面积与几何证明

面积法是一种常用几何证明方法,本文主要对这个方法作一个简单的介绍.我们的教材上证明勾股定理用的就是刘徽的出入相补法,这个方法是一种面积法,也是我们传统文化中一个灿烂的篇章.吴文俊先生以为出入相补法是解开中国古代几何中许多疑难问题的一把金钥匙.所以许多几何问题的解决都有出入相补法的帮助.此外,张景中先生在研究几何定理的可读机器证明的过程中总结出一套几何证明的面积方法,其核心是所谓的共边比例定理.本文对这个方法也做了简单的介绍.     

《面积法应用》一课的教学

一、教学内容的安排:新编初中《几何》第一册第五章“面积、勾股定理”,讲授完5.2“平行四边形、三角形、梯形的面积”后,安排“面积法的应用”这一课时的教学.由于学生对面积计算、证明面积关系等有关面积问题已有一定的基础,因此搞好这一内容的教学是有可能的.二、本课内容设计的几个特点:(1)以新的方法—面积法研究旧问题(做过的习题,例题等)既发挥课本习题的潜力作用。又使学生掌握新的方法.(2)求异思维的培养在课堂教学中能够充分体现.(3)课堂教学中渗透、猜想的创造性思维活动.三、教学过程实况(一)引出课题师:我们已经学习了面积计算、面积关系的证明、作图等问题,这一课我们将进一步研究面积法的应用——利用面积来证明几何中的相等、不等、和差倍     

不等式的面积视角

同学们对一个代数不等式的理解,一般更注重于它的代数证明,而内隐在其背后的丰富的图形直观背景,则往往疏于挖掘,这不能不说是一种遗憾.实际上,很多代数不等式,不但可以通过代数的方法予以证明,而且还蕴含形象的几何意义,如果我们面对一个代数不等式,能够积极探寻其图形解释,不但可以加深对不等式的理解程度,而且还别具趣味.本文仅从图形的面积关系,来审视一些代数不等     

平面几何教学应用面积法提高解题能力的尝试

平面几何教学应用面积法提高解题能力的尝试周雄（成都市龙泉中学６１０１００）面积法是根据几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积表示有关几何量，从而把要论证的几何量之间的关系化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题求解的一种方...     

浅谈几何解题中的面积法

面积法,即利用图形的面积知识,求解或证明一类几何问题,有它独到之处.它具有直观性和推理的代数简洁性,本文试图在这方面作些探索. 为行文简洁,本文将△ABC面积记为S△ABC,余类推. 定理l:s△ABC=1/2bcsinA     

"面积原理"及其应用

数形结合的方法是经典的数学解题方法之一,通过数与形的结合,可以启迪人们的思维,帮助人们寻找解决问题的途径和方法.通过数与形的结合,也可以形象地给出所讨论问题的直观几何意义.众所周知,就几何意义而言,定积分可解释为曲边梯形的面积,这就是所谓的"面积原理"[1].在解有关定积分的问题时,如能恰当、灵活地运用这一原理,则可以使很多问题化繁为简、化难为易.以下我们通过实例来说明这一点.     

依托面积为载体的几个不等式的直观证明及思考

依托面积为载体,在给出Young不等式的几何直观证明的基础上,继续讨论几何直观在几个相关不等式证明中的运用.探讨了数学教学中如何发挥几何直观的作用.     

利用面积确定点的坐标

<正>点的坐标是平面直角坐标系的核心内容,确定点的坐标,是解决相关问题的基本要求.但是在平面直角坐标系这一章里,由于所学内容的限制,不可能利用更多的几何方法和代数方法来确定平面内任意一点的坐标.至于一些特殊点的坐标,可以利用"面积法"来确定.     

一道面积题目的多种解法

分别运用不同方法对一道面积问题进行求解,从多个方面揭示问题的几何结构,从多个角度理解三角形的面积.     

