一个优美的几何不等式

定理设△ABC的边长为a,b,c,对应的旁切圆半径分别为ra,rb,rc,则 (1)/(ra)-(1)/(rb)2+(1)/(rb)-(1)/(rc)2+(1)/(rc)-(1)/(ra)2 ≥4(1)/(a)-(1)/(b)2+(1)/(b)-(1)/(c)2+(1)/(c)-(1)/(a)2.     

一个不等式的最佳系数

文[1]给出了以下不等式: 　　若a,b,c为满足a+b+c=1的正数,t≥1,则(ta2+b)/(b+c)+(tb2+c)/(c+a)+(tc2+a)/(a+b)≥(t+3)/(2).(1) 　　文[2]改进了(1)式中的t的取值范围,指出只要t≥(1)/(4),(1)式就成立.……     

指数平均与对数平均

设 a,b 为两个相异的正数,熟知有正数 a,b 的对数平均 L(a,b)=(b-a)/(lnb-lna).数((b~b)/(a~a))~(1/(b-a))/e 称为正数 a,b 的指数的平均,记为 E(a,b).本文证明个主要结论:1)((b~b)/(a~a))~(1/(b-a)/e 确是某一平均;2(ab)~(1/2)相似文献   

数学问题解答

2013年8月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 2136已知a,b,c是满足abc=1的正数,求证:(λa+1)/(b+c)+(λb+1)/(c+a)+(λc+1)/(a+b)≥3(λ+1)/2(λ≥3) (江西南昌大学附中宋庆330047) 证明 a3+b3+c3+3abc≥a2(b+c) +b2 (c+a)+c2(a+b)(参见本刊1994年10月号问题918的解答)与以下不等式等价.     

一道波斯尼亚奥赛题及其加强的统一推广

对如下一道竞赛题:设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,证明:(a5+b5)/(ab(a+b))+(b5+c5)/(bc(b+c))+(c5+a5)/(ca(c+a))≥3(ab+bc+ca)-2①文[1]给出如下三个加强:加强1设a,b,c是正实数,且a2+b2+c2=1,则     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

比较a/b与(a 2b)/(a b)的大小

设a,b∈R~ 且a>b,讨论并比较a/b与a 2b/a b的大小。原题中含有两个变元a、b,为使问题化繁为简,引进新的变元t,且令t=a/b,显然有t>l,则(a 2b)/(a b)=(t 2)/(t 1)>1,这样,要讨论的两个分式的大小比较就转化为讨论t与(t 2)/(t 1)的大小比较了。 1°设t=t 2/t 1,则有t~2 t=t 2t~2=2,由     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…     

一道2005年全国联赛试题的别解

2005年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题为: 设正数a、b、c、x、y、z满cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x2)/(1 x) (y2)/(1 y) (z2)/(1 z)的最小值.     

利用过定点直线系的斜率研究试题的解法

不少数学刊物上都研究过形如(ay+b)/(cx+d)或能够构造式子(ay+b)/(cx+d)的题目,利用斜率模式a/c·(y+b/a)/(x+d/c),求解取值范围或最值.比如:实系数一元二次方程x2+ax+2b=0的一根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,则(b-2)/(a-1)的取值范围是_______.     

另解课外练习题五则

<正>题一《中学生数学》2017年4月下课外练习题初一2(2).已知a/(1+a)+b(/1+b)=(a+b)/(1+a+b)且ab≠0,求a+b的值.解设a+b=-m,则b=-(a+m),题中等式的右边(a+b)/(1+a+b=-m/(1-m)=m/(m-1)(m-1≠0)等式的左边     

一道创新高考题的赏析及启示

1 试题回放 题目 (2010年湖北文理10)记实数x1,x2,…,xn中的最大数为maxx1,x2,…,xn},最小数为min{x1,x2,…,xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为 l=max{(a)/(b),(b)/(c),(c)/(a)}·min{(a)/(b),(b)/(c),(c)/(a)}, 则"l=1"是"△ABC为等边三角形"的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件     

运用整体思想代入求值

<正>代数式的求值问题有两类:一类是给出字母的取值,直接带入求值;还有一类则是给定一个条件等式,而式中的字母又无法具体求解或者求起来不便,这时就可以考虑用整体的思想代入求值.一、直接进行整体代入1.当(a-b)/(2a+b)=5时,求3(a-b)/(2a+b)+(2a+b)/2(a-b)的值.解∵(a-b)/(2a+b)=5,     

新题征展(49)

A 题组新编 1.在△ABC中,∠C=2∠B. (1)则(sin3B)/(sinB)等于( ). (A) (a)/(b) (B) (b)/(a) (C) (a)/(c) (D) (c)/(a) (2)则边c等于( ). (A) 2bsinC (B) 2bcosB (C) 2bsinB (D) 2bcosC (3)求证:c2-b2=ab. (4)已知△ABC三边组成一个公差为1的等差数列(且最大角是最小角的2倍)求三条边长.     

一道2011美国数学奥林匹克试题的直接证明

2011年美国数学奥林匹克有下面的一道不等式证明题:设a,b,c>0,且a2+b2+c2+(a+b+c)2≤4,求证:(ab+1)/(a+b)2+(bc+1)/(b+c)2+(ca+1)/(c+a)2≥3.文[1]中安振平老师用换元法给出了证明,并给出两个加强.在享受安先生高超的变形技巧时,思考能否直接证明,从而得到一种简洁的直接证明,现介绍如下:     

抛物线过焦点弦的两个性质

在高考中抛物线的焦点弦及焦点三角形面积是解析几何的热点之一,对于抛物线过焦点弦的弦长公式∣AB∣=(2p)/(sin 2α)和顶点O△连接的OAB的面积公式SOAB=(p2)/(2sin α),在解决抛物线过焦点弦的问题,可避免冗长的推理和运算,大大降低难度,使解题过程简捷而明了,从而获得事半功倍的解题效果!……     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)     

由一道习题的两种解答想到的

下面是一道有关均值不等式求最值的习题的两种解答过程. 设0相似文献   

不等式∑(a/b+c)＜1+(23/3)的初等证明

文[1]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了: 在△ABC中,若a,b,c为其边长,则有 (a)/(b+c)+(b)/(c+a)+(c)/(a+b) <1+(23/3).(1)     

借用向量分解定理巧求f(x0)的范围

已知函数 f ( xi) ( i =1,2 ,3 ,… )的范围 ,求 f( x0 )的范围 .笔者在同行们研究的基础上 ,借用向量分解定理 ,使这类问题的解决更加简单、明了 ,可操作性强 ,便于实施 .例 1　已知一次函数 f( x) ,1≤ f ( 1)≤2 ,3≤ f ( 2 )≤ 4,试确定 f( 5 )的范围 .解　设一次函数为 f( x) =ax + b,则　 f( 1) =a+ b,f( 2 ) =2 a+ b,f( 5 ) =5 a+ b.记　 p1→ =a+ b,p2→ =2 a+ b,p=5 a+ b显然 p1→ ,p2→ 不共线 ,根据向量分解定理p=λ1 p1→ +λ2 p2→ 　 (λ1 ,λ2 为实数 ) ,即　 5 a+ b=λ1 ( a+ b) +λ2 ( 2 a+ b…