存在?能否直接得出?成为解决问题的关键.笔者研究发现,子不等式完全可直接由欲证之不等式直接得出.下面介绍给读者.     

数学竞赛之窗

本期给出 2 0 0 4年美国数学奥林匹克的试题与解答 ,由上海中学冯志刚老师与林运成同学提供 .第 33届美国数学奥林匹克(第一天　 2 0 0 4年 4月 2 7日 )1　设ABCD是一个有内切圆为凸四边形 ,它的每个内角和外角都不小于 6 0° .证明 :13|AB3 -AD3 |≤ |BC3 -CD3 |≤ 3|AB3 -AD3 | .等号何时成立 ?2　设a1,a2 ,… ,an 是整数 ,它们的最大公约数等于1.设S是具有下述性质的一个由整数组成的集合 :1)ai∈S ,i=1,2 ,… ,n ;2 )ai-aj∈S ,1≤i,j≤n (i,j可以相同 ) ;3)对任意整数x ,y∈S ,若x +y∈S ,则x -y∈S .证明 :S等于由所有整数…     

分析结论 巧妙证明

题设n∈N且n≥3。试证明 2~(n(n+1))/2>(n+1)! 该不等式如果采用数学归纳法证明,其过程较繁杂,若仔细分析所证结论,不等式左边的指数中底数为2,联想到二项式定理推得的组合公式2~n=C_n~0+C_n~1+…+C_n~n>C_n~0+C_n~1=1+n。即2~n>n+1(n∈N 且n>1),就可使问题迎刃而解。     

浅论矩阵初等变换法在数论中的应用

矩阵论是一个应用十分广泛的数学学科 .本文将以矩陈的初等变换法为理论工具 ,谈谈它在数论中的两个应用 .本文约定 :小写拉丁字母表示整数 ,大写拉丁字母表示整数矩阵 ,对矩阵实施初等变换的过程中所用到 (得到 )的数均为整数 .1　一个命题命题 1　设 (ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ) =ｄ ,则存在可逆方阵Ａ =[ａｉｊ]ｎ×ｎ,使得ａ1 ａ2 …ａｎ Ａ =[ｄ 0… 0 ](ｎ≥ 2 ) .证明 (数学归纳法 )(1 )当ｎ =2时 ,不妨设ａ1 >ａ2 >0 (否则可以施以倍法变换或换位变换 ,使得ａ1 >ａ2 >0 ) ,由辗转相除法知 :ａ1 =ｑ1 ａ2 +ｒ1 ,0 <ｒ1 <ａ2ａ2 =ｑ2 ｒ1 +…