例谈递推思想在中学数学中的应用

教学思想方法是人们通过教学活动,对数学知识所形成的一个总的看法或观点.它对人们学习和应用数学知识解决问题的过程中的思维活动,起着指导和调控的作用.突出数学思想方法的教学和渗透,是当代数学教育的必然要求,也是数学素质教育的重要体现.递推思想作为中学阶段的一种重要思想方法,有着较为广泛的应用,因此我们有必要对这一思想进行深入挖掘和分析总结.     

用递推方法解计数问题

通过建立递归关系解决问题的方法称之为递推方法 .递推方法是探索数学规律和解题思路的重要方法之一 ,它对几乎所有的数学分支都有着重要作用 .随着计算机的广泛应用 ,这种方法越来越受到重视 .在数学教学中 ,若能注意递推思想方法的培养 ,对于发展学生的解题能力和创造能力都是十分有益的 .递推关系是从很多计数问题中产生的 ,它也是递推方法的数学描述 .利用递推关系计数的一般步骤是 :1)用ａｎ 表示与ｎ有关的欲计数的个数 ;2 )计算一些初始值ａ1,ａ2 ,ａ3 ,…等 ;3)建立ａｎ 与ａｎ - 1,ａｎ- 2 ,… ,ａｎ -ｋ之间的递推关系 ;4 )求解递…     

活用数学思想和方法求证与递推数列有关的不等式

在数列问题中，经常出现一些非常规的递推式，直接运用递推法往往难以求解，这时我们可尝试将其转化，变成熟知的常规形式或已有的模型，或灵活运用一些常用的数学思想和方法与其他知识综合起来，从而达到解决问题的目的．下面以与递推数列有关的不等式的证明为例来探求数学知识之间的综合和数学思想方法的灵活运用．     

解决一类递推问题的通法策略与教学取向

递推数列是由递推公式所确定,利用递推公式求其通项通常要转化为特殊数列(如等差数列或等比数列)的通项或求和问题加以解决,基于通性通法来探究递推数列通项问题的解决策略有助力于学生在问题解决中增强对等差数列、等比数列、归纳类比推理等知识的理解与应用,让学生领会化归思想、递推思想、差分思想、归纳思想,能培养学生的探究精神和创新意识,对于训练学生的数学思维,提高运算能力和推理能力都大有裨益.解决这类问题的入口宽阔、方法灵活、创新意识强,也是近年高考的热点.对递推数列教学取向的探讨则有助于更好地理解新课程标准,把握课堂教学,提高教学的有效性.     

递推方法的运用技巧

递推方法就是通过寻找递归关系以解决实际问题的方法,用递推法解题的关键在于根据特定条件巧妙构造递推关系,经常将递推方法与其它数学思想方法配合运用,本文结合典型问题的解答来探讨递推方法的运用技巧.     

“破解”数列综合问题

高考对数列问题的考查主要涉及等差数列与等比数列、数列的通项与求和以及数学归纳法．数列型客观题主要考查等差数列与等比数列的基本性质;数列解答题大多以递推数列、数学归纳法内容为工具,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力,其难度大、区分度高．     

递推数列特征方程的来源探究及应用

递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法,递推数列问题能力要求高,内在联系密切,蕴含着不少精妙的数学思想和方法.而近几年高考对于递推数列的考查也比比皆是,文[1],文[2]详细探讨了几种递推数列的通项公式的求法,在解决"二阶常系数线性递推数列"及"分式型递推数列"时,提到了"特征方程法".但是没有给出使用这种方法的依据.笔者在与同行的交流中,发现很多老师,也仅仅是作为一种方法技巧告诉学生,至于为什么这样做?特征方程如何来的?都没有给出明确的解释."问渠那得清如许,为有源头活水来",笔者经过翻阅资料,思考后终于使这一问题迎刃而解.     

例说建立递推关系式解题

在解某些数学问题时,若能根据问题的实质和特征,建立递推关系式,就会使问题很巧妙地得到解决.下面举例说明,供读者参考.     

竞赛中递推型数列不等式问题的求解策略

递推公式背景下的数列型不等式一直是高中数学竞赛和高考考查的重点和热点.由于此类问题能比较和谐地融函数、三角和不等式等高中数学核心知识模块于一体,自然渗透常见的重要数学思想方法,对学生严谨的推理论证能力和良好的数学维品质的培养起着积极的作用,因此其一直被命者所青睐.本文主要以近年来的高中数学联赛试为例,就竞赛中的递推型数列不等式问题的求解略作一探究和总结,以突破对该类问题的教与学瓶颈,供读者参考.     

例说建立递推关系式解题

在解某些数学问题时,若能根据问题的实质和特征,建立递推关系式,就会使问题很巧妙地得到解决.下面举例说明,供读者参考.     

