数学小品两则

一、试论一个恒等式的产生在初等代数文献中,有这么一个恒等式:(2n~2+n)~2+(2n~2+n+1)~2+…+(2n~2+2n)~2=(2n~2+2n+1)~2+(2n~2++2n+2)~2+…+(2n~2+3n)~2。当然,这个恒等式既不是天上掉下来的、也不是什么神仙灵机一动搞出来的。而是数学家们不辞劳苦算出来的。让我们从商高定理谈起罢!这是我们所熟悉的一个数字恒等式 3~2+4~2=5~2 如果我们不辞劳苦地算下去,就可以得到如下的几个恒等式: 10~2+11~2+12~2=13~2+14~2, 21~2+22~2+23~2+24~2=25~2+26~2+27~2,36~2+37~2+38~2+39~2+40~2=41~2+42~2+43~2+44~2。     

数学悖论撷芳

大量的数学推理中，常常出现从看来合理或公认合理的知识背景中推导出有悖常理或两个相互矛盾的结果，即悖论．这些悖论，领域广泛，存在于许多分支之中，既具有极强的幽默色彩，又具有极强的思辨品格．我们无法穷尽这些“上帝的秘密”，但在整个人类文明的长河中，它是人...     

悖论与数学发展

十七、十八世纪期间 ,欧洲数学界群星璀璨 ,极尽一时之秀 ,数学家辈出 ,成果累累 ,可谓鼎盛时期 .在那些出类拔萃的学者之中 ,有一位叫约瑟夫·傅里叶的法国数学家 ,因为是裁缝的儿子 ,曾以“出身低微”被拒绝加入炮兵部队 .有一段时间 ,傅里叶被一个简单的级数求和问题愚弄和困扰 ,使他陷入迷惘之中 ,苦于无法自拔 .摆在傅里叶面前的是这样一个级数 :1+1- 1+1- 1+1- 1+1- 1+1…它的和是多少呢 ?他把这一级数写成 1- (1- 1+1- 1+1- 1+1- 1+1… )设和为S ,则级数的和还出现在括号内 ,于是便有S =1-S ,故S =12 .这是正确的码 ?很难说 .因为…     

两个有趣的数学悖论

本文从实变函数的测度解释了油漆罐的面积无限,而体积有限的悖论.从分形理论解释了Koch雪花曲线的周长无限,而所围的面积有限的悖论.     

漫谈数学悖论的方法论意义

我们知道,数学理论体系的和谐完美,历来是数学家工作的奋斗目标之一。如果某一数学理论体系中出现了(逻辑)矛盾,那么该体系就算不上和谐完美。正因为如此,人们不愿看到,在他们公认为完美无缺的某一数学理论体系之中出现数学悖论。然而,数学发展史清楚地告诉我们,那些新颖独特的数学思想方法。和谐统一的数学理论体系。又大多是在数学悖论的发现和排除过程中产生并发展起来的。这就不得不使我们认真思考并充分肯定数学悖     

悖论与数学基础问题(补充)

在我们的文章(Ⅲ)中,曾从认识论角度讨论了悖论的成因。这里还可进一步指出,单侧面的抽象概念思维(单相性抽象巴维)和超限度的概念思维(无限制扩张式的抽象思维)往往是导致推理形式矛盾的基本原因。 从反映论观点看,凡是客观上具有某种对立统一的结构属性的对象(例如兼具有潜无限与实无限双重性质的无限性对象,兼具有‘连续性’与‘点积性’双重环节的时间连续统与直线连续统等等),在数学的单相性抽象形式思维里,均可能导致形式推理上的悖论。事实上,每一个数学概念都要求确定性和纯一性,它只能一意地反映客体对象中本来相互     

悖论与数学基础问题(Ⅲ)

本文主要讨论恶性循环原则与类型混淆原则的划分。这是由于我们在一些场合发现有把两个原则混为一谈的情形而引起的。在这个讨论中,我们把“非直谓定义法”划分为广义、狭义和等价式三种情形。本来是没有这种划分的,现在这样做,首先是因为Russell的恶性循环原则指出:‘没有一个整体能包含一个只能借助于这个整体定义的元素’,既有‘只能’,当然应有‘并非只能’的情形。因此,‘只能’和‘并非只能’将是可以得到区分的。另外,‘总体G就是被定义的对象H’显然是‘只能借助总体G来定义H’的一个特殊情形,因此,‘只能’和‘等价式’也将是可以区分的。而对非直谓定义法作了如上的划分之后,将有助于我们对恶性循环原则与类型混淆原则的直观性了解,因之针对等价式非直谓的类型混     

悖论与数学基础问题(Ⅰ)

This expository article is motivated by two well-known antinomies. The first is the extended Zeno paradox concerning two persons playing at a ball, passing theball to and fro within 1/2,1/4,1/8,…, minutes successively, and questioning the place of the ball at the end of one minute. The second antinomy is that of Engels concerning the real infinitude of successively generated finite ordinals. In order to explain away or give answer to these two antinomies, we have constructed a kind of non-Cantorian model for the sequence of natural numbers by the aid of Van Osdol-Takahashi's ultrapower (extended real number field) ^*R. In what follows are a few definitions and some propositions discussed in this article.     

