一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

一个不等式的再推广

问题[1 ] 　设ａ1 ,ａ2 ,ａ3,ａ4∈Ｒ ,求证ａ31 ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4) 21 2 ( 1 )文 [1 ]讲 ,此不等式的证明需要在较高的理论层次上去探讨 ,这不是中学课堂上所能解决的 .但文 [2 ]仅仅使用了中学生最熟悉的基本不等式 ,给出不等式 ( 1 )的两个简单证明 ,并将其推广为 :设ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 … ａｎ =ｓ,则有ａ31 ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1 ) (ｎ≥3) ( 2 )事实上 ,应用基本不等式 ,不等式 ( 2 )还可以进一…     

一个三角形不等式的再推广

在三角形中,有一个熟知的不等式命题为命题1 若△ABC的三边的长分别为a、b、c,外接圆半径为R,则 1986年,文[1]在圆内接四边形中,推出了一个类似的命题: 命题2 若圆内接四边形ABCD的四边长长分别为a、b、c、d,圆的半径为R,则 1987年,文[2]将上述命题一般化,进一步证明了命题3 若圆内接n边形A_1A_2…A_n的n边的长分别为a_1、a_2 …、a_n,圆的半径为R,则等号当且仅当A_1A_2……A_n为正n边形时成立。     

一个分式不等式的再推广

1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R ,x y z=1,求证:x4y(1-y) z(1y-4z) x(1z-4x)≥16.(1)次年,尹文华老师将其推广,得到如下结果[1]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,求证:x4y(1-y2) z(1y-4z2) x(1z-4x2)≥81.(2)2004年,李铁烽老师将上述两个不等式统一推广为[2]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,n是正整数,求证:x4y(1-yn) z(1y-4zn) x(1z-4xn)≥3n 32n-9.(3)本短文旨在推广不等式(3),笔者提出并证明下述定理若x,y,z,n∈R ,m≥2,且x y z=1,则xmy(1-yn) z(1y-mzn) x(1z-mxn)≥33nn--m 12.(4)证明由幂平均不等式,可得…     

一个代数不等式的再推广

文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理　设ｘ =ｘ(ｔ) ,ｙ =ｙ(ｔ) ,ｔ∈Ｄ Ｒ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ,ｙ是Ｄ上单调函数 (可不严格 ) ,Ａ =ｘ(ｔ1)·[ｙ(ｔ1) - ｙ(ｔ2 ) ]+ｘ(ｔ2 )[ｙ(ｔ2 ) - ｙ(ｔ3) ]+… +ｘ(ｔｎ -1) [ｙ(ｔｎ -1) -ｙ(ｔｎ) ]+ｘ(ｔｎ) [ｙ(ｔｎ) - ｙ(ｔ1) ],ｎ >1 ,ｎ∈Ｎ .则1 )若ｘ ,ｙ增减性相同 ,得Ａ≥ 0 ,且当且仅当ｘ(ｔ1) =… =ｘ(ｔｎ)或 ｙ(ｔ1) =… =ｙ(ｔｎ)时 ,Ａ =0 ;2 )若ｘ ,ｙ增减性相反 ,得Ａ≤ 0…     

一个分式不等式的再推广

《数学通报》1 996年第 5期第 1 0 1 3号问题 :设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ =1 ,试证1ａ3(ｂ+ｃ) +1ｂ3(ｃ+ａ) +1ｃ3(ａ+ｂ) ≥ 32 (1 )近年来 ,多篇文章用不同的方法给出了不等式 (1 )的证明和幂指数推广 ,文 [1 ]列出了 1 5篇参考书目 ,并给出了不等式 (1 )的两个漂亮的幂指数推广 .本文从指数和项数方面考虑 ,给出不等式(1 )的两个推广 ,文 [1 ]中的两个推广定理是本文的两个推广定理的特例 .利用均值不等式 ,易证 :若ａ,ｂ是正数 ,且ａｂ= 1 ,ｍ为任意实数 ,有ａｍｂ +ｂｍａ ≥ 2 (2 )定理 1　设ｘｉ∈Ｒ+,(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,…     

