一个换算关系的完善

本刊文 [1 ]给出了如下一个不完善的“定理” :设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记作ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ =ｋ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )(1 +ｋ2 ) -ｅ2 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ-2ｅｐ-1 .现用此“定理”解下面一例 .求过双曲线ｘ2 -ｙ23 =1的焦点且斜率为 35的直线被此双曲线截得的长度 (文 [1 ]例 3改编 ) .解　因为ａ=1 ,ｂ =3 ,ｃ=2 ,故ｅ =2 ,ｅｐ=ｂ2ａ =3 ,ｋ =35 .由文 [1 ]“定理”得ｄ=2 ·3 (1 +35 )(1 +35 ) -2 2 =-4.线段ＡＢ的长度…     

圆锥曲线的一个有趣性质及若干推论

圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1　几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1　给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则｜AA′｜｜AA″｜ =｜BB′｜｜BB″｜.图 1定理 2　给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其…     

球的点射影与圆锥曲线

文 [1]给出了我们生活中一个现象的有趣结论与巧妙证明 :放在水平地面上的篮球在太阳光 (平行光源 )的斜照射下 ,其影子是一椭圆 ,而且篮球与地面的切点始终是该椭圆一焦点 ,与光线垂直的篮球大圆所在面与水平地面的交线 ,也正好是该焦点所对应的该椭圆一准线 ,同时 ,该椭圆离心率为光线与地面成角α的余弦值 .文 [1]作者用椭圆定义 ,一步证得上述四个连带有趣结论 .　　读后令人感到兴奋 ,对证明的简捷拍案叫绝 .本人通过研究 ,联想到平面截圆柱面可得到圆或椭圆 ,平面截圆锥曲面可得到四种圆锥曲线 .于是得出 :篮球在附近点光源的照射下 ,…     

圆锥曲线的一个有趣性质

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究 ,得到了一个十分有趣性质 .定理 1　设P是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )上的一点 ,E、F是左 ,右焦点 ,A ,B是左 ,右顶点 ,∠EPF =2α ,∠APB =β,e是离心率 ,则e=- 2cotαcotβ α∈ 0 ,π2 ,β∈ π2 ,π ,(其中yP ≠ 0 ) .图 1证明　对于△PEF ,由题设及椭圆焦点三角形的面积公式知S△PEF =b2 ·tanα .另一方面 ,S△PEF =12 ｜EF｜·｜yP｜ ,从而b2 tanα=c｜yP｜ ,故 ｜yP｜=b2ctanα①对于△APB ,不妨设点P(x ,y)在x轴上方 ,如图 1 ,由两条直线所成的角的公式得tanβ=kPB -kPA1 +…     

圆锥曲线两个性质的推广

《数学通报》2 0 0 2年第 6期文 [1 ]给出了圆锥曲线的如下两个性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .性质 2　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,点Ｃ在Ｌ上 ,直线ＡＣ平分线段ＥＦ ,则ＢＣ∥ＦＥ .本文旨在将以上两个性质进行推广 ,即若将性质中的焦点Ｆ推广为圆锥曲线 (包括圆 )对称轴上的任意一定点 ,是可得如下若干结论 ,1　性质 1的推广定理 1…     

《圆锥曲线焦点弦的一个性质》一文的补充和推广

在文 [1 ]中给出如下结论 :定理 1　设AB ,CD是圆锥曲线过焦点F的两动弦 ,弦端点连线AC ,BD交于点M ,则M的轨迹是圆锥曲线的相应准线 .本文对文 ( 1)的证明做些补充并给出定理1的推广形式 .1　补充在文 [1]中给出的定理 1的证明 ,其实是仅证出点M一定在准线上 ,还应补证 :准线上任意一点M ,都存在过焦点的两条弦AB ,CD使AC ,BD的交点为M .补充如下 :设点M( ρ0 ,θ0 )是圆锥曲线E的准线l:ρcosθ=-p上任意一点 ,过点M做直线AC交E于A( ρ1 ,θ1 ) ,C( ρ2 ,θ2 ) ,延长AF ,CF分别交E于B( ρ1 ′,θ1 π) ,D( ρ2 ′,θ2 π)…     

圆锥曲线的一个重要性质及应用

众所周知,圆锥曲线的离心率ｅ是用来刻画圆锥曲线形状的一个重要特征量,不同的圆锥曲线有着不同的离心率;椭圆型圆锥曲线　０＜ｅ＜１抛物线型圆锥曲线　ｅ＝１双曲线型圆锥曲线　ｅ＞１笔者通过研究发现,圆锥曲线还存在着一个与离心率ｅ相类似的重要性质;为了叙述方便,首先给出一个定义;定义１：过圆锥曲线内接三角形的三个顶点的三条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的切线三角形;定理：圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比记为△,则（Ⅰ）椭圆型圆锥曲线　０＜△＜２（Ⅱ）抛物线型圆锥曲线　△＝２（Ⅲ）双曲线…     

关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质

平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的：椭圆的焦距与长轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做椭圆的离心率．双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用ｅ表示,按抛...     

