拉格朗日乘数法求解极值点的讨论

文中对拉格朗日乘数法极值点的求法进行了补充说明.     

拉格朗日乘数法的几何理解

结合目标函数等值线族与条件曲线的图像,从几何上认识拉格朗日乘数法,理解拉格朗日乘数法在解决条件极值问题过程中的必要非充分性.     

基于梯度的拉格朗日乘数法的几何直观

针对目前大学数学教材中拉格朗日乘数法缺乏几何直观的问题,本文利用目标函数与约束函数的梯度关系,从几何角度对拉格朗日乘数法进行了详细的分析,并结合具体算例和几何图形给予说明,进而达到从几何直观揭示拉格朗日乘数法的本质,为代数表达式的几何解释提供了范例.     

取代拉格朗日乘数法

给出多元函数意义,纠正现今众多文献中康托尔的一个错误.从极值(点)的几何意义逐步推导出(n×n)方程组求解等式条件下n元函数极值点的新方法;用外积得出拉格朗日乘数表达式解决了上个世纪80年代钱伟长提出的乘子是否唯一的问题.给出了不定方程(组)确定显函数组命题.本文指出对应思想方法乃处理问题的重要工具.     

利用Lagrange乘数法证明加权平均不等式

在高等数学中,证明不等式的常用方法是利用函数的单调性及函数的极值或最值．文献[1]用多元函数极值性质证明了算术-几何平均不等式,本文用Lagrange乘数法证明在应用上很重要的一个不等式—加权平均不等式．不等式称为加权平均不等式其中等号当且仅当时成立．行证明即可．构造Lagrange函数对诸X;求偏导并令其为零,则有解得,将其代中就得到山（下转第37页）为唯一驻点．因为是诸的连续函数,由文献[3]知,处取得最小值所以等号当且仅当时成立．利用Lagrange乘数法证明加权平均不等式@张俊祖$西安公路交通大学[1]薛红,条件极值在证明不…     

利用拉格朗日乘数法证明两个不等式

文中利用利用拉格朗日乘数法证明了两个不等式,其中一个不等式验证了发表文献中一个类比猜想不成立,另一个不等式验证了发表文献中一个类比猜想成立.     

关于拉格朗日乘数法的一点注记

建立了多元函数在任意有限多个约束条件下的极值点和拉格朗日函数极值点之间的一一对应关系,从而找到拉格朗日函数的极值点也就找到了多元函数在这些约束条件下的极值点.从另一角度给出了拉格朗日乘数法的证明.     

关于拉格朗日乘数法的几何意义

利用梯度和方向导数的概念讨论函数在曲线或曲面上的变化率,从而给出拉格朗日乘数法的一个直观的几何解释.     

光线折射定律的多元函数极值模型(备课讨论笔记)

问题 :光线从一种均匀介质穿过界面 (未必是平面 ) ,进入另一种均匀介质 ,折射规律是什么 ?(注 :在光学里这是已知的折射定律 ,但是对大学一年级学生 ,未必熟悉 ) .教学目的 :引导学生用多元函数极值方法探索光学折射定律 .数学应用 .分析过程 :图一1 .图示 :先画界面Σ (数学抽象为一无厚度之曲面 ) ,Σ以上为介质 1 ,以下为介质 2 (图一 ) .设光线从介质 1中的点 A处 ,直射到界面上的点 M,进入介质 2 ,再直射到点 B(注 :因为在均匀介质中 ,光线直线传播 ,且光速不变 ) .2 .可想到的物理原理——光线引进的最短时间原理 (费尔马原理 ) :…     

关于条件极值的注记

文中结合反例,分析学生在求条件极值时的常见错误,给出求条件极值的正确方法.     

Lagrange multipliers for regular and singular problems in the calculus of variations

A Lagrange multiplier rule is presented for a variational problem of Bolza type under hypotheses that allow certain components of the coefficient matrices involved in the functional being minimized to fail to be integrable near an endpoint of the interval on which the relevant functions are defined. The problem is also addressed when all coefficients are of classL ², but not necessarily bounded. Applications are made to ascertain properties of functions providing equality to certain singular and regular integral inequalities appearing in the literature.     

A short proof of a general multiplier rule

A general multiplier rule obtained by Hestenes is shown to follow directly from the Lagrange multiplier rule by a simple compactness argument. A similar simplification is effected in the proof of Gittleman's extension of Hestenes' rule.     

具有等式与不等式约束条件拟可微优化的Lagrange乘子型最优性条件

讨论了不等式约束优化问题中拟微分形式下Ｆｒｉｔｚ Ｊｏｈｎ必要条件与 Ｃｌａｒｋｅ广义梯度形式下Ｆｒｉｔｚ Ｊｏｈｎ必要条件的关系．在较弱条件下给出了具有等式与不等式约束条件的两个Ｌａｇｒａｎｇｅ乘子形式的最优性必要条件,在这两个条件中等式约束函数的拟微分和Ｃｌａｒｋｅ广义梯度分别被使用。     

Necessary conditions for an extremum in the calculus of variations with nonsmooth phase variables

Necessary conditions for an extremum in a general isoperimetric problem not involving partial derivatives with respect to phase variables are obtained. Translated fromMatematicheskie Zametki, Vol. 61, No. 6, pp. 922–930, June, 1997. Translated by N. K. Kulman     

部分线性变系数模型的Profile Lagrange乘子检验

对于部分线性变系数模型附有约束条件时的估计与检验问题,基于Profile最小二乘方法给出了参数部分以及非参数部分的约束估计并研究了它们的渐近性质,并针对约束条件构造了Profile Lagrange乘子检验统计量,证明了该统计量在原假设下的渐近分布为χ2分布,从而将Lagrange乘子检验方法推广到了半参数模型上.     

Lagrange multiplier rules for extremals in linear spaces

The aim of this paper is to formulate extremals in real, linear spaces, and to derive necessary conditions in the form of Lagrange multiplier rules for the extremals. Using a separation of intrinsic cores in real, linear spaces, the multiplier rules are proved under some conditions.The author wishes to thank the referee for a number of valuable suggestions, particularly the proof of Theorem 3.1.     

On changing the spaces in Lagrange multiplier rules for the optimal control of non-linear operator equations

In this paper it is shown, how Lagrange multiplier rules for nonlinear optimal control problems in Banach spaces can be transferred by a simple device from the initial space to a more useful Banach space, in order to avoid unhandy dual spaces. The method is applied to state-equations of the type x-K(x,u)= 0, where the Fréchet-derivative of K has a certain smoothing property which is typical for integral operators.     

数学分析中的条件极值问题

围绕多元函数条件极值问题展开讨论,指出利用函数凸性来解决优化分析问题的思想方法,并研究了两个与凸性相关的不等式.     

Optimality Conditions and Lagrange Duality for Vector Extremum Problems with Set Constraint

The necessary and sufficient optimality conditions for vector extremum problems with set constraint in an ordered linear topological space are given. Finally, Lagrange duality is established.