悖论与数学基础问题(Ⅱ)

在本文中,主要讨论悖论定义问题,此外,还将对‘悖论的起源’、‘数学三次危机’和‘Zermelo解决悖论的方案’等内容作简要的综述和评论。至于Russell对悖论的解决方案与悖论成因等内容的讨论将在本文的续篇中给出。     

几何概率中的贝特朗悖论

几何概率在现代概率论的概念发展中起着重要的作用,在概率论发展的早期,人们认为,只要问题具备适当的等可能性的特征,就可以给问题以唯一的概率解答,但是,有人曾经构造出了这样的例子,它包含了几种同样有道理却看上去似乎相互矛盾的答案,这就是概率论历史上颇为著名的贝特朗（Bertrand）悖论。     

悖论与数学基础问题(补充二)

如文(Ⅰ)所述,“抛球问题”是由西方数理哲学家作为zeno悖论的引伸而提出来的(见本刊1982年第三期)。很明显,如果把时间连续统的数学模型取成标准实数集R的话,则该问题将无从产生,也就谈不上有何悖论,原因是抛球运动对时点t=1并无定义。 另一方面,如果把时间连续统的数学模型取成为非标准实数连续统R,则时点t的变域将包括半开区间[0,1)内一切非标准的与标准的实数点。于是“时间t到达1”的含义可解释为“时点t按其标准部份(standard part)取到标准实数1”。这就是说,“时点     

与数学危机相关的理论：芝诺悖论

大家或许听说过这样一则小故事：有一个理发师“给所有不自己理发的人理发”,那么请问谁给理发师理发？ 想出来了吗？在这个故事中是找不到人给理发师理发的。这就是数学史上一个有名的悖论（所谓悖论是指与人的直觉和日常经验相矛盾的命题,     

知识小品

=0 .X X X X XX P p一?(P为2、5以外的素数) 古稀由于我们的记数法是10进制的,因此,我们将讨论1。·除以p的结果,又因粤化为小数时,””’一一”’一’‘’--一’一’一”P’一---一是一个循环节为6的循环小数,那么,10。除以P的余数应该是1.记为10‘三1(二oJ夕)(1)读作“对于p,106与1同余数”,或读作“10“同余于1对模P”. 两数同余对模P,用普遍算术式可以写成=q 1 P.十丫~q:P+丫(0簇丫(P一1则有a一b=(g,一qZ)P翻译成“I这就是说,同余式,则为a一b三0(阴odP)“a与b对模P同余”与“a一b能被P 10落牛10三。(二odp)(3) 10“+202三。(胡…     

中房悖论

中房集团被国资委钦定为以房地产开发为主业。如此单纯与专注的主业，在央企中可谓罕见。然而，目前其下属上市公司却戴着ST的帽子，处境尴尬。中房集团下属中住地产借壳S＊ST重实，而弃自家“壳”于不顾，其背后很可能是中房集团控制力缺失的现实。在主业问题上，行政指认与市场选择之间存在的冲突与悖论，于中房集团显露无遗。     

统计学悖论

《从惊讶到思考》是《科学美国人》编写的一份介绍数学中各种悖论的科普资料。现已有中译本出版。为引起读者兴趣，我们摘录其中有关统计的几个小故事。     

管理中的Nash平衡与Braess悖论现象

本给出了交通规划、经济贸易以及其它管理中的一些Nash平衡和Braess悖论实例，分析了Nash平衡和Braess悖论现象及其本质特征，指出它们在管理工作中具有普遗性和潜在应用性。     

一般非线性规划中的“悖论”现象

本文讨论带有等式和不等式约束条件下的一般非线性规划问题出现“悖论”现象的充要条件.     

悖论与分式方程

数学上有一个著名的“2 =1悖论” .通过证明得出 2 =1的结论 .具体过程如下 :证明　设ａ =ｂ ,则ａ2 =ａｂ .ａ2 -ｂ2 =ａｂ -ｂ2 .(ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ) ,ａ +ｂ =ｂ ,ｂ +ｂ =ｂ ,2ｂ =ｂ ,2 =1.这个看似天衣无缝的证明 ,其实并不严密 .第 4步 (ａ +ｂ) (ａ -ｂ) =ｂ(ａ -ｂ)到第 5步ａ +ｂ =ｂ ,是两边同时除以 (ａ -ｂ) ,但我们假设ａ =ｂ ,所以ａ -ｂ =0 ,因此我们是在两边同时除以 0 ,于是出现了悖论 .利用这个悖论可以很好地说明分式方程增根的问题 .为了明晰起见 ,将这几步重新书写于下 ,并添补上最关键的一步 .(ａ +ｂ) (…     

什么是悖论

在上世纪初前后,有一类自相矛盾的语句引起了数学家们的关注.他们为了在数学的基础性研究中避免类似的矛盾而煞费苦心,从而促进了数学基础及数理逻辑的发展.这类语句称为悖论,现在举几个例子.1罗素悖论哲学家兼数学家罗素(B.Russell)在考虑集合的理论时,想到了“所有的集合”,以及“所有的集合”是否也能组成一个集合呢?如果能,记它为A,则应有:(集合)A∈(所有的集合组成的)A.但我们日常所见到的集合并不如此,例如集合{a},它只有1个元素a,而{a}就不是{a}的元素了.所以,我们日常见到的任一集合S,都具有S S这样的性质.现在考虑“所有适合S …