一个不等式结论的再推广

结论[1] 设xi＞1(i=1,2,3,…,n),k是正整数,n≥2,则     

一个优美的代数不等式

文 [1 ]有一个优美的不等式猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ=1ａｋ ｎｋ=11ａｋ ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ<ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2 (1 )本文证明这个猜想 .记Ｆｎ=ｘｎ 1ｘｎ (ｘ∈Ｒ ,ｎ∈ Ｚ-) ,则Ｆｎ≥ 2 .容易验证有如下引理 1　若ｍ1,ｍ2 ∈Ｚ ,ｍ1≥ｍ2 ,则Ｆｍ1 ｍ2 =Ｆｍ1Ｆｍ2 -Ｆｍ1-ｍ2 .引理 2　当ｎ≥ 2时 ,Ｆｎ≥ 2ｎＦ1- 2 (2ｎ- 1 ) (2 )证明　当ｎ =2 ,3时 ,文 [1 ]已证 (2 )式成立 ,即有Ｆ2 ≥ 4Ｆ1- 6 ,Ｆ3≥ 6Ｆ1- 1 0 .假设ｎ <ｋ时 ,(2 )式成立 .则当ｎ =ｋ (ｋ≥ 4)时 ,1 )若ｋ为奇数 ,…     

一个优美不等式的证明

在中国不等式研究小组的网站(http:∥zgbdsyjxz.nease.net)上湖北黄石二中杨志明老师提出如下一个优美的分式不等式:     

一个优美的几何不等式

定理设△ABC的边长为a,b,c,对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc,则 (1)/(ra)-(1)/(rb)2+(1)/(rb)-(1)/(rc)2+(1)/(rc)-(1)/(ra)2 ≥4(1)/(a)-(1)/(b)2+(1)/(b)-(1)/(c)2+(1)/(c)-(1)/(a)2.     

一个不等式的再推广及应用

2003年第64届普特兰数学竞赛A2题:设a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn都是非负实数,证明:(a1a2…an)1n (b1b2…bn)1n≤[(a1 b1)(a2 b2)…(an bn)]1n.文[1]给出该不等式的如下推广:如果xij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为非负实数,则(x11x12…x1n)1n (x21x22…x2n)1n … (xm1xm2…xmn)1n≤[(     

一个不等式的再证与推广

已知ａ>13,ｂ>13,ａｂ=29,求证ａ ｂ<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知　ａ1 >14,ａ2 >14,ａ3>14;ａ1 ａ2 ａ3=24 3.求证　ａ1 ａ2 ａ3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程ｘ2 -ｔｘ 29=0中 ,还可由判别式Δ=ｔ2 - 89≥ 0 ,得到不等式　ｔ=ａ ｂ≥2 23.当然…     

一个不等式的再推广及应用

2003年第64届普特兰数学竞赛A2题： 设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn都是非负实数，证明：     

一个不等式的再推广及应用

文 [1 ]给出了一个不等式 :2 (n 1 - 1 ) <∑ni=11i<2n - 1　 (n>1 )(1 )文 [2 ]将 (1 )式推广为 :11 -k[(n 1 ) 1-k- 1 ]<∑ni=11ik <11 -k·n1-k- 11 -k 1 (2 )(k∈R且k>0 ,k≠ 1 ,n>1 )文 [3]给出了不等式 (2 )的简证及其几何直观 .文 [4 ]又将 (1 )式推广为 :命题　已知 {an}为等差数列且a1>0 ,公差d>0 ,则2d(an 1- a1) <∑ni =11ai<2d(an -a1) 1a1(3)本文将采用文 [3]的方法 ,对 (2 )、(3)两式进行统一推广 ,并给出其应用 .定理　设 {an}为等差数列 ,且首项a1>0 ,公差d >0 ,k∈R 且k≠ 1 ,n>1 ,则1d(1 -k) (a1-kn 1-a1-k1) <∑…