关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ABC的边长为a ,b,c,其内切圆为⊙ (I,r)即“圆心为I,半径为r” ,则有下面的不等式成立 (证略 ) :AI2 +BI2 +CI2 ≥ 14(a2 +b2 +c2 ) + 3r2( 1 )文献 [1 ]中还有以下不等式 :AI+BI+CI≥ 6r ( 2 )( 1 )、( 2 )中等号成立当且仅当a=b=c.本文将推广这两个不等式 ,证明关于圆外切闭折线的几个不等式 .定理 1　设平面闭折线A1 A2 A3…AnA1 的内切圆为⊙ (I,r) ,其边长为 ｜AiAi+1 ｜=ai(i=1 ,2 ,… ,n ,且An+1 为A1 ) ,则有∑ni=1AiI2 ≥ 14∑ni=1a2 i+nr2 ( 3)当且仅当a1 =a2 =… =an 时取等号 .证明　设已知闭折线的边AiAi- 1 …     

圆外切闭折线的奈格尔点定理

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了定义三角形"奈格尔点"的定理如下:……     

空间闭折线与其内点闭折线周长间的一个关系

我们把依次连接折线各边内点所得的折线称之为内点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的内点折线的周长与原折线的周长之间有什么样的关系呢？本文将探讨此问题． 为此,先给出如下引理： 引理 １ △ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ ＢＣ·ｃｓｃＡ／２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号． 证明 在△ＡＢＣ中,由余弦定理,得ＢＣ～２＝ＡＢ～２＋ ＡＣ～２—２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓ Ａ 引理２ 设Ｐ１＞０,ａ１＞０（ｉ＝１,２,…,ｎ）,则 引理２是加权幂平均不等式Ｍ１（ａ,ｐ）≤Ｍ２（ａ,ｐ）,在许多文献（例如文［１］…     

圆内接闭折线垂心的一个性质

众所周知 ,三角形的垂心有如下性质[1] :定理 1　设△ ABC的外接圆半径为 R,垂心为 H ,则 ( AB2 BC2 CA2 ) ( H A2 H B2 H C2 ) =1 2 R2 .将这个定理推广到一般圆内接闭折线中 ,可得定理 2　设闭折线 A1A2 A3 … An A1内接于⊙ ( O,R) ,其垂心为 H ,则　 ∑ni=1Ai A2i 1 ∑ni=1H A2i =n( n 1 ) R2 ,( * )其中 An 1为 A1.证明　以圆心 O为原点建立直角坐标系x Oy(图略 ) ,设顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi) ( i =1 ,2 ,… ,n) ,垂心 H的坐标为 ( x H,y H) ,则有[2 ]x H =∑ni=1xi,　 y H =∑ni=1yi. 1由两点间的距…     

圆内接闭折线垂心的一个性质

从闭折线A1A2A3…以An的n个顶点中,任意除去3个顶点Aj、Am、Al(1≤j相似文献   

一个与半外切圆有关的不等式链

一个与半外切圆有关的不等式链李平龙（江苏省灌云县中学２２２２００）本文建立一个与半外切圆［１］有关的几何不等式链如下，它恰好加强了三角形中著名的欧拉不等式Ｒ≥２ｒ．定理记△ＡＢＣ的内切国、外接回半径分别为ｒ，Ｒ；设与△ＡＢＣ的两边所在射线ＡＢ，ＡＣ，...     

圆内接闭折线垂心的一个新性质

从闭折线A1A2A3...An的n个顶点中,任意除去2个顶点Aj、Ak点子集,记作Vjk,即Vjk,即Vjk={A1,A2,...,Aj-1,Aj 1,...,Ak-1,Ak 1,…,An}.     

圆内接闭折线垂心的一个新性质

在文[1]中,我们借助于向量得到了圆内接闭折线垂心的一个性质.本文仍用这一方法,证明它的一个新的性质.     

关于平面闭折线的一个定值命题

本文拟给出关于平面闭折线的一个有趣的定值命题．为了叙述简便起见,本文约定：符号Ａ（ｎ）表示平面闭折线Ａ１Ａ２Ａ３…ＡｎＡ１,它的边为有向线段ＡｉＡｉ＋１（ｉ＝１,２,…,ｎ,且Ａｎ＋１为Ａ１）．先引入如下概念和引理：定义设Ｐ为闭折线Ａ（ｎ）所在平面内...     

关于闭折线一个定理的深入推广

拙文[1]给出了如下命题: 定理1 设闭折线A1A2A3…An内接于⊙O(R),其垂心为H,其三级顶点子集Vjml的垂心为Hjml(1≤j＜m＜l≤n,且n≥4),则HjmlH2 (AjA2m AmA2l AlA2j)=9R2.     

空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道,依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地,依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中,ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２,∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

圆内接闭折线重心的一个性质及应用

1、定理及引理 圆内接闭折线的重心具有下面的性质：定理设闭折线A1A2…AnA1内接于圆O，其重心为G，AiG的延长线交圆O于点Bi，     

圆内接闭折线垂心的又一个新性质

从闭折线 A1A2 A3… An 的 n个顶点中 ,任意除去 2个顶点 Aj、Ak( 1≤ j相似文献   

平面闭折线的一个性质

贵刊2004年第9期贯福春给出了四边形的一个性质: 定理1[1] 在四边形ABCD中,G1、G2、G3、G4,分别为△BCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则:     

三圆外切的一个性质

<正>~~     

封闭折线中的一个幽美不等式

本文所述的封闭折线，若无特别声明，都是指空间封闭折线（包括平面封闭折线在内）．定义1封闭折线A1A2A3…AnA1的任意两条相邻的边所成的劣角（小于平角的角），称为这年封闭折线的顶角．顶点为Ai的记作Ai（i＝1，2，…，n）．定义2所有项角都相等的封闭折线，称为等角闭拆线；否则，就称为非等角闭折线．定义3在封闭折线A1A2A3…AnA1中，若点Bi是边AiAi＋1的内点（i＝1，2，…，n，且An＋1为A1，如图1所示），则封闭折线B1B2B3…BnB1称为A1A2A3…AnA1的内接闭折线，在本文的讨论中，约定封闭折线A1A2A3…AnA1的周长记作pA，…     

非等边双圆闭折线的一个性质

文[1]为了证明不等式三角形若干“心”的一个性质,给出以下引理:引理设不等边△ABC的外心为O,垂心为H,内心为I,界心为K,则OI=∥12KH.本文拟用向量法将其推广到非等边双圆闭折线中.定理设非等边双圆闭折线的外心为O,垂心为H,内心为I,奈格尔点(即界心)为K,则OI=n-11NH.证明设非等     

圆内接闭折线垂心的两个性质

三角形有下面的性质[1](如图1):图1定理0设P是△ABC外接圆上弧BC的中点,Q是P的对径点,R是P关于边BC的对称点,H是△ABC的垂心,则AHRQ是平行四边形.这个性质是夫尔曼(Fuhrmann)发现的(三角形三顶点把外接圆分成三段弧的中点关于相应边的对称点所构成的三角形,被称为夫尔曼三角形)[1].本文将推广这个性质,证明圆内接闭折线的垂心的两个性质.为此,我们约定:符号A(n)表示平面内任意一条闭折线A1A2A3…AnA1.定理1设闭折线A(n)内接于⊙O,其垂心为H,Hjk是闭折线A(n)的2级顶点子集Vjk={A1,A2,…,Aj-1,Aj 1,…,Ak-1,Ak 1,…,An}的垂心…