欧几里德推导等比数列求和公式

我们知道 ,古希腊数学家欧几里德二千多年前所写的《几何原本》是推理几何建立的标志 .同时 ,欧几里德在该著作中也解决了许多代数问题 ,巧妙地推导出等比数列求和公式就是其中之一 .在《几何原本》第七卷欧几里德证明了命题 1 2 :如果有任意多个数成连比例 ,则任一前项与后项之比 ,等于所有前项的和与所有后项的和之比 .即 :如　ａ1ｂ1 =ａ2ｂ2 =ａ3 ｂ3 =…… =ａｎｂｎ ,则　ａｉｂｉ=ａ1 +ａ2 +ａ3 +… +ａｎｂ1 +ｂ2 +ｂ3 +… +ｂｎ(ｉ=1 ,2 ,3 ,…… ,ｎ) .在《几何原本》第九卷欧几里德这样推导等比数列求和公式 :设ａ1 ,ａ2 ,ａ3 ,…     

关于等比数列求和方法与公式的推导

一个有趣的故事传说。古印度宰相达依尔发明了国际象棋。国王舍罕下令要奖赏他。舍罕对达依尔说:“金银财宝一切随你挑,你需要什么呢?”达依尔回答说:“我别的什么都不要,亲爱的国王陛下,您只要在我发明的棋盘上,第一个格子放一粒麦子,第二个格子放二粒麦子,第三个格子放四粒,以后按这个比例每一格增加一倍,     

等差数列与等比数列求和公式推导方法的应用

等差数列与等比数列求和公式推导方法的应用朱辉华（湖北枣阳一中４４１２００）等差数列、等比数列求和公式的推导，实质上是应用了倒序求和、错位相（加）减两种方法．笔者根据自己的教学实践谈谈对这两种方法的体会和应用．一、等差数列求和公式的推导，先是利用倒序求...     

等比数列求和公式的应用

等比数列求和公式的应用２７３１６５曲阜师范大学数学系李等比数列的前项和所有项和如果我们把上面两公式的左边看作是右边的展开式，应用于有关的题目中将会得到一种全新的解题思路与方法．下面仅举几例予以介绍．当ｙ＞ｌ时，方程右边为偶数，方程左边各项为奇数，若要...     

等比数列求和公式逆用例说

等比数列求和公式逆用例说湖北襄阳一中李继武等比数列求和公式表明是一个关于ｑ的整式．逆用该公式，可解答有关的整除性问题．例１求证：若ｎ是正奇数，１＋ｘ＂能被１＋Ｘ整除，但不能被１－Ｘ整除．是奇＿证明＂：是奇由公式（１）知是整式被１＋Ｘ整除．右端前者是整...     

等比数列求和公式教学中的一个问题

本文就等比数列求和公式教学中的有关问题谈谈笔者的意见和处理,以就教于各位同仁。 求和公式的推导是本节课的难点,其方法多样(散见于各书刊中)。但究竟选用哪一种更为合适是值得我们考虑的。教材中采用了错位相减法,且教参中亦指出:“这种求和     

一类级数求和公式的推导

我们把1~k+2~k+3~k+n~k记为,即对a为正整数次幂的和式,当a=1,2,3对,是我们大家所熟知的。如当a=1时当a=2时当a=3时     

等比数列求和公式的另三种证法

对于首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列 {an)的前n项和Sn的求和公式的证明,课本上 采用了错位相减法,下面给出另外三种证法．     

基于CPFS的“等比数列求和公式”教学设计

数学命题的学习包括对数学定理、法则、公式等的学习,高中数学命题的学习在整个高中数学学习过程中占据重要地位.本文中主要基于CPFS结构理论,根据学生认知和命题特点,给出等比数列求和公式的教学设计,力求让学生从等比数列求和公式的七种证明过程中理解命题之间的关系,帮助学生完善个体的CPFS结构.     