数学竞赛中的递推数列问题

在各级各类的数学竞赛中 ,大量的数列问题都是由递推关系给出的 .建立递推关系是研究数列的各种性质以及许多综合数学问题的有效手段 (例如某些组合数的计算问题 ) .因此 ,运用递推关系解决问题是一种非常重要的途径 .本文我们讨论处理递推关系的一些常用方法 .1　迭代法　迭代法就是反复运用题设所给数列 {ａｎ}的递推关系进行代换 ,每代一次 ,脚标ｎ就往下降 ,直到能用初始值表示ａｎ 为止 .但是在大多数情况下 ,迭代之后不能写成简单的形式 ,因此迭代不出任何结果 ,这时也可考虑进行适当的变换 ,然后再进行迭代 .例 1　 (1996年全国高中…     

递推数列中的数学思想方法

数列是高中数学中很重要的内容之一,是高考和数学竞赛的热点．而递推数列又是数列的重要内容,是高考和竞赛的亮点．纵观近几年各地高考数学试题,“递推数列”几乎为必考题,且多以“压轴题”的姿态出现．数列中蕴含着丰富的数学思想,而递推数列反映的是数列的本质特征,具有很强的逻辑性,是学习逻辑推理和化归能力的好素材,也是数学教学中渗透数学思想方法的好载体．     

着力于数学归纳法原理理解的教学设计

一、数学归纳法原理教学的重新构想1.传统的数学归纳法教学的弊端.传统的数学归纳法教学,常常是先说明不完全归纳法的可误性,再举些多米诺骨牌游戏之类的例子作引子,然后就直接“抛”出了数学归纳法的证明步骤,接着通过大量的例子操作,使学生掌握数学归纳法的步骤.这样的教学处理,学生只是死记了数学归纳法步骤,机械地套用,尽管教师反复讲解,结果学生还是觉得方法出来得突然,不能深刻理解数学归纳法中蕴涵着的数学递推证明思想.2.设计的意图是寻求突破对数学归纳法原理的理解.本设计的做法是创设问题情景,在问题的解决过程中,让学生体验递推…     

寻根探源、化归整合、渗透素养--基于深度学习的教学案例探索

本教学案例围绕类等比数列递推公式的转化问题,采用“一题多变”的教学模式,开展深度学习.教师通过预设的问题链,引导学生理性思考.学生经历层层变式,对知识获得螺旋式上升的认识,领悟思想方法的本质,完成深度学习,最终达到“做一题,学一法,会一类”的效果.     

搭建“递推关系”实现数学归纳法推理过渡

数学归纳法是证明与自然序列有关问题的重要方法,在处理某些特殊类型的问题时,需要搭建合适的“递推关系”,以便顺利实现从n=k到n=k+1的归纳递推,本文结合具体实例进行说明.     

利用特征值和特征向量求解赌徒输光问题

通过举例给出如何利用特征值和特征向量推导线性递推关系,并利用该思想方法求解了经典的赌博输问题.     

多法归一:厘清本质,感悟思想--一道例题的教学感悟

数学思想是数学例题教学的内核,让学生经历完整的问题解决与解法交流过程,是帮助学生感悟数学思想的重要途径.数学课上,好的例题教学应关注问题本质,聚焦同质方法,让学生在充分的过程历练中,实现多法归一,使学生充分感悟数学思想的价值所在.     

聚焦递推式与新情境的交融

递推关系是数列的灵魂,通常与数列、不等式、函数与方程等相结合．随着新课改的不断深入,新情境下对递推思想的考查在高考中不断推陈出新,尤其在新信息下利用递推关系解决问题,更多地反映了在新情境下的阅读信息和运用信息解决问题的能力,笔者就采撷几类递推式与新情境的交融题并予以透析,以期予以关注．     

高等数学中的数学思想方法的范例教学

以刘徽"割圆术"为例,揭示高等数学中的数学思想方法,如转化、逼近、用有限表示无限、联想与类比、数形结合等思想方法.通过转化、逼近、用有限表示无限、联想类比等范例教学,将高等数学中所蕴涵的基本的数学思想方法渗透、传授给学生,使学生在学习知识的同时,理解、掌握并会运用数学的思想方法,为后续课程的学习打好坚实的基础,同时提高学生用数学思想方法分析实际问题、解决实际问题的能力.     

谈极限思想在小学数学中的渗透

极限思想在近代数学中有着极其重要的地位,通过极限思想分析和解决数学问题,能够培养学生的数学思维.小学数学教学应当渗透极限思想,通过让学生掌握科学的思维方法来提升思维品质,能够自主发现问题,探索规律,解决问题.