不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

Schur不等式和Hlder不等式及其应用

Schur不等式和H lder不等式是两个重要的不等式,本讲我们介绍Schur不等式和H lder不等式及其应用.Schur不等式:设x,y,z∈R ,则x(x-y)(x-z) y(y-z)(y-x) z(z-x)(z-y)≥0(1)简记为x(x-y)(x-z)≥0,下文均采用这一简记方法.一般地,Schur不等式为:设x,y,z≥0,r>0,则xr(x-y)(x-z)≥0.(2)证不妨设x≥y≥z,则左边≥xr(x-y)(x-z)-yr(x-y)(y-z)≥yr(x-y)(x-z)-yr(x-y)(y-z)=yr(x-y)2≥0.Schur不等式的如下两个形式在解题中非常有用:变形Ⅰx3-x2(y z) 3xy≥0.变形Ⅱ(x)3-4x yz 9xyz≥0.事实上,把(1)展开即得变形Ⅰ.对于变形Ⅱ,因为(x)3=x3 3x2(y z)…     

妙用一个简单不等式解竞赛题

定理已知x、y∈R,则 (x+y)~2≤2(x~2+y~2) (*)等号仅当x=y时成立。证明由(x-y)~2≥0可得 x~2+y~2≥2xy两边同时加上x~2+y~2即得(*). 证明显然容易,但其应用却十分地广泛,本文通过一些国内外的竞赛题说明其应用。     

不等式证明技巧拾零

不等式的证明方法繁多,技巧性强。本文介绍几点技巧,化未知为已知以供读者参考。 1.凑配利用拆项把求证的不等式凑配成重要不等式的形式。例1.已知x>y>0,xy=1。求证(x~2+y~2)/(x-y)≥2(2~(1/2))。思考:若把条件化成y=1/x代入会出现高次幂,能否运用重要不等式a+b≥2(ab~(1/2))呢,关键在于考察x~2+y~2与x-y的关系,得x~2+y~2=(x-y)~2+2xy,这样就凑配成重要不等式的形式了。     

数学奥林匹克问题选登

1992年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 25.证明因为不等式(*)关于x,y,z对称,所以不妨设x≤y≤z,令y=x+m,z=x+m+n(x≥0,m≥0,n≥0),代入不等式(*)两边得 x·(x+2m+n)~2+(x+m)·(x+n)~2+(x+m+n)·(x-n)~2     

求函数极值时值得注意的两点

判别式法和换元法,是求函数极值时常用的初等方法,解题过程中,往往由于忽视基本理论知识而导致错误。这里仅以求函数y=x+4+(5-x~2)~(1/2)的极值为例来阐明解题过程中应注意的两个问题。用判别式法求上述函数的极值时,先变形为y-x-4=(5-x~2)~(1/2),再两边平方整理,得 2x~2+(8-2y)x+(y~2-8y+11)=0 因为x为实数,所以其判别式△=4(4-y)~2-8(y~2-8y+11)≥0 (*) 即 y~2-8y+6≤0 解之,得 4-10~(1/2)≤y≤4+10~(1/2)。假若至此就得出 y_(maX)=4+10~(1/2),y_(mlx)=4-10~(1/2)。那将是错误的,因为事实上应为4-10~(1/2)0或△=0,并非要求两者同时成立,其次由(*)成立,并不能逆推出上一式的成立。因     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

几个有趣的不等式

一维情形设实数б_i(i=1,2,…,m,m≥2)满足б_1≥б_2≥…≥б_m,x=б_1-б_m,■则有如下定理。定理1 x≥y 证显然,若x=0则y=0,即x=y,定理成立。所以下面假定x>0。因x>0,所以y>0。于     

一个含参数的基本不等式及其应用

由完全平方式(a-t)2≥0易得如下的:命题a2≥2at-t2,其中t为参数.此不等式有着很好的应用价值,我们以一些竞赛题为例来加以说明.例1(前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题)已知x,y,z∈R ,且x y z=1,则x2 y2 z2≥13.证明由命题有:x2≥2tx-t2,y2≥2ty-t2,z2≥2tz-t2,三式相加得:x     

对一个猜测推广的证明

文 [1 ]对W .Janous猜测推广成如下命题 :设xi >0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,记S=x1 +x2 +… +xn,则x22 -x21 S-x2 + x23 -x22S-x3+… + x21 -x2 nS-x1 ≥ 0 ( 1 )文 [2 ]指出文 [1 ]对式 ( 1 )的证明是错误的 ,但未给出式 ( 1 )的正确证明 ,最后又提出了更一般的下述问题 :设xi>0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,记S=x1+x2 +… +xn,能否取适当的k ,有 x2 k-x1 kS-x2 +x3k-x2 kS-x3 +… + x1 k-xnkS-x1 ≥ 0 ( 2 )本文证明 ,当k∈R+时 ,式 ( 2 )成立 .证明　对于 (x1 ,x2 ,… ,xn)的所有互异的n !个排列中 ,必然存在一个排列 (y1 ,y2 ,… ,yn)满足y1 …     

一个不等式的初等证明

文 [1]提出如下猜想 :设λ≥ 1,x,y,z >0 ,则xλx +y+yλy +z+zλz +x　≤ 3λ+1(1)文 [2 ]用导数证明了 (1)式 ,本文给出简明的初等证明 .证明　由已知得 xλx +y,yλy +z,zλz +x三式中必有两个同时不大于 (或不小于 ) 1λ +1,不妨设为 xλx +y 和yλy +z.于是有(xλx +y - 1λ +1) (yλy +z -1λ+1)≥ 0即 xλx +y+yλy +z≤(1+λ) xy(λx +y) (λy +z) +1λ +1(2 )由柯西不等式有(λx +y) (λy +z)≥ (λ xy +yz) 2 .代入 (2 )得　 xλx +y +yλy +z ≤(λ+1) xλ x +z +1λ+1(3)又　 (λz +x) (λ+1)≥ (λ z +x ) 2(4)于是 ,由 (3)、(…     

