一道获奖命题探源

首届全国数学奥林匹克命题比赛中一道获奖命题是：l若,。。。6R－（i—1,2,…,。。）且。＞2,户EN,这个命题是如何发现和构造的呢？笔者经过一番思考研究,对此作如下探讨．我们容易从各类数学书刊中看到下列命题：＿冗＿、。＿。＿ZrtUtya。U,,W＝＝,UCOSSWCOSDtwCOSI一1．求证：tgatggtgy＞2／了．命题（2）可以构造一长方体进行证明,现用均值不等式简证如下：容易将命题（2）作如下多元推广：显然,命题3与3’是一对貌异质同的命题,（3）是（3’）的三角形式,而（3卜是（3）的代数形式．－’、·—·’、———。—…     

两个不等式的推广

题目 已知x1^2＋x2^2＋…＋x100^2=300。求证： x1＋x2＋…＋X100≤200 （1） 文[2]对不等式（1）进行了加强和推广，分别给出四个命题，其中后两个命题（见原文命题3、命题4）分别为：     

一个三角恒等式的证明及其应用

一个三角恒等式的证明及其应用阚政平（安徽师大附中２４１００１）题目若，则笔者曾在研究的值时发现上述结论．为证明上述命题，兹给出该命题的一种证法．证考虑方程由于取方程（ｘ＋１）ｎ＝１的（ｎ－１）个不为零的根的乘积，不妨设ｘ１＝０，则根据公式得而方程（ｘ...     

不等式“有解”与“恒成立”

不等式历来是高考和竞赛命题的热点．不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题．下面给出一组命题,说明两者之间的区别．Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＞ｆｍａｘ（ｘ）;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＜ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅲ　ａ＞ｆ（ｘ）有解　　ａ＞ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅳ　ａ＜ｆ（ｘ）有解　　ａ＜ｆｍａｘ（ｘ）．例１　不等式ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解,求ｋ的范围．解　ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解　ｋ（ｘ２＋１）＜２有解ｋ＜２ｘ２＋１有解　ｋ＜［２ｘ２＋１］ｍａｘ＝２　（应用命题Ⅳ）∴　　　　ｋ∈（－∞,２）．…     

一道USAMO赛题的别证及引伸

１９９７年第２６届美国数学奥林匹克试题５：证明对所有正实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ３＋ｂ３＋ａｂｃ）－１＋（ｂ３＋ｃ３＋ａｂｃ）－１＋（ｃ３＋ａ３＋ａｂｃ）－１≤（ａｂｃ）－１．（１）文［１］给出了该命题的简证．其实,该命题还可简证如下：证明由ａ＋ｂ＞０及...     

更弱条件下随机微分方程解的存在性

（１）中的Ｌｉｐｓｃｈｚ条件下，证明了形如下列方程Ｘ＝Ф（Ｘ）＋Ｆ（Ｘ）．Ｍ的解的存在性和唯一性；（２）在局部Ｌｉｐｓｃｈｔｚ条件下，证明了上述方程解的存在性和唯一性；然而在实际应用中，有许多随机微分方程不满足Ｌｉｐｓｃｈｔｚ条件，但解存在却不唯一（见（５）中例子）本文利用非紧致度在更弱条件下证明（＊）至少存在一个解，从面推广了（１），（２），（３）中的存在性定理。     

曲面平滑的自适应几何扩散

1.引 言 本文的目的是用求解偏微分方程（PDE）的方法来消除离散三角形曲面的噪声,所使用的方程是热传导方程到曲面的推广.热传导方程应用于图像处理已有二十余年的历史,有关参考文献相当丰富（见[1,11,12,19]）.众所周知,对于给定的初始图像ρ0,热传导方程　　在τ时刻的解与用Gauss滤波器Gσ（x）=　（当标准差σ=2τ,时）和ρ0作卷积的结果相同.容易看出Gρ和ρ0的卷积运算相当于对ρ0做加权平均,当标准离差σ变大时,该加权平均在一个较大的范围实现,这解释了热传导方程的滤波作用.近来热传导方程已推广到空间曲面[4,5]以及高维空间中的二维流形（见[3]）,对     

从一个命题的推广谈推广时应注意的一个问题

推广是一个命题经过一般化所得到的正确结论,正如波利亚所说：“是从好的东西中提炼更纯净的精制品”,好的推广是“不容易得到的”,因此,推广不能单纯地看成是一个命题简单的一般化,而应抓住命题成立的本质,否则,很可能推出错误的结论,以如下命题的推广为例．命题如果P（x）Q（x）、R（x）、S（x）都是多项式,且使得P（X5）＋xQ（x5）＋x2R（x5）＝（x4＋x3＋x2＋x＋1）S（x）,则X－1是P（x）、Q（x）、R（x）和S（x）的一个公国式．此题是美国第五届中学数学竞赛题,可以根据1的五次单位根和线性方程组的性质得到比较简捷…     

推广的（2＋1）维浅水波方程的精确解及其混沌行为

利用Riccati方程映射法和变量分离法,得到了推广的（2＋1）维浅水波系统的变量分离解（包括孤波解、周期波解和有理函数解）.根据得到的孤波解,构造出了方程的单孤子和双孤子结构,研究了孤子的混沌行为.     

