聚焦三角函数中的多组解问题

在已知三角函数值求值或求角中,经常会解出多组解·这是学生的一个难点,要么根本无取舍意识,要么有取舍意识但不知怎么取舍·本文结合典型例题,对三角函数中出现多组解的原因、取舍的方法作一个归纳总结·1出现多组解的原因原因一:已知某个角的三角函数值,在利用同角三角函数的基本关系中的平方关系,即sin2α+cos2α=1,求其它三角函数值时会出现两组解·原因二:由于三角函数是一个周期函数,在解三角方程中,会出现多组解·原因三:在判断三角形的形状,对条件恒等变形时,会出现多个因式的乘积为零,也会出现多组解·2解决的方法(1)充分利用题中明确给出的角的范围,根据三角函数值的符号法则“一全正,二正弦正,三双切正,四余弦正”进行正负取舍·(2)挖掘角隐含的范围·让学生明确,已知一个三角函数值,它还有一个功能,挖掘角的范围·(3)解三角方程一定要利用三角函数的图象,先在一个周期内找解,再加上周期,再依据角的范围定角·3典型例题例1(2006年湖北)若△ABC的内角A满足sin2A=32,则sinA+cosA=·A·315B·-315C·35D·-35解设sinA+cosA=m,平方得1+sin2A=m2,∴m2=35,m=±31...     

复合型三角函数定义域问题的图解法

复合型三角函数的定义域借助于图形 (单位圆、三角函数线、三角函数的图象、数轴等 )来解 ,具有直观、易懂、便于掌握的优点 ,同时还可以培养学生的创新意识 .下面介绍几种常用方法 .1　单位圆法如果确定定义域的不等式组是纯三角不等式组 ,则适应于单位圆法 .即在单位圆内找出三角不等式组中的各个不等式的解区域 (即解 (角 )的终边所在的区域 ) ,然后取其公共区域即交集 ,就是所求的定义域 .例 1　求函数ｙ =ｌｇ(ｓｉｎｘ·ｃｏｔｘ) +ｃｓｃｘ的定义域 .解　解不等式组　　　 ｓｉｎｘ·ｃｏｔｘ >0ｃｓｃｘ≥ 0(1)(2 )图 1　例 1图在单…     

倡导“一题多解”,开拓发散思维——一道解三角形证明题的探究

“一题多解”可以很好地考查学生的逻辑思维能力与数学发散思维等,教师应注重将“一题多解”的意识渗透到数学解题教学中.本文结合一道解三角形的证明题,从三角函数、解三角形、推理证明以及平面几何等不同的视角切入并展示不同方法,让学生在解题探究中感悟数学思想方法之美,培养学生思维的发散性,开拓学生视野,提升学生的核心素养.     

解直角三角形考点例解

三角函数的定义,特殊角的三角函数值以及互余、同角三角函数间的关系,简单的解直角三角形等知识的考查多以填空题、选择题出现在中考试卷中,而运用解直角三角形的知识解决实际问题的大题或综合题是近年来中考的热点题型.本文以2004年中考题为例说明.     

三角求值中如何防范增解

三角求值(角)问题是三角函数的一种常见题型,同学们在解此类问题时常常因忽视题设条件中角的“隐含范围”导致增解而出错,而且错误不易察觉.究其原因,一是缺乏缩小角的范围的意识,二是不知如何缩小范围才能正确求解.本文介绍防范增解的几种常用方法,供同学们参考.1利用三角函数     

从一题多解中寻求多题一解

大家知道,对于一般的非特殊角三角函数求值问题,常常是将非特殊角的三角函数通过三角恒等变形转化为特殊角的三角函数来解决.但是有些问题仅用此法也难以解决,例如: 第五届(1963年)国际数学奥林匹克题5.证明: ,此题很难用上述思想来解,但其他解法却不少,下面就来介绍这一题的一些不同解法,从一题多解中进而寻求和探索出多题一解的思想与方法.     

应用G/G′展开法求Ostrovsky方程的孤子解

应用(G/G')展开法构造出(1+1)维0strovsky方程的10组精确解,这些解的类型主要包含双曲函数通解、三角函数通解和有理函数通解三种形式.对解的性质进行了相应地分析,当对双曲函数通解中的参数取特殊值时,可以得到了孤立波解.当对三角函数通解中引中的参数取特殊值时,可以得到对应的周期波函数解.     

直角三角形的几种解法

解直角三角形是三角学内容的重要部分,这一部分的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法.特殊锐角与其三角函数之间的对应关系也很重要,应当牢记.三角函数定义是本章的第一个重点,因为它是全章乃至全部三角学的预备知识.有了锐角三角函数的概念,解直角三角形,引入任意角三角函数便有了基础.运用直角三角形中边与角的关系解直角三角形是本章的第二个重点,因为它是学习本章概念与理论的应用.解直角三角形还有利于数形结合,通过解直角三角形,才能对直角三角形的概念有较为完整的认识,才能把直角三角形的判断、性质、作图与直角三角形中边…     

研究迟滞微分系统稳定与控制的一种新方法

基于李雅普诺夫判定稳定性两种方法,用一种三角函数型辅助方程及其相关结论,研究了一种迟滞微分系统的求解、稳定与控制问题.步骤一、给出一种三角函数型辅助方程的精确解.步骤二、通过三角函数变换与三角函数型辅助方程,将一种迟滞微分系统的求解问题转化为非线性代数方程组的求解问题.步骤三、借助符号计算系统Mathematica求出代数方程组的解,并构造了一种迟滞微分系统的精确解.步骤四、通过分析研究精确解,获得了一种迟滞微分系统的稳定与控制相关的几种结论.     

