解二元二次方程组的通法

对于一般的二元二次方程组A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0,A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0。可以写成下列形式 A_1x~2+(B_1y+D_1)x+ A_2x~2+(B_2y+D_2)x+ (C_1y~2+E_1y+F_1)=0 (1) (C_2y~2+E_2y+F_2)=0 (2)也可以把它写成y的降幂排列形式,如果把x~2、x作为两个未知数,那么解此二元一次方程组,有     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

“关于解析几何教学的几点注意”一文的几点意見

学习数学通报1963年第六期发表的文章:“关于解析几何教学的几点注意”,仅就文中论述的几个问题提出商讨意见。 1.该文第二段:“解析几何教学中一些问题的商榷”的例2中有下面的一段论述: “直线的方程是一次的”这种说法是不确切的,应当说“直线的方程可以是一次的”。“可以”这两个字,在此是不能省略的。该文作者提出的论据是:在实数范围内,方程x-y=0和x~3-y~3=0同解,因之,方程x~3-y~3=0也可以说是第一、第三象限的分角线l的方程。实际上方程x~3-y~3=0可以变形为(x-y)(x~2++xy+y~2)=0,从而方程x~3-y~3=0的解包含于方程x-y=0和x~2+xy+y~2=0之中。方程x~3-y~3=     

应用参数解方程组的若干技巧

初中课本《二元二次方程组》一章,给出了特殊的二元二次方程组的解法。笔者认为:在教学中如能适当地指导学生引入参数解题,不但可以简化计算,而且有利于启迪学生思维,培养解题能力。本文通过实例,阐述引进参数解方程组的若干技巧。一引进参数确定方程组中未知数的比值例1 解方程组 4x~4-3xy~3-54y~4=4, x~2-3y~2=1. 分析:这类方程组的特点是:每个方程,除常数项外,关于未知数x,y是齐次的,可用如下     

商高定理与方程x~2+y~2+z~2=w~2

华罗庚著《数論导引》中“商高定理”一节,見有方程 x~2+y~2+z~2=w~2 (1)习題一则,遂默思其解,得到了解法数种。現在写出来向同志們請教。 (一) 我們称方程 x~2+y~2=z~2 (2)的解[x,y,z]为“商高数”。如有两組商高教,其一組之第三項(或其倍数)适与另一組之第一或第二項(或其倍数)相等,以第一組之前两項,代另一組之前两項中之一項,那么,就得到方程(1)的一組解。设两組商高数:     

一类取值范围问题的解法探讨

例1设x,y为实数,且x~2+xy+y~2= 3,求x~2-xy+y~2的最大值和最小值。分析已知条件和待求式都是二次齐次式,可采用判别式法求x~2-xy+y~2的最值。     

勾股定理的推广

讀华罗庚著“数論导引”第十一章§6商高定理的推广以后,使我連想起求不定方程x~2+y~2=z~n的整数解,进而想到求x~2-y~2=z~n的整数解,更进一步想到求x~2+αxy+βy~2=z~n的整数解,最后又找到了求某一类型ax~2+bxy+cy~2=dz~n的不定方程的整数解公式。另一方面,我們知道至今尚未解决費尔馬(Fermat)問題:当n>2时不走方程x~n+y~n=z~n已不再有xyz≠0整数解。因而,我又連想到更一般地判定关于ax~n+by~n=cz~n型不走方程是否有整数解的問題。現将我在这方面获得的点滴心得体会介紹出来,供大家参考。由于我身边沒有更多的数論方面的参考书,也很可能同志們还有比这更好的見解,因此还盼望多多指教。为了节省篇幅,我尽量把某些步驟省去。現将各部分分述于下:     

关子簡单的二元二次方程組的同解性

教师在讲授簡单的二元二次方程組的解法时,一般地說,学生是难以透彻理解的。特別是由两个二元二次方程組成的方程組,有些学生是知其然而不知其所以然,有些学生是根本清理不出解題过程的綫索。总的原因,可以說是沒有深透的搞清方程組的解以及求解过程的道理。为此,有必要将方程組的解題过程中,有关同解变形的道理浅显而又明了的教給学生,不能有所含糊,更不能只教給学生一些解答方法。这里,个人想就有关問題談談看法。 (一)方程組的解所謂方程組的解,就是滿足方程組中每个方程的未知数的一組数值。求出方程組的一切解的过程,叫做解方程組。这一点,在不少教师思想中,似乎是显明易懂的,因而輕輕带过,强調解的概念不够突出。事实上,学生并非如教师想象的那样易于理解,有必要作較     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

用凑微分法解微分方程25例

<正> 有些微分方程题目用凑微分的方法来解比较简单,本文举出25个例,前二个例是93年研究生入学试题。例1 求微分方程x~2y~1+xy=y~2满足初始条件y|_(x=1)=1的特解。(答案:y=2x/(1+x~2))     

安徽高中数学竞赛题的变式与推广

<正>文[1]和文[2]分别给出了2006年安徽省高中数学竞赛初赛中的题目:"设x,y是实数,且满足x~2+xy+y~2=3.则x~2-xy+y~2的最大值和最小值是__."的三种思路三种解法与二种思路三种解法.笔者拜读了之后颇有感想,下面给出这个题目的一个变式,供大家参考.由于xy=x~2·y/x,y~2=xy·y/x,于是我们可     

