巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai&;#183;bi∈R（i=1,2,…,n）则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2.     

巧用柯西不等式解题

中学数学基本上是初等数学知识,但是初等数学是高等数学的基础,而高等数学是初等数学的发展,高等数学对初等数学和中学数学具有一定的指导作用,为了解决学生从中学到大学这一突变所产生的诸多不适应问题,在中学教材和教学中适当地蕴含一些高等数学知识是必要的,柯西不等式作为苏教版选修4-5<不等式选讲>中的内容在中学数学中的应用比较广泛,它是异于均值不等式的另一个重要不等式,灵活巧妙地运用它,可以使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决,现举几例加以说明:……     

用柯西不等式巧解竞赛题

用柯西不等式巧解竞赛题２１５６００江苏张家港市一中任夏明设ａ１，ａ２，…，ａｎ及ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ为任意实数，则当且仅当时等号成立．此即柯西不等式．对某些竞赛题，若能注意因式的巧妙分拆，结构的灵活变形，并应用柯西不等式，常能收到出奇制胜的效果．例１...     

巧用柯西不等式求最值

文[1]、[2]分别给出了巧用向量不等式和椭圆不等式求一组最值问题的方法,读后很受启发．作为对这组问题探究的继续,本文从巧用柯西不等式的视角再给出其解法（限于篇幅,各例均略去不等式取等号的条件）,供大家参考．     

由均值不等式与柯西不等式联袂巧解竞赛题

<正>均值不等式与柯西不等式是历年数学竞赛的热点内容,利用这两类不等式解题的关键是恰当创设应用公式的结构形式,通常需要转化、变形、甚至构造,同时还需要有丰富的想象力.对一些复杂的不等式问题,有时要把均值不等式与柯西不等式联袂方可达到事半功倍的     

用柯西不等式的向量形式解竞赛题

以部分数学竞赛试题为例,介绍了柯西不等式的向量形式在解题中的应用.     

柯西不等式的一个简证

柯西不等式 :设ａｉ,ｂｉ ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ .则∑ｎｉ=1ａ2 ｉ ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ ≥ ∑ｎｉ=1ａｉｂｉ2 (1 )证明　记Ａ =∑ｎｉ=1ａ2 ｉ,Ｂ =∑ｎｉ=1ｂ2 ｉ,Ｃ =∑ｎｉ=1ａｉｂｉ.ＡＢＣ2 1 =∑ｎｉ=1ａ2 ｉＢＣ2 ∑ｎｉ=1ｂ2 ｉＢ=∑ｎｉ =1ａ2 ｉＢＣ2 ｂ2 ｉＢ≥ ∑ｎｉ =12 ·ａｉｂｉＣ =2 .所以 ＡＢＣ2 1 ≥ 2 ,即ＡＢ≥Ｃ2 .因此不等式 (1 )成立 .柯西不等式的一个简证@张延卫$江苏宿迁市教委!223800…     

巧用变量代换求解不等式竞赛题

变量代换是一种重要的解题方法,在不等式的证明与求函数最值的竞赛题中,通过分母代换、整体代换、倒数代换、三角代换、增量代换等,可使复杂问题简单化、隐晦特征明朗化,从而找到解题的突破口,下举数例．     

巧用三角形证不等式

巧用三角形证不等式熊佩英（湖南益阳财税学校４１３０５４）很多不等式与三角形有着直接或间接的联系，如能想到这一点．往往能收到事半功倍之效．例１正数ａ，ｂ，ｃ，Ａ，Ｂ，Ｃ，满足ａ＋Ａ＝ｂ＋Ｂ＝ｃ＋Ｃ＝ｋ，求证ａＢ＋ｂＣ＋ｃＡ＜ｋ２．（图１）证明构造图形如...     

巧用向量证不等式

向量作为一种重要的数学工具,在处理有关几何、不等式等问题中能起到化繁为简、化难为易的效果.特别是对含有乘积之和或乘方之和的不等式,根据向量性质可给出简捷明快的证法. 例1 求证(a21十a22)(b21+b22) ≥(a1b1+a2b2)2.     

巧用贝努利不等式及推论解竞赛题

贝努利不等式具有简单的结构、深刻的内涵,在高等数学中有广泛的应用,比如利用贝努利不等式能简洁明快地证明重要极限     

巧用向量法证竞赛题两例

向量融数形于一体,是实现数形转化,解决数学问题的重要工具,向量法解题,构思新颖,趣味无穷.请看两例. 例1 正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形,P是EF和GH的交点,若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE的面积的2倍,试确定∠HAF的大小,并证明你的结论.     

柯西不等式

证明不等式的能力是一种技能.和任何一种技能一样,这里也有自己的技术方法,这些方法是极广泛的,要掌握所有这些方法是很复杂的,但是,每个数学教师应该力求在他的知识蕴积中扩大现有的数学方法。依我们看来,用不同方法解一个有趣问题,在教学法上被证明是正确的。在关于算术平均     

用柯西不等式的一个推论简证一类不等式

拜读了《数学通讯》2009年1、2月（学生刊）王增强老师的“用贝努利不等式的变式证一类不等式题”．颇有收获．但觉得证明的变形技巧要求太高,也比较繁琐,下面用柯西不等式的一个推论给出该文几例的简证,为便于说明问题并再添加几例（例1至例5是原文顺序例题,例6至例9是另选例题）．     

巧用构造法证不等式

在证明不等式时，根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想，构造出函数、数列、复数、方程、命题、图形等某个数学模型，并将所证的不等式问题转化为研究该数学模型的特征，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法．     

用变形不等式巧证国外竞赛题

众所周知a^2＋b^2≥2ab，当令b〉O时，则可变形为a^2/b≥2n-b，利用变形式可以很巧妙地证明两道国外竞赛题．     

平均值不等式和柯西不等式

平均值不等式和柯西不等式是两个极为重要的基本不等式,由于它们变化多,实用性强,可以充分展示受试者的机敏和能力,因此深受竞赛命题者的青睐,有关的问题在数学竞赛中频频出现,经久不衰。一、平均值不等式这里先介绍平均值不等式。设a_1、a_2、…、a_n为n个正数,记 A=a_1 a_2 … a_n/n,G=(a_1a_2…a_n)~(1/n) 则 A≥C(1) 其中当且仅当a_1=a_2=…=a_n时等号成立。这个不等式通常称之为算术平均-几何平均值不等式,简称平均值不等式。平均值不等式证明方法很多,以下给出两种富有启发又很简捷的证明。     

巧用定积分妙证不等式

2013-2014学年度武汉市部分学校新高三起点调研测试数学理科试卷的压轴题为：     

巧用柯西不等式的变式解一类分式问题

我们知道柯西不等式：设a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn是给定的实数，则