一个不等式的推广及应用

《数学通报》1998年第 4期问题 112 8( 1)为设 x,y,z都是正数 ,证明x2 y3 z3 ≥ 13 ( x y z) ( x2 y2 z2 ) . 1此不等式对称和谐 ,十分优美 ,其证明方法较多且并不困难 .显然 ,其中等号当且仅当 x=y=z时成立 .本文将对 1式作一些推广 ,并举例说明其简单应用 .首先 ,若从指数进行推广 ,则得定理 1　设 x,y,z∈ R ,n∈ N ,则xn yn zn≥ 13 ( x y z) ( xn-1 yn-1 zn-1 ) 2等号当且仅当 n=1或 x=y=z时成立 .证明　∵　 xn yn =( n-1n xn 1nyn) ( n-1n yn 1nxn)≥ nn xn(n-1 ) ynnn nn yn(n-1 ) xnnn =xn-1 y yn-1 x.即　 xn yn≥ xn…     

多元函数微分法在证明不等式中的应用

运用多元函数微分法可以证明一些不等式,现举例说明如下.例1设n≥1及x≥0,y≥0,证明不等式(x~n+y~n)/2≥((x+y)/2)~n证当x=0或y=0或n=1时,所论不等式显然成立.现讨论x≠0,y≠0 ,n>1的情形.考虑函数z=1/2(x~n+y~n)在条x+y=a件下的极小值,其中a为正常数.     

数学奥林匹克问题选登

1991年6月号问题解答 (解答由供题人给出) 1.设x≥y≥1,求证: 并确定等号成立的条件。解设x 1=2p~2,y 1=2q~2,其中P≥q≥1,则欲证不等式等价于若p≠q,则上式等价于易证p q-1≥(两端平方,整理有2(p-1)(q-1)≥0) 因而只须证 pq(p q)≥(1 pq)(p q-1)(p-1)(q-1)≥0 由p≥q≥1知上式成立。故欲证不等式成立,其中等号成立当且仅当p=1或q=1或p=q,即x=y或x=1或y=1 注:易证对x≥y≥z>0,欲证不等式与下式     

三元四次对称不等式的统一加强

在文 [1 ]中 ,笔者给出了三元四次对称不等式λ( ∑x) 4 μ∑ ( yz) 2 υ∑x .∏x k( ∑x) 2 ∑yz≥ 0　 ( x,y,z >0 )成立的一个充要条件 .它等价于下面的命题　记σ1=x y z,σ2 =xy yz zx,σ3 =xyz,则F( x,y,z)≡λ0 σ41 λ1σ21σ2 λ2 σ22 - ( 2 7λ0 9λ1 3λ2 )σ1σ3 ≡λ0 σ1(σ3 1- 2 7σ3 ) λ1σ1(σ1σ2 - 9σ3 ) λ2 (σ22 - 3σ1σ3 )≥ 0 ( 1 )对任意 x,y,z >0成立的充要条件是λ0 ≥ 0 ,λ1≥ - 5λ0 ,1 6λ0 4λ1 λ2 ≥ 0( 2 .1 )或λ0 >0 ,λ1<- 5λ0 ,λ0 λ2 ≥ ( 3λ0 λ1) 2( 2 .2 )本文进而…     

重视数学实验的功能

1 从一道高考题谈起 例1 (2007年江苏省高考题,选择题的最后一题)在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 A.2 B.1 C.1/2 D.1/4     

Schur不等式及其变式

若x,y,z为非负实数,则对任意r＞0都有xr(x-y)(x-z)+yr(y-z)(y-z)+zr(z-x)(z-y)≥0. (1)等号成立当且仅当x=y=z或者x,y,z中有两个相等,第三个为0.     

一个数学问题的简证与推广

《数学通报》2003年第10期1460题:设m∈N ,x,y,z∈R ,且xyz=1,求证:xm(1 y)(1 z) (1 x)y(m1 z) (1 x)z(m1 y)≥43.(1)原证分为①m=1,②m=2,③m≥3三种情况,用三种方法对(1)式分别予以证明.本文先给出(1)式的一个简证,再将(1)式予以推广,最后用同样的方法证明推广后的命题.简证(     

化不可能为可能

使用均值不等式求函数最值时,常常碰到不可能取等号的时候,此时,只要我们稍作变形,就能使等号成立.这就需要我们从不可能中探可能,化不可能为可能,下面举例剖析. 例1 求函数y=x2+3/(x2+2)~(1/2)的最小值。 解析y=x2+2+1/(x2+2)~(1/2)=(x2+2)~(1/2)+1/(x2+2)~(1/2)≥2,当且仅当(x2+2)~(1/2)=1/(x2+2)~(1/2)即x2+2=1(*),x2=-1时取等号,这是不可能的. 探讨 将(*)式改为x2+2=2,得x2=0,     

一个不等式的应用

若a,b∈R,则(a-b)~2≥0,展开一个括号可得,a(a-b)-b(a-b)≥0,即 a(a-b)≥b(a-b)(＊) 式中当且仅当a=b时,取等号。这个不等式说明:两实数差与被减数之积不小于此差与减数之积。用它来证明某些类型的不等式,方法简捷,颇有新意。今举例说明。例1 已知a,b,x是实数,且0相似文献