也谈椭圆外切n边形面积的最小值

文 [1]通过引理 1、引理 2虽然给出了椭圆外切n边形面积的最小值 ,但没有给出取到最小值时 ,外切n边形的几何性质及作图方法 .本文通过对圆外切n边形面积最小值的探讨 ,回答了上述问题 .引理　外切于圆的所有n边形中 ,正n边形的面积最小 ,且最小值为rntan πn(n≥ 3) .图 1　圆外切n边形证　如图 1,设n边形P1P2 …Pn 为半径为r的外切n边形 ,A1,A2 ,… ,An 为切点 ,则由圆的切线性质可知 ,n边形P1P2 …Pn 的面积为S =2S△A1OP1+ 2S△A2 OP2+… + 2S△AnOPn=r·tan∠A1OP1+r·tan∠A2 OP2 +… +r·tan∠AnOPn.因为n≥ 3,所以∠Ai…     

圆锥曲线外切三角形和切点三角形边的斜率之关系

如图1,直线B1B2,B2B3,B3B1与圆锥曲线E相切,切点分别是A1,A2,A3,称△B1B2B3和△A1A2A3为圆锥曲线E的外切三角形和切点三角形.用kA1A2表示直线A1A2的斜率,kA1表示相切于点A1的直线B1B2的斜率等(以下讨论的都     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

抛物线的切点多边形和切线多边形重心的一个定理及应用

过抛物线上任意三点 A1 ,A2 ,A3 ,分别作切线 ,三条切线围成一个△ B1 B2 B3 叫做切线三角形 ,而△ A1 A2 A3 叫切点三角形 .同样过抛物线上任意四点 A1 ,A2 ,A3 ,A4,分别作切线 ,四条切线围成一个凸四边形叫切线四边形 ,同样 A1 A2 A3 A4叫切点四边形 .不难发现 ,过抛物线上任意五点作五条切线 ,它们相交成 10个点 ,已不能围成凸五边形 ,看来 n≥ 5时 ,切点 n边形已不再有切线 n边形了 .本文将研究切点 n( =3 ,4 )边形与此时切线 n边形的重心的性质 ,然后给出一个应用 .定理 1　如图 1,设 A1 与 A2 是抛物线 y2= 2 px上任意两点 ,…     

Brianchon定理在二次曲线外切2n边形中的推广

利用有向面积方法,对二次曲线外切2n边形(n≥2)进行研究,得到二次曲线外切2n边形(n≥2)中有向面积的几个定值定理及其推论,从而把射影几何中著名的Brianchon定理推广到二次曲线外切2n边形的情形.     

凸n边形(n≥5)余弦定理

提出凸n边形(n≥5)余弦定理 我们知道,三角形余弦定理描述的结论是:已知△A1A2A3的两条边A1A2=α1、A2A3=α2,它们的夹角为θ1(图1),则第三条边α3的平方α32=α12+α22-2α1α2cosθ1.     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

涉及凸n边形内部一点的一个不等式

设 P是凸 n边形 A1A2 … An 内一点 ,ri 为P至边 Ai Ai+ 1的距离 ,wi是∠ Ai PAi+ 1=2αi的角平分线 ,Ri=PAi,ti =Ri Ri+ 1cosαi,i=1 ,2 ,… ,n,An+ 1=A1.文献 [1 ]中 ,H.C.L enhard证明了不等式 :　　　　∑ni=1Ri ≥ secπn .∑ni=1ti ( 1 )文献 [2 ]中 ,笔者建立了 (其中 s为凸 n边形的半周长 )∑ni=1Ri2 - ∑ni=1ti2 ≥ s2 ( 2 )并且根据不等式 ( 1 ) ,( 2 )证明了 ,当 secπn ≥ k≥ cosπn 时 ,有∑ni=1Ri - k∑ni=1ti ≥1 - kcosπnsin πns ( 3)本文应用不等式 ( 1 ) ,( 2 )建立类似于不等式( 3)的一个结论 .定理　设 P…     

平面多边形内角和的统一计算公式

大家知道,凸n边形内角和为(n—2)·180°.那么凹n边形内角和为什么?除凸、凹n边形外,其余的平面n边形内角和又为什么?这些平面n边形(以下简称n边形)内角和有统一计算公式吗?下面我们就来探讨这些问题. 如图1,要把转到与平行,可转过∠α,也可转过∠β.这里我们约定:本文     

关于多边形共点线的几个猜想的研究

文[1]给出了凸多边形中对角线和主对角线的定义．（编者按：为了规范名称，作为三角形和梯形相关概念的推广，我们称多边形顶点与对这中点连线为中线，两边中点连线为中位线，分布在其两侧顶点数相同的，再加个“主”字．）并提出如下猜想：1．若凸2n＋1边形的2n条主中线都平分其面积，则第2n＋1条亦然，且2n＋1条主中线共点O且被O分成等比的两段．2．若凸Zn边形n条主中位线均平分其面积，则它们共点O且均被O平分．3．若凸Zn边形n条主对角线均平分其面积，则它们共点．本文将证明上述猜想，并给出有关的结果．对文中所涉及的序号遍历性问…     