三角函数误区点击

纵观新教材下的三角函数,由原来的70多个课时,缩简为30多个,其课改的根本目的在于减轻学生不必要的负担.但三角函数对培养学生的应用意识,熟练掌握数学语言,培养学生的数学能力,仍是难得的好教材.因此,我们有必要在正确贯彻新教材的思想意图,最大限度地在培养能力等方面加大钻研力度.笔者集多年的教学实践,以及学习新教材的点滴体会,谈谈学生学习三角函数时容易陷入的一些误区,力求收到理清解题思路,提高学习效率之目的.误区之一:类比法求三角函数的单调区间例1求函数y=sin4π-2x的单调递增区间分析:学生往往类比解不等式y=sinx-π4≥21,sin…     

三角函数线在解答中的应用

单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示 .用函数线的数值来代替三角函数值比由定义所规定的比来得出三角函数的值优越得多 .因此 ,三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具 .透彻理解在单位圆中的三角函数线并能灵活运用是解三角题的重要技巧 .例 1　 ( 1 992年高考题 )在 [0 ,2π]上满足ｓｉｎｘ≥12 的ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) 0 ,π6 .　　　 (Ｂ) π6 ,5π6 .(Ｃ) π6 ,2π3. (Ｄ) 5π6 ,π .图 1　例 1图分析　由图 1中很容易看出在 [0 ,2π]上满足条件的ｘ应满足 :π6≤ｘ≤5π6 ,故选 (Ｂ) .评注　对于这类简单的三角…     

随机KdV方程的白色泛函解

利用一个辅助性方程和埃米尔特变换研究一类非线性随机偏微分方程的精确解.此外,还获得了方程的随机雅克比椭圆函数类波解,随机类孤子解和随机三角函数波解.     

解三角函数问题要注意隐含条件

在三角函数部分 ,利用三角函数的图像、性质及公式进行三角函数的求值、化简和证明是基本的内容 ,而求值必须分清是多值还是单值 ,化简和证明要做到严谨、言之有理 .因此 ,在解三角函数问题时 ,一定要注意角的限制条件 ,特别是那些不易被发现的隐含条件 .一、注意挖掘题设中的隐含条件 ,正确解题三角中的有些问题 ,已知中虽然没有明确角的具体范围 ,但题设中给出的数据对角的范围有限制 ;还有些问题即使给出了角的某一范围 ,但所给数据对角的范围作了进一步的限制 .解题中如若没有发现题设中的隐含条件 ,极易出现错解 .例 1　已知 3ｓｉｎ2 …     

单位圆在三角不等式中的应用

单位圆是数学中研究问题与解决问题的一个重要工具。通过单位圆所表示的三角函数线段能将比较抽象的三角函数量,表示成形象的有向线段,从而能将非几何的问题转化成几何问题来解决。本文拟就单位圆在三角不等式中的应用谈谈几点想法. 一、用单位圆解三角不等式某些三角不等式,利用单位圆来解,比较形象直观,并且可以加深学生对三角函数定义和性质的理解、     

三角函数线在解题中的应用

三角函数线是三角函数的几何形式,高中数学课本应用三角函数线作出了正弦函数的图像.本文再介绍三角函数线在求角、求值、解证三角不等式、反三角函数等方面的应用.巧用三角函数线解题直观、简便.     

非线性热传导方程的几类精确解

通过引入恰当的试探函数,将非线性热传导方程化为易于求解的常微分方程组并对其求解,进而得到非线性热传导方程的孤波解、奇异行波解、三角函数周期波解等一些不同形式的行波解.     

在三角方程解的通值教学上的一些经验

数学教学大纲指示:“不必强记反三角函数的通值公式.”“要求出方程的一切解(不强求把一切解的通值再加综合).”在教反三角函数时,是从图象和单位圆使学生了解反三角函数的多值性,并根据图象和单位圆得出通值,不归纳成公式.在这一基础上,本学期又研究了数学教学大纲和柏拉斯基著的中学数学教学法;在教三角方程这一单元时,学生写出三角方程的一切解是依靠单位圆,做到不强记通值公式.因为解三角方程写出通值之前,先要求得基本三角方程;因此只就解基本三角方程为例,介绍写出解的通值的这一点做法.     

一类推广的KdV方程的新行波解

本文研究了一类推广的Kd V方程的行波解求解的问题.利用新的G展开法,并借助Mathematica计算软件,获得了该方程的含有多个任意参数的新的行波解,分别为三角函数解、双曲函数解、有理函数解和指数函数解,扩大了该类方程的解的范围.     

一个三角极值的几何解法和引伸

1990年全国统一高考理工科试卷的第19题是一个三角函数的极值问题: “函数y=sinxcosx sinx cosx的最大值是__”此题绝大多数都是利用三角函数的性质去解的,现介绍一个简便而直观的几何解     

一类广义Zakharov方程的精确行波解

本文研究了一类广义Zakharov方程的精确解行波解的问题.利用改进的G/G展开方法,借助于计算机代数系统Mathematica,获得了具有重要物理背景的广义Zakharov方程一系列新的含有多个参数的精确行波解,这些解包括孤立波解,双曲函数解,三角函数解,以及有理函数解.