等比数列前n项和公式推导的常用方法

数列求和的一个基本目标是 :减少项数 ,化成简单形式 ,便于求出结果 .同样等比数列求和也应按上述目标来实现 .怎样才能实现上述目标 ?应紧紧抓住等比数列的本身特点和规律 .方法 1　抓住等比数列的定义 ,联想等比定理 .设等比数列 {ａｎ}的首项为ａ1,公比为 ｑ ,由等比数列定义知 :ａ2ａ1=ａ3ａ2=ａ4 ａ3=… =ａｎａｎ- 1=ｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ≠ - 1时 ,根据比例性质得 :ａ2 +ａ3+ａ4 +… +ａｎａ1+ａ2 +ａ3+… +ａｎ- 1=ｑ ,即　 Ｓｎ-ａ1Ｓｎ-ａｎ=ｑ ,∴ (1- ｑ)Ｓｎ=ａ1-ａｎｑ(ｎ≥ 2 ) ,当 ｑ =- 1时 ,上式也成立 .∴Ｓｎ=ｎａ1　　 (…     

等比数列求和问题的历史

<正>1引言自第二届国际数学教育大会(ICME-2)成立数学史与数学教学关系国际研究小组(International Study Group on the Relations Between the History&Pedagogy of Mathematics,简称HPM)以来,数学史的重要价值已日益受到广大数学教育工作者与一线数学教师的关注,其重要的教育价值、文化价值和科学价值已得到理论与实践两个层面的普遍认同.     

等比数列前n项和公式推导的思考与证明

先看实验教科书《数学5》关于《等比数列的前n项和》的推导过程,对于等比数列的前n项和Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an。根据等比数列的通项公式可写成：     

数学史视角下等比数列前n项和公式的推导

<正>1.引言德国数学家F·克莱因(F.Klein)指出:"科学的教学方法只是诱导人去科学的思考,并不是一开头就教人去触碰冷漠的、经过科学洗练的系统".在等比数列前n项和公式推导的学习中,不少同学觉得错位相减法具有较强的技巧性,有着不知如何想到的困惑?也有着是否还有其他推导方法的疑问?数学史能给我们些许启迪,数学史中蕴含着数学问题发生、发展的历史,记载了数学内容、思想和方法的演变过程.笔者通过查阅数学史料,将一些思考分享给读者.     

等比数列前n项和的公式的一种推导

数学中的一些美好的发现,往往来自一些重要的关系,而这些关系又是由某一非常简单的事实建立起来的。例如,考察等式 1=1/(1-q)-q/(1-q)(q≠1) (1)我们就可以导出等比数列前n项的和     

等比数列前n项和公式的七种推导方法

［题目］　在等比数列｛ａｎ｝中,已知首项ａ１和公比ｑ,求前ｎ项和Ｓｎ．［方法１］——先让学生演算Ｓ１,Ｓ２,Ｓ３,Ｓ４,然后启发学生猜想结论,让学生在探索过程中发现公式,培养学生的探索精神．当ｑ≠１时,Ｓ１＝ａ１＝ａ１（１－ｑ）１－ｑＳ２＝ａ１＋ａ１ｑ＝ａ１（１－ｑ）１－ｑ（１＋ｑ）＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑＳ３＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＝ａ１（１－ｑ２）１－ｑ＋ａ１ｑ２（１－ｑ）１－ｑ＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑＳ４＝ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ２＋ａ１ｑ３＝ａ１（１－ｑ３）１－ｑ＋ａ１ｑ３（１－ｑ）１－ｑ＝…     

等比数列求和的“陷阱”

同学们请看人民教育出版社《高中数学教科书》A版必修5中第61页的习题2．5A组第4题：求和：（a-1）＋（a^2-2）＋…＋（a^n-n）．     

这样的解法对吗?

本文述及的一类题及其错误解法在各类教辅书甚至网络广泛流行,很有商榷的必要,以免以讹传讹.本刊2011年9期课外练习及参考答案栏目的初一年级组第3题及其解答如下:     

一个求和公式

设集合M={1,2,…,n}。对M的任一非空子集X,令a_x表示X中最大数与最小数之和,试计算所有这样的a_x的算术平均值■[注] 我们用两种方法计算■,由此便可得到一个新的求和公式方法一把M的子集X分成两类,对第一类子集X的a_x=n+1,令这样的X共有k个。对第二类子集X的a_x≠n+1。     

等比数列的前n项和公式的四种推导方法及拓展

等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一,其公式本身不仅蕴涵着分类讨论的方法,而且给出了一类特殊数列前n项和的求解方法——错位相减法.本文变换视野、转换思维,从不同的角度加以推导和拓展,以加深对公式的理解与应用,希望能起到抛砖引玉的效果.一般地,设等     

这样处理合适吗?

在高三复习时,遇见这样一道题目: (山东省烟台市2008年高三年级诊断性测试数学试题)椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e=2~(1/2)/2,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e,直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B,且(?)=λ(?)。