不等式组的解的确定

不等式組的解法对中学生来說是沒有什么困难的,他們都懂得根据同解不等式定理分別求出不等式组中每一个不等式的解,然后綜合这些解来确定不等式组的解。可是就在最后一步中往往发生錯誤,特別是在解二次不等式組时更是常見,例如,一个不等式的解是-26,它們共同的解是什么?相当一部分的学生是答不出来的。究其原因,是多数学生限于年龄,想象力不够丰富。为了解决这个问题,适当注意教学的直观原則,利用数軸来說明是完全必要的。利用数軸来說明不等式組的解必須由浅入深,循序漸进:首先是解决数軸的一些基本問題,其次是在确定一次不等式組的解时就要用它来說明,則最后在确定二次不等式组的解时就不致有困难了。现在分述     

待定系数法解一类条件最值题

问题设x,y是实数,且a_1x~2+b_1xy+c_1y~2=m(m≠0)时,求S=a_2x~2+b_2xy+c_2y~2的取值范围.文[1]利用构造一个一元二次方程,由判别式△≥0给出解以上齐二次问题一种通法,我们不妨称之为判别式法,此法较早见于文[2],而文[3]曾举例指出,此判别式法可能产生增解,若缺检验这一步将可能导致错误     

关于方程x~2+x-2y~2=0的解法

在1963年第7期的数学通报上刊登了吳方同志的“化三角为方形”一文,提出了关于不定方程n(n+1)/2=m~2的解法問題,本文介紹一个新的方法。求不定方程 x_(?)(x+1)/2=y~2的一切自然数解的問題相当于求不定方程 x~2+x-2y~2=0 (1)的一切自然数解(为叙述方便起見,下面举凡“自然数解”一律写为“解”)。首先,我們注意到x_1=1,y_1=1是方程(1)的解,下面我們証明不定方程(1)的所有自然数解皆可由     

用配方法确定无心二次曲线的位置

设二元二次方程a_(11)x~2+2a_(12)xy+a_(22)y~2+2b_1x+2b_2y+c=0表示无心二次曲线(即I_2=0),如何确定它的位置? 当方程(1)表示无心二次曲线(即I_2=I_3=0)时,只要对方程(1)配方,便可直接得到它所表示的两条直线(两条平行的实直线、两条重合     

二元二次方程组求解的一个几何解释

在解析几何学中,我们把二元二次方程在平面的仿射坐标系(包括直角坐标系作为其特别情形)里所代表的曲线叫做二阶曲线。通过用坐标变换把方程化简的方法,最后可以断定,二阶曲线按其形状来分共有九种,各种曲线的最简单的方程是: 1.椭圆(包括圆) x~2+y~2-1=0, 2.虚椭圆 x~2+y~2+1=0, 3.双曲线 x~2-y~2-1=0, 4.一对相交的直线 x~2-y~2=0, 5.一个点(点椭圆或者说是一对虚的相交直线) x~2+y~2=0, 6.抛物线 x~2-y=0,     

R上含有一个参数的二元二次多项式因式分解浅谈

文[1]例解了这样一个问题:k为何值时,f(x,y)=3x~2+11xy-4y~2+kx+21y-5可以分解成两个一次式的乘积?并分解之。这是R上含有一个参数的二元二次多项式的因式分解问题。对于此类问题,似有续笔之需。 众所周知,并不是所有的二元二次多项式     

結式定理的一種證法

在解多個未知量的高次方程組時,消去法是重要的方法,而施行消去法的主要工具则是結式,關於結式定義及其行列式表示法,各種高等代數書中都有介紹,但在證明結式及其行列式表示式的相等時,所用的方法或則偏於抽象,不易為同學所徹底接受〔例如庫洛什高等代數數程(以下簡稱庫高)及奥庫涅夫高等代數(以下簡稱奧高)中的證法〕,或則不够詳明(例如狄克遜初級方程式論§112的證法),下面先略述這些證法來說明我的意見,然後介紹一種直接計算的方法,不算太長,但是比較好懂。一.常見的證法概述以下綜合上引三書的講法,作一概括的叙述,以說明問題之所在。 (一) 先談一個特殊情形,即當域P上多項式f(x),g(x)次數均大於零,且首係數均為1時: f(x)=x~n+a_1x~(n-1)+…+a,     

二元二次方程组为何产生增解

学生解二元二次方程组x y 1=0① x~2 4y~2=8②一般先从①式得y=-x-1③,代入②得x_1=-2,x_2=2/5。再将x_1,x_2代入③或①式得y_1=1,y_2=-7/6。于是原方程组的两个解是     

关于教材教法的点滴认识

(一)统编教材《高中数学》第四册习题二有一题:“求下面数列的前n项和: x+1/y,x~2+1/y~2,x~3+1/y~3,…x~n+1/y~n….”此题的解答无论是在师生中广为流传的《全国统编教材高中数学习题解》(以下简称《题解》)或高中数学第四册《教学参考书》(人民教育出