一道国际奥赛题的简证

题目 设ａ,ｂ,ｃ为正实数,且适合ａｂｃ＝１．求证： 这是第三十六届国际数学奥林匹克竞赛的一道试题,命题人给出的证法是逆用无穷递缩等比数列各项和的公式．先化“有限”为“无限”,再化“无限”为“有限”．在从“有限”到“无限”,又从“无限”到“有限”的转化过程中,还用到凸函数性质和琴生不等式．其思想之深奥,方法之奇妙,只能令众多中学生叹而观之,望而却步．下面给出一个通俗浅显,使一般中学生都能接受的证法． 证明（分析法）：令ｘ＝１／ａ,ｙ＝１／ｂ,ｚ＝１／ｃ．则 、＿３． ｚ’（,＋ｚ）（ｘ＋ｚ）＞于（ｘ…     

巧构函数简证一道女子奥赛题

题目设实数x,Y,z大于或等于1,求证：（x^2～2x＋2）（y^2-2y＋2）（z^2-2z＋2）≤（xyz）^2-2xyz＋2． 这是2009年在厦门举行的中国女子数学奥林匹克竞赛的第五题．文[1]作者丁兴春老师用以退求进的思想方法对此题作了精彩证明,笔者读后受益匪浅．     

一道北方奥赛题的两种简证

2014年北方数学奥林匹克邀请赛第一题：已知△ABC中,∠B、∠C都是锐角,AD⊥BC,DE⊥AC,M是DE中点,AM、BE交于F,求证：若AM⊥BE,则△ABC是等腰三角形.证法一∵∠B、∠C都是锐角,故D在B、C之间,连接DF,∵DE⊥AC,AM⊥BE,     

一道奥赛题的别证

第三十九届国际数学奥林匹克第五题 :设 I为△ ABC的内心 ,K、L、 M分别是△ABC的内切圆在边 BC、CA及 AB上的切点 ,已知通过点 B且与 MK平行的直线分别与直线L M及 LK交于点 R和 S.证明 :∠ RIS是一锐角 .这里运用解析法进行论证 ,供大家参考 .证明　如图 ,以 I为坐标原点 ,过 I且与 K M平行的直线为 x轴 ,弦 KM的垂直平分线为 y轴 .设△ABC内切圆的方程为 :x2 y2 =r2设点 M( rcosα,rsinα)　 ( 0 <α<π/2 )那么 K ( -rcosα,rsinα) ,设点 L( rcosβ,rsinβ) ,( π α<β<2 π-α)显然点 B( 0 ,rsinα) ,∴　直线 RS…     

也证一道西部数学奥赛题

《中学生数学》高中版2008年第2、6、12、12期的P29、P13、P25、P36分别发表了《西部数学奥赛题的三角证法》、《用导数解题》（的例5）、《西部数学奥赛一题优美简捷的证明与推广》、《道是无妨却有妨》等四文。仔细拜读,受益多多,同时也发现有的证法的某些不足之处（例如证法的科学性、简捷性、方法的初等化等）。     

一道美国数学奥赛题的别证

题目 已知a,b,c是正实数,证明： （2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋c＋a）^2/2b^2＋（c＋a）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2≤8 ① 这是2003年美国数学奥林匹克竞赛第五题,文[1]及文[2]分别用不同的方法对该题目作出精彩的证明,本文利用“变量标准化”方法给出该竞赛题的别证．     

一道三角不等式的简证

1996年，湖北周永良在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出了一对十分有趣的不等式：在锐角上△ABC中，有等号成立当且仅当△ABC为正三角形．1997年，江西辛秋生对（1）式又给出了一种漂亮的证法[1]．受其启发，笔者发现了（2）式的一个简单的证明．兹介绍于下．证明因在关于正数x、y、z的常见不等式（等号成立当且仅当x＝y＝z）中取x＝tgB＋tgC，y＝tgC＋tgA，z＝tgA＋tgB，即知（3）式成立．从而，（2）式成立．一道三角不等式的简证@宋庆$江西省永修一中!3303041辛秋生．一道三角不等式的新证法．中学数学（湖北），1997…     

一道日本奥赛题的别证及其它

对如下一道日本数学奥林匹克试题： 问题1已知a,b,c〉0,求证：（b＋c-a）^2/（b=c）^2＋a^2＋（c＋a-b）^2/（c＋a）^2＋b^2＋（a＋b-c）^2/（a＋b）^2＋c^2≥3/5.     

一道平面几何题的简证

题目~[1]如图,菱形ABCD,∠DAB=60°,E是AD上一点,CE交BA延长线于F,DF交BE延长线于M,求证:∠BMD=60°.证明连结DB,显然△CBF∽△EDC,于是BC/DE=BF/DC,注意到DC=BC=DB,有DB/DE=BF/DB,     

一道数列题的简证

在许多书刊中可以见到这样一道数列题: 已知正项数列{a_n}满足求证:对任意自然数n,都有a_n<1/n。 这道题曾作为1964年北京市中学生数学竞赛题,它有多种多样的数学归纳证法,下面     

一道趣题的简证

本刊1993年第4期文《正方形中的一只蝴蝶》的结论如下: 正方形ABCD的边CD、DA、AB中点分别为O_1、O_2、O_3,连O_1O_2,O_1B,CO_2,CO_3,相交于O点,过O作EF∥CD分别交O_1O_2于H,O_3C于K,求证:     

复数法简解一道三角题

题目已知α、β、γ、θ均为锐角,tanα=1/2,tanβ=1/7,tanγ=1/8,tanθ=1/18,求α β γ θ的值. 这是《中学生数学》2001年7月上第11页一文《几何法巧解一道三角题》中的题目.几何法虽巧,但还是比较繁.现用复数法给出简洁的解.     

一道擂台题的简证

<中学数学教学>2003年第3期有奖解题擂台题(61-1)为: 在△ABC中,求证:     

一道赛题的简证

1992年全国高中数学联赛第二试题第一题为:设A_1A_2A_3A_4为☉O的内接四边形,H_1H_2、H_3、H_4、依次为△A_2A_3A_4、△A_3A_4A_1、△A_1A_2A_4、△A_1A_2A_3的垂心。求证:H_1、H_2、H_3、A_4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置。     

一道三角函数题的简证

《数学通报》2 0 0 4年 1 1月号问题 1 52 5为 :△ ABC中 ,求证 :sin( A - 30°) + sin( B - 30°) + sin( C- 30°)≤ 32 .该刊 2 0 0 4年第 1 2期 P4 3上登载的证明中用到了四个三角恒等式 ,较繁琐 .这里 ,我们给出一个简单的证法 .证明　不妨设三内角 A、B、C中 C最小 ,则 0°0 ,于是sin( A - 30°) + sin( B- 30°) + sin( C- 30°)= 2 sin A + B - 6 0°2 cos A - B2 +　 sin( C - 30°) + sin30°- 12=2 sin1 2 0°- C2 cos A - B2 +2 sin C2 cos C - 6 0°2 - 12≤ 2 ( sin1 2 0°- C2 + s…