椭圆双曲线准线的几何作图

在解析几何教材中 ,对于椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,都给出了它们的准线方程ｘ=± ａ2ｃ,而未给出准线的作图方法 .鉴于准线有着重要的几何意义 ,本文将根据椭圆、双曲线的有关性质 ,结合平面几何知识 ,给出准线的几种作图方法 .图 11　利用相似三角形进行作图先说明椭圆、双曲线的一个共同性质 :(图 1和 2 )焦点Ｆ、顶点Ａ和对应的准线交ｘ轴的垂足Ｈ与中心Ｏ构成三条线段 ,它们的长度成等比数列 ,即｜ＯＡ｜∶｜ＯＦ｜=｜ＯＨ｜∶｜ＯＡ｜.图 2证明　因为｜ＯＦ｜=ｃ=ａ· ｃａ =ａｅ,｜ＯＡ｜ =ａ ,｜ＯＨ｜ =ａ2…     

与焦点弦有关的一个定比

在圆锥曲线中,焦点弦是一种比较特殊的线段,笔者发现焦点分焦点弦所得的两线段的长度,与焦点弦弦长之间存在如下的一个定比关系:定理已知圆锥曲线的离心率为e,焦准距(焦点到对应准线的距离)为|FM|,过焦点F的直线交圆锥曲线于两点A,B,则有     

抛物线中一个有趣的梯形面积公式

本文介绍抛物线焦点弦和准线相关的一个有趣的梯形面积公式,供读者学习参考.定理经过抛物线y2=px(p>0)焦点作倾斜角为θ的弦AB,A,B两点在抛物线准线上的射影分别为C,D     

多思维切入，妙方法解决——一道椭圆与双曲线共焦点问题的探究

共焦点的圆锥曲线问题,以焦点为公共信息,合理串联起不同圆锥曲线之间的关系,是综合应用问题的一大创设场景.本文结合一道高考模拟题,以共焦点的椭圆与双曲线为场景,不同思维视角切入,不同技巧方法应用,不同变式视角拓展,以期引领并指导数学教学与复习备考.     

一个数学问题的简证及推广

《数学通报》2 0 0 2年第 5期第 1 367题 :不垂直于x轴的直线与抛物线y2 =2px(p>0 )交于A、B两点 (A、B不在同一象限 ) ,抛物线的准线与x轴相交于点N .已知∠ANB被x轴平分 ,求证 :线段AB过抛物线的焦点 .原解是从方程的角度证明的 ,相对较繁 .从平面几何的角度入手 ,不仅可得到更简单的解答 ,而且还可将结论推广到所有圆锥曲线中 .图 1证明　设F为抛物线y2 =2px(p >0 )的焦点 ,连AF、BF ,且分别过点A、B作准线的垂线 ,垂足为A1 、B1 (如图 1 ) ,则由圆锥曲线的定义得 :AFAA1 =BFBB1…… ( )即　 AFBF =AA1 BB1……①记∠AN…     

有关圆锥曲线的四组结论及其应用

圆锥曲线是高中数学的主干知识,是高考的重点和热点,但解题时一般由于运算量大、过程复杂,使学生望而生畏,是学生学习的难点.笔者在教学实践中发现,以下有关圆锥曲线的四组结论不仅结构优美,便于记忆,而且在应用中,计算量小,优化了计算过程,降低了思维难度,有利于培养学生的解题能力.结论一经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾斜角为目的     

用极坐标考虑与离心率有关的圆锥曲线问题

圆锥曲线许多问题都与离心率有关，在讨论这些性质时，一般都习惯在直角坐标系下分别对椭圆、双曲线和抛物线进行讨论，显得比较繁琐．我认为对这类问题比较适合从极坐标角度来考虑．原因是圆锥曲线有统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosα，既包含有离心率e，又可以避免对椭圆、双曲线和抛物线分别进行讨论的麻烦。     

圆的重要定理在抛物线上的推广

读了文[1]，本人受到启发，现把圆的相交弦定理、切割线定理、切线长定理推广到抛物线上。