变形代换是解题的最基本方法

变形代换的目的是为了简化问题，暴露条件与结论问的本质联系，它往往来自朴实自然的想法，平凡中见神奇，以下以《数学通报》上就近刊登的一些数学问题的另解为例说明（考虑到篇幅，原先的解（证）均省略）．     

Whc114研究的一些进展

杨之先生在[1]中提出了如下证解课题：Whc114M于二阶非常系数线性递归数列应选择百种有价值的，研究它的通顶公式和性质．本文将对数列（1）的通顶公式进行探讨，获据了一些有趣的结果．定理1如果存在数列｛a。｝、｛｝，使得那么二阶非常采数线性递归数列（1）的通项因之，当n＞4肘（3）成立．当n—3的（3）贵然成立，从而（3）得证．证毕．推论在定理1的到提下（I）如果a。一a（常数），那么（1）的通顶作为推进的一个有趣应用，我门合命题1对于数列（a。｝证在推进Z（D）中，置a。一n，p。＋；一p③一个自然的问题是：怎样的户（n）、q…     

平面几何中的几种解题策略

平面几何中的几种解题策略洪凰翔（湖北省武穴师范４３６４００）在平面几何解（证）题中，根据题目所提供的信息，灵活地去选取解（证）题策略乃至关重要．如有的可从正面进攻或从侧面突破，有的则可直接进行推断或间接地进行论证，可以说，选择的策略愈佳，解（证）题的...     

Dbar-穿衣法和一个耦合无色散方程

利用基于2×2矩阵（e）（Dbar）-问题的推广穿衣法,研究了一个耦合无色散方程,进而利用Cauchy矩阵的性质导出其孤立子解.此外,还讨论了N-孤立子解的渐近行为.     

反证法的实质是什么？

反证法的实质是什么？霍振化（陕西省教科所７１００６１）在有些出版物上，认为反证法的实质是把一个命题的证明转化为其逆否命题的证明．在数学课堂上，这种说法更是多见．我以为，这种看法是值得商榷的．１实例分析例试证同回内相交两弦（非直径）不能互相平分．已知：...     

多解命题的类型和解法

在同一题设条件下 ,得到的结论不是唯一的数学命题 ,称为多解数学命题 .解答这类命题需要从不同的侧面进行缜密地思考 ,用分类的思想探讨出现不同结论的一切可能性 ,从而使问题解答完整无遗 .而这恰好是容易被同学们忽视的 ,造成解答以偏概全 .本文拟从一些实例出发 ,介绍多解数学命题的几种基本类型的解题思路 ,分析命题产生多解的原因 ,意在探索多解命题的解题规律 .1　隐晦条件　孕育多解许多命题的题设条件中 ,隐匿着不易轻易发现的含义 ,而它们却常常孕育着命题的解不是唯一的 .这需要蓄意观察、深入分析 .致使由隐晦条件所导出的结论…     

对一道竞赛题的再推广

贵刊文[1]提出了一种对如下命题的推广,即： 命题对任意正实数a,b,c,均有：（a^2＋2）（b^2＋2）（c^2＋2）≥9（ab＋bc＋ca）．     

在反思中探索在探索中发现——2009年高考江苏卷第18题的反思探究案例

每年的高考题都集中体现了高考命题专家的智慧,具有很强的代表性和示范性,对高考题进行反思与探索,挖掘其潜在价值,往往会有意想不到的收获.2009年高考江苏卷第18题是一个典型案例,通过对其解后的反思与探索,不但发现了考题的一个几何解法,三个推广,同时发现了考题的一个背景--阿波罗尼圆,现整理成文,以飨读者.     

一道全俄数学奥林匹克试题的推广与改进

一道全俄数学奥林匹克试题的推广与改进陈计（宁波大学数学系２０００１０）１９９３年元月举行的第十九届全俄数学奥林匹克第三轮竞赛十一年级的第７题是：证明，对任何实数ｘ，ｙ，ｚ均可成立不等式这个循环不等式并不难证（见［１］），而且很容易推广成：定理１对任何...     

一道课本不等式的加强及推广

一道课本不等式的加强及推广魏华（成都七中６１００１５）现行教材高中《代数》下册Ｐ３２第５题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）．笔者发现：可将此不等式加强和推广为如下命题．已知ａ，ｂ，ｃ＞０...     

费玛引理的一种推广

如所周知，微积分中有一条经典的费玛引理：可微函数在极值点的导数为零．这是可微函数取得极值的必要条件．下面命题可以看作费玛引理的一种推广．命题是定义在R上的可微且有下界的实值函数，则对任意，存在X使证今因为f（x）有下界，故有，于是对任一取定的函数值，存在X＞使当时，又因在闭区间上连续，故在，上取得最小值．而因此有从而可知x是在R上的最小值点，即有由三角不等式得上述命题表明，即使f（X）在R上的下界未必达到，但有推论在上述命题的条件下，存在数列（Xn）使证只需在命题中取可．对多元函数，也有相应的结论成立．…