复数与面积

1963年,曾肯成同志在[1]文中对于通过复数计算来证明平面几何中的某些问题作了有趣的介绍,接着,笔者与伍润生同志在[2]中又作了更详细一些的讨论。但是,无论是[1]与[2]对于用复数计算来证明一些与面积有关     

焦半径公式的面积形式

焦半径是圆锥曲线中一个非常重要的几何量,它的坐标形式a±ex是大家都比较熟悉的,在此基础上,《中学生数学》2000年(6上)、2000年(11上)和2002年(6上)分别推出了焦半径的参数形式、几何形式和距离形式.在它们的启示下,笔者作了进一步的研究,又得到另一种形式——面积形式(即用焦点三角形的面积来描述焦半径).     

焦点三角形面积的另两类公式

在圆锥曲线中，焦点三角形是一个引人注目的三角形，它的面积是一个非常重要的几何量，与其相关的问题是各类考试的热点，所以，值得我们总结与研究。对于形如S=b^2tan a/2和S=b^2cot a/2是大家都比较熟悉的，本文介绍另两类公式，供同行参考．     

关于面积平均P叶函数（I）

Ｌｅｂｅｄｅｖ－Ｍｉｌｉｎ方法是研究单叶函数的强有力的方法，本文建立了几个不等式，使用用这个方法来研究面积平均Ｐ叶函数成为可能，本文还给出一应用－Ｈａｍｉｌｔｏｎ猜测的证明，利用上述不等式和方法我们还能得到一些有趣的结果。     

面积,行列式,积分因子和Green公式

利用二阶行列式的几何意义是有向面积及积分因子的存在性给Green公式一个新的证明.尽管技术上走得远了些,但从概念上揭示了Green公式异常简明的几何意义,即Green公式只是面积的两种不同表达方式.同时这也蕴含了一个更深刻的哲学含义,即一般性隐含于特殊性(或特例)之中.     

关于两条反比倒函数图像的面积问题

<正>近几年中考中,出现了一类同一坐标系下两条双曲线的问题,此类问题多以小题出现,图形美观,设计精巧,值得玩味.解题的关键是面积,也就是反比例系数k的几何意义:过双曲线y=k/x上任意一点向一条坐标轴作垂线,则以该点、垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积为12|k|,证明非常简单,这里从略.下面     

关于面积平均p叶函数（Ⅰ）

Ｌｅｂｅｄｅｖ－Ｍｉｌｉｎ方法是研究单叶函数的强有力的方法，本文建立了几个不等式，使得用这个方法来研究面积平均ｐ叶函数成为可能．本文还给出一个应用一－ＨａｍｉＩｔｏｎ猜测的证明。利用上述不等式和方法我们还能得到一些有趣的结果，这将另文讨论。     

圆中不规则图形面积解法探析

<正>在几何中,面积是一个重要的概念,用于量化平面图形所占据的空间大小.对于规则图形,我们可以简单地使用相应的公式计算出其面积,例如长方形的面积等于长度乘宽度,三角形的面积等于底边乘高除以2.然而,当面对不规则图形时,这些简单的公式就无法直接适用.不规则图形指没有明确规则形状的图形,如弯曲的边界线、多边形的组合等.这些图形的面积无法通过简单的公式计算得出,面积的计算变得更为复杂和困难,需要采用特定的方法和技巧来解决.     

多边形面积的公理化定义

中学几何课严格地定义图形的面积是一个困难的问题。而严格的定义对于面积理论的进一步发展是不可少的,对于教材的理解也是有帮助的。本文试以近代数学的观点叙述平面多边形面积的公理化定义,论证这样定义的面积的存在性和唯一性。     

仿射变换下的区域面积之比

这道题貌似线性规划的问题，本质上却是以仿射几何为背景，求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积，本文将对它的解法与拓展作些探讨．     

用面积法解数学竞赛中的平几题

对于平面几何问题,借助于有关面积知识以使问题中几何量的关系变得明瞭,甚至使问题得到解决,是常用的证明方法之一。让我们来看下面的例题. 例1 AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M、N分别内分AC、CE,使AM:AC=CN:CE=r,如果B、M.N三点共线,求r(第23届IMO竞赛题). 解由题设B、M、N三点共线,得等式