梅涅劳斯定理的推广和应用

全日制《几何》课本P_(235)26题: “一直线截△ABC的边BC、CA、AB或其延长线于点D、E、F,求证: BD/DC·CE/EA·AF/EB=1 此题为梅涅劳斯(Menelaus)定理的部分内容,因为初中《几何》课本没有考虑线段方向。所以这种书写是合理的。此题可推广到更一般的形式: “一直线截凸n边形A_2A_2…A_n的边A_1A_2、     

闭折线中的塞瓦定理

塞瓦定理设ΔABC的顶点A、B、C和不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连结而成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们延长线交于点P、Q、R,则有BPPC·QCAQ·RABR=1.本文拟将这一著名的定理推广至一般的平面闭折线中.本文约定:符号A(n)表示平面内的任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理设闭折线A(n)的顶点A1与不在各边或它们的延长线上的一点S连结而成的直线,与直线Ai-1Ai 1交于点Pi(i=1,2…,n,An 1为A1,A0为An),则有∏ni=1Ai-1PiPiAi 1=1为证明该定理,将引用下列基本结论:设ΔA1A2A3的项点A2和不在三角形的边或它们的延…     

一个几何不等式的推广

文[1]用导数方法证明了：设p_n,q_n分别为内接于、外切于半径为R的圆的正n边形的周界,则2/3p_n 1/3q_n＞2πR．本文笔者拟采用其证明方法推广所证不等式．结论若1/3≤p≤1,则都有(1-p)p_n     

格点凸九(十)边形内含格点数问题

格点凸多边形内含格点最少的问题是一较为困难的问题．对3≤，n≤8，问题已获解决，见文［1］、［2」．本文将对格点九（十）边形内含最少格点情况，及任意格来凸n边形的内含格来最少的的构图与面积作初步探讨．引理（i）格点凸五边形若某边上有4个格点，则真内至少含2个格点；（n）拒点0大边形着某边上有3个格点，则真内至少合2个格点．证明（i）如图1所示，设边AIAZ上除顶RAI，AZ外，项目2个榜点PI、PZ，连结A4PI．因为在格点凸五边形AIAZA。A4A。中至少百一格丽P。（见又11」），那么P。可能在①西四边形人ASAIP，内；②西四…     

两个有趣的几何发现

本文介绍笔者最近发现的两个有趣的几何结论. 定理1 若凸m边形内有互不相同且任意三点都不共线的n(n∈N*)个点,把这n个点再加上m边形的m个顶点共m+n个点作为顶点,连线组成互不重叠的小三角形,则一共可以组成的小三角形的个数为f(m,n)＝m+2n-2.     

应用凸多边形的重心公式证一类三角不等式

物理学告诉我们 :对于均匀分布的凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ,若各顶点的坐标依次是Ａ1 (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3(ｘ3,ｙ3) ,… ,Ａｎ(ｘｎ,ｙｎ) .则这个凸ｎ边形的重心 (几何重心 )Ｇ的坐标是1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ,1ｎ∑ｎｉ=1ｙｉ .而且重心Ｇ位于凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的内部 ,当这个凸ｎ边形存在外接圆时 .重心Ｇ必在外接圆的内部 ,这个外接圆的圆心Ｑ到重心Ｇ的距离小于外接圆的半径Ｒ .即｜ＱＧ｜ <Ｒ.特别地 ,当凸ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 的各顶点Ａ1 ,Ａ2 ,… ,Ａｎ 重合时 ,｜ＱＧ｜=Ｒ ,利用物体的重心公式Ｇ 1ｎ∑ｎｉ =1ｘｉ…     

对"两个有趣的几何发现"一文的修正及改进

文[1]给出了两个几何结论及一个猜想,具体如下: 定理1:若凸m边形内有互不相同且任意三点都不共线的n(n∈N*)个点,把这n个点再加上m边形的m个顶点共有m+n个点作为顶点,连线组成互不重叠的小三角形,则一共可以组成的小三角形的个数为f(m,n)=m+2n-2.     

关于圆外切闭折线周长的一个不等式

设△ ABC的三边长为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则有下面熟知的不等式 :　　 a b c≥ 6 3r ( 1 )当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .本文将推广这个不等式 ,证明关于圆外切闭折线周长的一个不等式 .定理 1　设闭折线 A1A2 A3 … An A1有内切圆⊙ ( I,r) ,闭折线的环数为 t,各边长为| Ai Ai 1| =ai( i=1 ,2 ,… ,n,且 An 1为 A1) ,则有　 ∑ni=1ai ≥ 2 nrtan tnπ ( 2 )当且仅当闭折线为正星形时取等号 .图 1证明　如图 1 ,设边Ai Ai 1与圆 I相切于 Bi,连Ai I,Bi I,Ai 1I,则ai =| Ai Bi| | Bi Ai 1|=r( cot Ai2 co…     

对一类几何问题的初探和猜想

定义1在凸2n 1边形（n是自然数）中，如果一个顶点和一条边在它们两旁所夹的边数相等，我们就把这个顶点和这边的中点的连线段叫做这个2n＋1边形的中对残；在凸2n边形（n是不小于2的自然数）中，如果有两条边在它们两旁所夹的边数相等，我们就把这两边的中点的连线段叫做这个2n边形的中对线．定义2在凸2n边形中，如果它的一条对角线的两旁的边数相等，那么我们就把这条对角线叫做主对角线．显然，在三角形中，中线与中对线是同一概念．同样，梯形的中位线也是如此．我们知道，二角形的中线平分这个三角形的面积，这些中线不仅共点，而且所共…